Esercizio di Algebra
Salve a tutti, sto preparando l'esame di Algebra.
Purtroppo non ho potuto seguire le ultime lezioni (la parte sul campo di spezzamento di un polinomio) e quindi ho recuperato da solo, ma ho difficoltà nel risolvere gli esercizi.
Per esempio:
Sia \(f= x^6-64 \in \mathbb{Q}[x] \), sia \(F\) il suo campo di spezzamento su \( \mathbb{Q}\).
Mi si chiede di determinare una base di \(F\) su \(\mathbb{Q}\) e
dire se \(F\) è il campo di spezzamento di \(x^2+1\) su \(\mathbb{Q}\).
In questi casi (dove il polinomio è a coefficienti razionali) basta trovare le radici nei complessi e aggiungerle a \(\mathbb{Q}\) e poi studiare l'estensione semplice che esce fuori.
Ma in ques'altro caso?
Sia \(f= x^6-1 \in \mathbb{Z}_5[x] \), sia \(F\) il suo campo di spezzamento su \( \mathbb{Z}_5\).
Devo determinare la decomposizione in fattori irriducibili del polinomio, trovare una base di \(F\), la cardinalità di \(F\).
Per il primo punto:
\(f=(x^3-1)(x^3+1)=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\)
In questo caso per vedere se i polinomi di secondo grado sono irriducibili, l'unico modo è controllare ad uno ad uno gli elementi di \(\mathbb{Z}_5\)?
Poi, una volta capito che questa è la scomposizione in fattori irriducibili come arrivo al campo di spezzamento?
So che si può costruire un 'estensione di \(\mathbb{Z}_5\) considerando l'insieme quoziente \(\frac{\mathbb{Z}_5[x]}{(p)}\), dove \(p\) è un fattore irriducibile di \(f\).
Questa estensione ha grado uguale al grado di \(p\), quindi nel mio caso come devo comportarmi?
Costruisco prima l'estensione \(F_0\) con \(p=x^2-x+1)\) (che avrà grado 2), e poi l'estensione \(F\) di \(F_0\) con \(p=x^2+x+1)\) che avrà grado 2 SU F_0, e quindi il grado di \(F\) su \(\mathbb{Z}_5\) sarà (per il teorema dei gradi) \(2\cdot 2=4\).
Ora posso rispondere al punto 3 (la cardinalità di uno spazio vettoriale di dimensione 4 su un campo finito di 5 elementi è \(5^4\), ma come trovo una base di \(F\) se non conosco esplicitamente le radici?
Purtroppo non ho potuto seguire le ultime lezioni (la parte sul campo di spezzamento di un polinomio) e quindi ho recuperato da solo, ma ho difficoltà nel risolvere gli esercizi.
Per esempio:
Sia \(f= x^6-64 \in \mathbb{Q}[x] \), sia \(F\) il suo campo di spezzamento su \( \mathbb{Q}\).
Mi si chiede di determinare una base di \(F\) su \(\mathbb{Q}\) e
dire se \(F\) è il campo di spezzamento di \(x^2+1\) su \(\mathbb{Q}\).
In questi casi (dove il polinomio è a coefficienti razionali) basta trovare le radici nei complessi e aggiungerle a \(\mathbb{Q}\) e poi studiare l'estensione semplice che esce fuori.
Ma in ques'altro caso?
Sia \(f= x^6-1 \in \mathbb{Z}_5[x] \), sia \(F\) il suo campo di spezzamento su \( \mathbb{Z}_5\).
Devo determinare la decomposizione in fattori irriducibili del polinomio, trovare una base di \(F\), la cardinalità di \(F\).
Per il primo punto:
\(f=(x^3-1)(x^3+1)=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\)
In questo caso per vedere se i polinomi di secondo grado sono irriducibili, l'unico modo è controllare ad uno ad uno gli elementi di \(\mathbb{Z}_5\)?
Poi, una volta capito che questa è la scomposizione in fattori irriducibili come arrivo al campo di spezzamento?
So che si può costruire un 'estensione di \(\mathbb{Z}_5\) considerando l'insieme quoziente \(\frac{\mathbb{Z}_5[x]}{(p)}\), dove \(p\) è un fattore irriducibile di \(f\).
Questa estensione ha grado uguale al grado di \(p\), quindi nel mio caso come devo comportarmi?
Costruisco prima l'estensione \(F_0\) con \(p=x^2-x+1)\) (che avrà grado 2), e poi l'estensione \(F\) di \(F_0\) con \(p=x^2+x+1)\) che avrà grado 2 SU F_0, e quindi il grado di \(F\) su \(\mathbb{Z}_5\) sarà (per il teorema dei gradi) \(2\cdot 2=4\).
Ora posso rispondere al punto 3 (la cardinalità di uno spazio vettoriale di dimensione 4 su un campo finito di 5 elementi è \(5^4\), ma come trovo una base di \(F\) se non conosco esplicitamente le radici?
Risposte
"mario99":
In questo caso per vedere se i polinomi di secondo grado sono irriducibili, l'unico modo è controllare ad uno ad uno gli elementi di \(\mathbb{Z}_5\)?
No, i polinomi di secondo grado su un campo di caratteristica diversa da 2 si trattano esattamente come su $\mathbb R$: fai il discriminante e guardi se è un quadrato. Se lo è, il polinomio ha due radici nel campo, altrimenti è irriducibile. Per esempio se $f=x^2-x+1$ allora il discriminante è $1^2-4=-3\equiv 2\mod 5$, e $2$ non è un quadrato modulo $5$, quindi il polinomio è irriducibile.
"mario99":
Poi, una volta capito che questa è la scomposizione in fattori irriducibili come arrivo al campo di spezzamento?
I campi finiti hanno una sola estensione per ciascun grado. Quindi se $\alpha$ è una radice di $x^2+x+1$ il campo \((\mathbb Z/5\mathbb Z)(\alpha)\), che è isomorfo a \((\mathbb Z/5\mathbb Z)[x]/(x^2+x+1)\) è già un campo di spezzamento per $x^6-1$, perchè contiene tutte le radici. Per convincertene nota che siccome $\alpha^2+\alpha+1=0$, allora $(\alpha+1)^2-(\alpha+1)+1=\alpha^2+\alpha+1=0$, il che mostra che $\alpha+1$ è una radice di $x^2-x+1$.
Visto che il campo di spezzamento è un'estensione quadratica di \(\mathbb Z/5\mathbb Z\), come spazio vettoriale ha dimensione $2$ su \(\mathbb Z/5\mathbb Z\), ed una base è ad esempio $(1,\alpha)$.
Ok, mi è chiaro. Per quanto riguarda questo risultato "i campi finiti hanno una sola estensione per ciascun grado", ha un nome particolare? Perché l'avevo già sentito ma sul libro non lo trovo (uso Aritmetica e Algebra di Dikran Dikranjan, Maria Silvia Lucido e anche Algebra: un approccio algoritmico (Decibel))
Come si chiami non lo so, ma se googli lo trovi sicuramente. Anche sulla pagina di wikipedia, tanto per dire.
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