Esercizio di Algebra

[newton88-votailprof]

Quanti sono i numeri interi positivi n tali che il rapporto

(3n + 41) / (n - 5)
sia un intero positivo?

[Lord K]

Se ci pensi, se abbiamo che:

[tex]\displaystyle \frac{3n+41}{n-5} \in \mathbb Z[/tex]

allora:

[tex]\displaystyle \frac{3n+41}{n-5} = k \in \mathbb Z[/tex]

[tex]3n+41=kn-5k[/tex]
[tex](3-k)n=-41-5k[/tex]

da cui:

[tex]\displaystyle -\frac{41+5k}{3-k} = 5 - \frac{56}{3-k}[/tex]

Ora deve essere che [tex]3-k | 56=7\cdot 2^3[/tex]

Quindi sono possibili:

[tex]3-k=2 \Rightarrow k=1 \Rightarrow n= -23[/tex]
[tex]3-k=4 \Rightarrow k=-1 \Rightarrow n= -9[/tex]
[tex]3-k=7 \Rightarrow k=-4 \Rightarrow n= -3[/tex]
[tex]3-k=8 \Rightarrow k=-5 \Rightarrow n= -2[/tex]
[tex]3-k=14 \Rightarrow k=-11 \Rightarrow n= 1[/tex]
[tex]3-k=28 \Rightarrow k=-25 \Rightarrow n= 3[/tex]
[tex]3-k=56 \Rightarrow k=-53 \Rightarrow n= 4[/tex]

That's all folks

[newton88-votailprof]

La tua risoluzione è sbagliata, perché il rapporto deve essere un intero positivo e non un intero negativo. Inoltre il rapporto deve appartenere a N e non a Z.

[Lord K]

No, la soluzione è generale, se a te interessano solo gli interi non negativi, osservi che non ce ne sono!

[Martino]

"affettuoso2010":La tua risoluzione è sbagliata, perché il rapporto deve essere un intero positivo e non un intero negativo. Inoltre il rapporto deve appartenere a N e non a Z.

La risoluzione di Lord K sarà (semmai) incompleta, non certo sbagliata. Le idee per risolvere il problema ci sono tutte.

Quello che ha dimenticato di fare è considerare i divisori negativi di 56. Per esempio se [tex]3-k=-2[/tex] otteniamo la soluzione [tex]n=33[/tex].

[newton88-votailprof]

N.B. Non è vero, perché per
n = 6 -> 59
n = 7 -> 31
n = 9 -> 17
n = 12 -> 11
n = 13 -> 10
n = 19 -> 7
n = 33 -> 5
I numeri interi positivi n tali che il rapporto sia un intero positivo sono 8 così dice la soluzione dell'esercizio, io ne ho trovati 7, ma non riesco a trovare l'ottavo.
Osserva attentamente la mia risoluzione.

[Martino]

"affettuoso2010":N.B. Non è vero

Cosa non è vero?

Osserva attentamente la mia risoluzione.

Non capisco a quale risoluzione ti riferisci. Vedo solo un elenco di soluzioni.

La soluzione che manca nella tua lista è [tex]n=61[/tex].

[Lord K]

Ok mi sono dimenticato dei divisori negativi...

[newton88-votailprof]

La risoluzione del seguente esercizio:

Quanti sono i numeri interi positivi n tali che il rapporto

(3n + 41) / (n - 5)
sia un intero positivo?
Comunque grazie Martino per avermi dato la soluzione che mancava al mio elenco.

[Martino]

"affettuoso2010":La risoluzione del seguente esercizio [...]

Ma non hai scritto risoluzioni, hai solo elencato le soluzioni che hai trovato.
Per me una "risoluzione" è un ragionamento, una sequenza di passaggi logici che porta alla soluzione.

Per evitare questo tipo di incomprensioni di dò un consiglio per il futuro: oltre al testo del problema riporta anche la tua risoluzione, anche parziale. Oltre che essere utile per chi ti legge ma soprattutto per te (credimi), è in linea col regolamento del forum (articolo 1.4).

Comunque grazie Martino per avermi dato la soluzione che mancava al mio elenco.

Prego, ciao alla prossima!