Esercizio di calcolo combinatorio
Esercizio 2. Per ciascuna delle seguenti condizioni stabilire in quanti modi si possono colorare le
caselle di una scacchiera 3 × 3 in modo che ogni casella sia bianca o nera e valga la condizione:
1. Nessuna restrizione;
2. Ogni riga è colorata in modo diverso;
3. C’è una e una sola riga tutta bianca;
4. C’è almeno una riga tutta dello stesso colore.
La mia soluzione è:
1. $2^9$
2. $(2^3)*(2^3-1)*(2^3-2) $ Cioè scelgo una combinazione per una riga in $2^3$ modi, per un altra riga scelgo i restanti $ (2^3-1) $ modi e per l'ultima i restanti $(2^3-2)$ modi
3. $ 1*(2^3-1)*(2^3-1) $ scelgo la combinazione riga tutta bianca che corrisponde a $1$, poi le restanti combinazioni per le due righe rimaste.
4. Qui non ci riesco, devo ragionare sul complementare suppongo.
Mi dite se le mie soluzioni sono giuste ? E mi date una mano con il punto 4 ?
Grazie mille a tutti.
caselle di una scacchiera 3 × 3 in modo che ogni casella sia bianca o nera e valga la condizione:
1. Nessuna restrizione;
2. Ogni riga è colorata in modo diverso;
3. C’è una e una sola riga tutta bianca;
4. C’è almeno una riga tutta dello stesso colore.
La mia soluzione è:
1. $2^9$
2. $(2^3)*(2^3-1)*(2^3-2) $ Cioè scelgo una combinazione per una riga in $2^3$ modi, per un altra riga scelgo i restanti $ (2^3-1) $ modi e per l'ultima i restanti $(2^3-2)$ modi
3. $ 1*(2^3-1)*(2^3-1) $ scelgo la combinazione riga tutta bianca che corrisponde a $1$, poi le restanti combinazioni per le due righe rimaste.
4. Qui non ci riesco, devo ragionare sul complementare suppongo.
Mi dite se le mie soluzioni sono giuste ? E mi date una mano con il punto 4 ?
Grazie mille a tutti.
Risposte
mi pare che le prime tre siano giuste.
per darti una mano sulla quarta, ti dico come risolverei un quesito simile:
5. C’è almeno una riga tutta bianca.
primo caso: la prima riga è tutta bianca, allora per la seconda e la terza ci sono $2^3$ combinazioni per ciascuna, non mi interessa come sono.quindi $2^3*2^3$
secondo caso: seconda riga tutta bianca, per la prima sono possibili $2^3-1$ combinazioni (quella tutta bianca non la conto più perchè l'ho contata prima)
e per la terza ancora $2^3$
terzo caso: terza riga tutta bianca, $2^3-1$ possibilità per la prima e altrettante per la seconda.
totale: $2^6+(2^3-1)*2^3 + (2^3-1)*(2^3-1)$
per aggiungere le righe tutte nere devi solo stare attento a non contare di nuovo qualcosa che hai già contato.
EDIT vero la 3 non è giusta, è come dice Martino!
per darti una mano sulla quarta, ti dico come risolverei un quesito simile:
5. C’è almeno una riga tutta bianca.
primo caso: la prima riga è tutta bianca, allora per la seconda e la terza ci sono $2^3$ combinazioni per ciascuna, non mi interessa come sono.quindi $2^3*2^3$
secondo caso: seconda riga tutta bianca, per la prima sono possibili $2^3-1$ combinazioni (quella tutta bianca non la conto più perchè l'ho contata prima)
e per la terza ancora $2^3$
terzo caso: terza riga tutta bianca, $2^3-1$ possibilità per la prima e altrettante per la seconda.
totale: $2^6+(2^3-1)*2^3 + (2^3-1)*(2^3-1)$
per aggiungere le righe tutte nere devi solo stare attento a non contare di nuovo qualcosa che hai già contato.
EDIT vero la 3 non è giusta, è come dice Martino!
"AndreaT1989":Andrebbe fatto per ogni riga, quindi risulterebbe $3*(2^3-1)*(2^3-1)$.
3. $ 1*(2^3-1)*(2^3-1) $ scelgo la combinazione riga tutta bianca che corrisponde a $1$, poi le restanti combinazioni per le due righe rimaste.
Ho capito il tuo ragionamento, ma cosi non ci riesco, e mi confondo.
La mia idea era sottrarre alle combinazioni totali, i casi in cui le righe fossero tutte di colori diversi. Come faccio a contare quest'ultime. Ho pensato di contare le funzioni suriettive per ogni riga. che sono quindi $2^3-2$. Il risultato quindi secondo me è $2^9-3*(2^3-2)$.
Per favore mi puoi indicare la soluzione secondo il tuo metodo, a mio avviso bisogna moltiplicare tutto x due, ma hai scritto di stare attento a non contare qualcosa che ho contato già, quindi misa che mi sbaglio.
Per Martino: si hai ragione, ho sbagliato, grazie mille.
La mia idea era sottrarre alle combinazioni totali, i casi in cui le righe fossero tutte di colori diversi. Come faccio a contare quest'ultime. Ho pensato di contare le funzioni suriettive per ogni riga. che sono quindi $2^3-2$. Il risultato quindi secondo me è $2^9-3*(2^3-2)$.
Per favore mi puoi indicare la soluzione secondo il tuo metodo, a mio avviso bisogna moltiplicare tutto x due, ma hai scritto di stare attento a non contare qualcosa che ho contato già, quindi misa che mi sbaglio.
Per Martino: si hai ragione, ho sbagliato, grazie mille.
secondo me il tuo risultato è un po' troppo grande, tu vuoi dire che le colorazioni in cui non c'è alcuna riga tutta dello stesso colore sono solo $3*6$ ?
mi sembra poco.
io ho seguito il ragionamento che ti ho esposto prima e sono arrivato alla soluzione $296$ per il quesito 4.
mi sembra poco.
io ho seguito il ragionamento che ti ho esposto prima e sono arrivato alla soluzione $296$ per il quesito 4.
Scusami ho sbagliato, volevo dire $2^9-(2^3-2)^3$ e di fatto il risultato è 296. Io intendo escludere i casi in cui ogni riga ha colori diversi, quindi $(2^3-2)$ sarebbero il numero di colorazioni possibili per ogni riga escludendo appunto, tutto bianco e tutto nero. Elevo alla terza perchè il ragionamento lo devo fare per le 3 righe. Mi sembra più pulita come formula e come ragionamento.
ok mi pare che siamo arrivati. 
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