Esercizio con l'assioma della scelta.
Dimostrare che data comunque una famiglia $F$ di sottoinsiemi non vuoti ( non necessariamente disgiunti ) di un insieme $E$ esiste una funzione $phi:FtoE$ ( funzione di scelta ) tale che, $AAX\inF$ è $phi(X)inX$. ( Sarà opportuno considerare certi insiemi costituiti da coppie $(x,X)$, dove è $x\inX$ e $X\inF$ ).
Si ammette valido l'assioma della scelta:
$F=uuu_{X\inF}XsubeE$. Rispetto all'enunciato classico i sottoinsiemi non sono necessariamente disgiunti.
Sia: $x\in(XnnX');X,X'inF$. Per l'assioma della scelta: $EEx\inE:x=phi(X)inX$.
Sia: $x'inX',x'notinX$. Quindi: $EEx'inE:x'=phi(X')inX'$.
$AAX,X'inF$. Per la generalità di quanto posto.
Chiedo se va bene lo svolgimento.
Si ammette valido l'assioma della scelta:
$F=uuu_{X\inF}XsubeE$. Rispetto all'enunciato classico i sottoinsiemi non sono necessariamente disgiunti.
Sia: $x\in(XnnX');X,X'inF$. Per l'assioma della scelta: $EEx\inE:x=phi(X)inX$.
Sia: $x'inX',x'notinX$. Quindi: $EEx'inE:x'=phi(X')inX'$.
$AAX,X'inF$. Per la generalità di quanto posto.
Chiedo se va bene lo svolgimento.
Risposte
"_GaS_":
$F=uuu_{X\inF}XsubeE$
Errore. \( F \) è una famiglia di insiemi, scritto così è una collezione di elementi di \( E \).
"_GaS_":
Per l'assioma della scelta: $EEx\inE:x=phi(X)inX$.
Su quale partizione stai applicando l'assioma? Non puoi applicarlo così "alla buona", nell'enunciato dell'assioma hai un'ipotesi abbastanza forte, che ti richiede la presenza di una partizione per applicarlo; il punto dell'esercizio sta proprio lì, che nella traccia non hai l'ipotesi di avere una partizione e devi trovare il modo per farne saltare fuori una in questo caso generico, dalla quale indurre la tua \( \varphi \). Questo passaggio invalida la dimostrazione.
Hint:
EDIT corretto un errore di battitura ed aggiunto un suggerimento.
Su quale partizione stai applicando l'assioma? Non puoi applicarlo così "alla buona"
Come ho fatto a non accorgermene!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Domandina: se c'è una famiglia di sottoinsiemi di $E$, l'unione di questi deve necessariamente coincidere con $E$ ( per definizione )?
Un'idea che mi è venuta è la seguente ( per ora la espongo con un semplice esempio ):
Sia $E=AuuB,AnnB!=varphi$. Considero la partizione costituita dagli insiemi $A,B-(AnnB)$. $B'=B-(AnnB)$.
Ora l'assioma della scelta è applicabile: $phi(A)=x\inA;phi(B')=x'inB'$.
Siccome $x'notinA$ la scelta è possibile anche laddove non vi fosse la partizione, quindi è estendibile a $A$ e $B$, è analogo, in modo generico.
Ringrazio.
"_GaS_":
Domandina: se c'è una famiglia di sottoinsiemi di $E$, l'unione di questi deve necessariamente coincidere con $E$ ( per definizione )?
No, a meno che non sia specificato diversamente.
"_GaS_":
Un'idea che mi è venuta è la seguente ( per ora la espongo con un semplice esempio ):
Sia $E=AuuB,AnnB!=varphi$. Considero la partizione costituita dagli insiemi $A,B-(AnnB)$. $B'=B-(AnnB)$.
Ora l'assioma della scelta è applicabile: $phi(A)=x\inA;phi(B')=x'inB'$.
Siccome $x'notinA$ la scelta è possibile anche laddove non vi fosse la partizione, quindi è estendibile a $A$ e $B$, è analogo, in modo generico.
Ringrazio.
Non va bene perché non è detto che la famiglia sia costituita da due elementi, né che sia costituita da un numero finito di elementi, né che tale famiglia sia numerabile, né che ricopra \( E \)... insomma dovresti trovare un modo per estendere questa costruzione alquanto dettagliata in astratto per un caso generico, senza neppure sapere come sono ripartiti gli elementi all'interno degli insiemi di questa famiglia, non mi sembra una passeggiata. C'è un modo (molto) più semplice e ti viene suggerito dalla stessa traccia dell'esercizio
Ok, abbandono la strada e cerco di seguire il consiglio, però:
L'assioma della scelta non è indipendente dalla potenza dell'insieme?
E poi serviva solo a rendere l'idea del metodo, era solo un esempio.
Non va bene perché non è detto che la famiglia sia costituita da due elementi, né che sia costituita da un numero finito di elementi, né che tale famiglia sia numerabile, né che ricopra E...
L'assioma della scelta non è indipendente dalla potenza dell'insieme?
E poi serviva solo a rendere l'idea del metodo, era solo un esempio.
"_GaS_":
L'assioma della scelta non è indipendente dalla potenza dell'insieme?
Certo!
"_GaS_":
serviva solo a rendere l'idea del metodo, era solo un esempio.
Volevo mettere l'accento sul fatto che estendere il tuo metodo in modo astratto tenendo anche conto di un'eventuale famiglia non numerabile di insiemi non dev'essere... piacevole
Se trovi un modo per farlo va bene, non c'è alcun problema. Il problema è trovare il modo e dal mio punto di vista procedere in quella direzione è estremamente difficile, mentre il problema ha soluzioni più semplici. Magari mi sbaglio, prova pure. La prima volta che feci quest'esercizio provai anch'io una strada simile alla tua ma mi incartai un bel po' di volte ed alla fine mi portò solo ad un nulla di fatto, se non uno sparuto numero di casi particolari, mentre la soluzione che si ottiene seguendo il suggerimento dato dalla traccia è immediata e praticamente elementare (col senno di poi, ovviamente il bello è proprio trovarla; l'ideale sarebbe avere qualcuno che fotografi la tua espressione appena la trovi 
).Comunque, studiare degli esempi costruiti ad hoc potrebbe aiutarti a trovare una soluzione.
Effettivamente con quel metodo le cose si complicano: qualora dovessi considerare sottoinsiemi propri ( a priori nella famiglia potrebbero esserci ), soprattutto per la formalizzazione, benché l'idea fosse valida.
Volevo provare in questo modo:
costruire una partizione sfruttando un sottoinsieme dell'insieme delle parti della famiglia ( $Psubtau(F)$ ).
Ad ogni insieme di $F$ corrisponde un elemento dell'insieme delle parti: $f:Ftotau(F):XtoX$.
Ottenuta la partizione è possibile applicare l'assioma. Dall'equivalenza dell'insieme si estende ad $F$, anche se è da aggiustare qua e là. Se è corretto dopo lo formalizzo.
Volevo provare in questo modo:
costruire una partizione sfruttando un sottoinsieme dell'insieme delle parti della famiglia ( $Psubtau(F)$ ).
Ad ogni insieme di $F$ corrisponde un elemento dell'insieme delle parti: $f:Ftotau(F):XtoX$.
Ottenuta la partizione è possibile applicare l'assioma. Dall'equivalenza dell'insieme si estende ad $F$, anche se è da aggiustare qua e là. Se è corretto dopo lo formalizzo.
"_GaS_":
costruire una partizione sfruttando un sottoinsieme dell'insieme delle parti della famiglia ( $Psubtau(F)$ ).
Non capisco cosa intendi. Se scrivi una partizione di \( F \) puoi associare ad ogni elemento della partizione di \( F \) (ovvero un insieme di sottoinsiemi di \( E \)) un elemento di \( F \) (un sottoinsieme di \( E \)), non capisco da qui come fai ad estendere le proprietà di questa funzione scelta agli elementi di \( E \) ai quali in un certo senso "non riesci ad accedere" lavorando solo su \( \tau(F) \) ed \( F \).
Prova a lavorare su questo caso:
\[
E = \{ a, b, c, d, e \} \\
\ \\
F = \{ \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ a, d \} \}
\]
Dovrebbe essere evidente che una partizione di \( \tau(F) \) non ti permette di indurre una funzione scelta su \( F \) che abbia immagini in \( E \); ora però ti faccio notare una cosa che forse non ti aspetti. Pongo \( \alpha = \{ a, b \}, \ \beta = \{ a, c \}, \ \gamma = \{ a, d \} \).
Nota che le funzioni:
\[
\varphi_1 ( \alpha) = a \\
\varphi_1 ( \beta) = a \\
\varphi_1 ( \gamma) = a \\
\ \\
\varphi_2 ( \alpha) = a \\
\varphi_2 ( \beta) = c \\
\varphi_2 ( \gamma) = d \\
\ \\
\varphi_3 ( \alpha) = a \\
\varphi_3 ( \beta) = c \\
\varphi_3 (\gamma) = a \\
\ \\
\varphi_4 ( \alpha) = b \\
\varphi_4 ( \beta) = c \\
\varphi_4 ( \gamma) = d \\
\]
sono tutt'e quattro funzioni scelta, non solo la seconda e la quarta
[ot]
"_GaS_":
Mi fa sentire un po' scemo
Se tu fossi un po' scemo non avresti avanzato le proposte di soluzione che hai avanzato
[/ot]
Non capisco cosa intendi.
Precisamente intendo questo: nel sottoinsieme dell'insieme delle parti di $F$ gli insiemi costituenti $F$ diventano elementi, quindi posso ( ammesso che tutto ciò sia corretto ) costruire la partizione.
Sfruttando il semplice esempio di prima: $AuuB=E,AnnB!=varphi$ otteniamo $A$ e $B$ come elementi del sottoinsieme $P$ di $tau(F)$. Da cui quello che è seguito.
"_GaS_":
Precisamente intendo questo: nel sottoinsieme dell'insieme delle parti di $F$ gli insiemi costituenti $F$ diventano elementi
È corretto, ma tieni conto che in ogni caso (anche senza ricavare l'insieme delle parti di \( F \)) gli oggetti in \( F \)sono elementi di \( F \) e sottoinsiemi di \( E \).
"_GaS_":
quindi posso ( ammesso che tutto ciò sia corretto ) costruire la partizione.
Sfruttando il semplice esempio di prima: $AuuB=E,AnnB!=varphi$ otteniamo $A$ e $B$ come elementi del sottoinsieme $P$ di $tau(F)$. Da cui quello che è seguito.
Puoi costruire la partizione, vero. Quel che mi sfugge è come si passi da una funzione scelta costruita su una generica partizione di \( F \) alla funzione scelta \( F \rightarrow E \). Prova a farmi un esempio sugli insiemi \( E \) ed \( F \) del mio precedente messaggio con la seguente partizione di \( F \): \( \tau(F) \supseteq P = \{ \{ \alpha, \beta \}, \{ \gamma \} \} \) e una qualsiasi funzione scelta \( P \rightarrow F \).
Ti ringrazio, ma sei troppo gentile
In realtà $P$ non lo intendo casuale: dal tuo esempio deve venire: $P={{alpha},{beta},{gamma}}$.
Questo intendevo prima con $f:Ftotau(F):XtoX$.
Per intenderci voglio restituirti un'immagine di quello che voglio scrivere: i tre sottoinsiemi che formano $E$ in $F$ che si intersecano, inizialmente; invece in $P$ ( sottoinsieme dell'insieme delle parti di $F$ ) si '' spezzano '', ma ognuno mantiene tutti i suoi elementi, anche quelli in comune con altri. Ognuno è immaginato a sé stante.
Dalla partizione $P$ in $E$ dovrebbe essere possibile, per ogni sottoinsieme, grazie all'assioma della scelta, collegare ognuno ad un elemento che gli appartiene: $phi:PtoE:XtoX;x\inX$. Ad esempio, in questo caso:
$alphatoa;betatoc;gammatoa$. Penso che lo scegliere uno stesso elemento di $E$ per due diversi sottoinsiemi non comporti problemi. Poi ci penso meglio. Al limite basta mettere la condizione che ad ogni sottoinsieme di $P$ corrisponde un elemento esclusivo del tale, quindi non presente in altri sottoinsiemi della partizione.
Direi che siccome l'unione di sottoinsiemi in $F$ è uguale a quella degli elementi di $P$ ( i sottoinsiemi di $E$ sono sempre i soliti ), in ogni caso i collegamenti con quelli elementi sono sempre possibili. Ovvero, ottenute le scelte ( sugli elementi ) dalla partizione, teniamo gli elementi da collegare anche per i sottoinsiemi di $F$, in modo ( presumibilmente ) da soddisfare il requisito.
Questo intendevo prima con $f:Ftotau(F):XtoX$.
Per intenderci voglio restituirti un'immagine di quello che voglio scrivere: i tre sottoinsiemi che formano $E$ in $F$ che si intersecano, inizialmente; invece in $P$ ( sottoinsieme dell'insieme delle parti di $F$ ) si '' spezzano '', ma ognuno mantiene tutti i suoi elementi, anche quelli in comune con altri. Ognuno è immaginato a sé stante.
Dalla partizione $P$ in $E$ dovrebbe essere possibile, per ogni sottoinsieme, grazie all'assioma della scelta, collegare ognuno ad un elemento che gli appartiene: $phi:PtoE:XtoX;x\inX$. Ad esempio, in questo caso:
$alphatoa;betatoc;gammatoa$. Penso che lo scegliere uno stesso elemento di $E$ per due diversi sottoinsiemi non comporti problemi. Poi ci penso meglio. Al limite basta mettere la condizione che ad ogni sottoinsieme di $P$ corrisponde un elemento esclusivo del tale, quindi non presente in altri sottoinsiemi della partizione.
Direi che siccome l'unione di sottoinsiemi in $F$ è uguale a quella degli elementi di $P$ ( i sottoinsiemi di $E$ sono sempre i soliti ), in ogni caso i collegamenti con quelli elementi sono sempre possibili. Ovvero, ottenute le scelte ( sugli elementi ) dalla partizione, teniamo gli elementi da collegare anche per i sottoinsiemi di $F$, in modo ( presumibilmente ) da soddisfare il requisito.
Ti stai avvicinando alla soluzione, ma manca ancora qualcosa.
Prendendo un \( P \) in questo modo (l'insieme dei singoletti, per intenderci) in pratica stai prendendo una copia di \( F \), solo "un po' più annidata", con \( P \) in questo caso puoi fare esattamente quello che puoi fare con \( F \), o qualcosa in meno, ma non di più.
È così già in \( F \), che si intersechino come sottoinsiemi di \( E \) non ti importa quando li guardi come elementi di \( F \), non c'è bisogno di passare ai singoletti per vederli come elementi a sé stanti.
Questo in sé non è un problema, perché hai tutto il tempo per imparare, è un problema nella comunicazione perché c'è il rischio che io non ti capisca (ed il non essere fraintesi è uno dei motivi per cui si cerca di formalizzare).
Ad esempio scritture come
non hanno senso, la "sintassi" è:
ed in effetti non sono certo di capire cosa tu voglia dire con quello che metti dopo il secondo ":"; se intendi che \( f \) manda un elemento nel singoletto che lo contiene le scritture possibili sono
(nota che \( X \) non viene associato a se stesso, ma al singoletto che lo contiene).
Al di là dei formalismi, come ti dicevo ti stai avvicinando, ma la soluzione ancora non va bene:
Il problema è proprio che non è possibile, almeno non direttamente in virtù dell'assioma della scelta. L'assioma della scelta ti dice che puoi assegnare ad ogni elemento di \( P \) un elemento in esso contenuto, ma ogni elemento di \( P \) contiene a sua volta un solo elemento, quindi la funzione di scelta è unica ed è:
\[
\varphi ( \{ \alpha \} ) = \alpha \\
\varphi ( \{ \beta \} ) = \beta \\
\varphi ( \{ \gamma \} ) = \gamma \\
\]
ma proprio perché "sei salito troppo", non puoi in virtù dell'assioma della scelta prendere degli elementi che stanno (ad esempio) in \( \alpha \), perché non è quello che ti dice l'assioma. Nell'enunciato dell'assioma tu "vedi" solo \( P \) ed \( F \), e associ ad ogni "pezzo" di una partizione di \( F \) un elemento di \( F \) che sta in quel "pezzo"[nota]ho usato un termine improprio per evitare la ridondanza del termine elemento ed allo stesso tempo non riscriverne l'enunciato, ma enunciarlo con altre parole.[/nota] il fatto che \( F \) sia in qualche modo legato ad un altro insieme non c'entra.
Il problema, appunto, è proprio che non lo sono, perché in \( P \) perdi tutte le informazioni sul fatto che gli elementi di \( F \) siano sottoinsiemi di \( E \).
Però nel tuo ragionamento (ed in particolare in questa frase) c'è l'idea chiave per risolvere l'esercizio. Direi che hai capito dove vuoi arrivare, se vuoi un consiglio prova a lasciar perdere partizioni di \( F \) e a cercare di fare quello che hai in mente in un altro modo.
Ripescando il suggerimento dato nel testo, ti aiuto a capire cosa sono davvero quelle coppie ordinate. Prova a scrivere esplicitamente per l'esempio di \( E \) ed \( F \) che stiamo trattando l'insieme \( E \times F \) e poi l'insieme \( \{ (x, X) : X \in F, x \in X \} \subseteq E \times F \) e fai tutte le riflessioni che ti vengono in mente su quest'insieme, anche alla luce di quanto hai scritto nella tua ultima frase. È normale se sul momento non ti viene in mente come usarlo, perché finché non capisci com'è fatto l'insieme ti sarà inutile. Dopo averlo "guardato in faccia" magari lo sarà un po' meno
"_GaS_":
In realtà $P$ non lo intendo casuale: dal tuo esempio deve venire: $P={{alpha},{beta},{gamma}}$.
Prendendo un \( P \) in questo modo (l'insieme dei singoletti, per intenderci) in pratica stai prendendo una copia di \( F \), solo "un po' più annidata", con \( P \) in questo caso puoi fare esattamente quello che puoi fare con \( F \), o qualcosa in meno, ma non di più.
"_GaS_":
Per intenderci voglio restituirti un'immagine di quello che voglio scrivere: i tre sottoinsiemi che formano $E$ in $F$ che si intersecano, inizialmente; invece in $P$ ( sottoinsieme dell'insieme delle parti di $F$ ) si '' spezzano '', ma ognuno mantiene tutti i suoi elementi, anche quelli in comune con altri. Ognuno è immaginato a sé stante.
È così già in \( F \), che si intersechino come sottoinsiemi di \( E \) non ti importa quando li guardi come elementi di \( F \), non c'è bisogno di passare ai singoletti per vederli come elementi a sé stanti.
"_GaS_":
Evidentemente soffro ancora di falle nel formalismo
Questo in sé non è un problema, perché hai tutto il tempo per imparare, è un problema nella comunicazione perché c'è il rischio che io non ti capisca (ed il non essere fraintesi è uno dei motivi per cui si cerca di formalizzare).
Ad esempio scritture come
$phi:PtoE:XtoX$
$f:Ftotau(F):XtoX$
non hanno senso, la "sintassi" è:
\( {\rm funzione} : \ {\rm dominio} \rightarrow {\rm codominio} \)
ed in effetti non sono certo di capire cosa tu voglia dire con quello che metti dopo il secondo ":"; se intendi che \( f \) manda un elemento nel singoletto che lo contiene le scritture possibili sono
\(f : X \mapsto \{ X \} \)
o
\(f(X) = \{ X \} \)
(nota che \( X \) non viene associato a se stesso, ma al singoletto che lo contiene).
Al di là dei formalismi, come ti dicevo ti stai avvicinando, ma la soluzione ancora non va bene:
"_GaS_":
Dalla partizione $P$ in $E$ dovrebbe essere possibile, per ogni sottoinsieme, grazie all'assioma della scelta, collegare ognuno ad un elemento che gli appartiene: $phi:PtoE:XtoX;x\inX$.
Il problema è proprio che non è possibile, almeno non direttamente in virtù dell'assioma della scelta. L'assioma della scelta ti dice che puoi assegnare ad ogni elemento di \( P \) un elemento in esso contenuto, ma ogni elemento di \( P \) contiene a sua volta un solo elemento, quindi la funzione di scelta è unica ed è:
\[
\varphi ( \{ \alpha \} ) = \alpha \\
\varphi ( \{ \beta \} ) = \beta \\
\varphi ( \{ \gamma \} ) = \gamma \\
\]
ma proprio perché "sei salito troppo", non puoi in virtù dell'assioma della scelta prendere degli elementi che stanno (ad esempio) in \( \alpha \), perché non è quello che ti dice l'assioma. Nell'enunciato dell'assioma tu "vedi" solo \( P \) ed \( F \), e associ ad ogni "pezzo" di una partizione di \( F \) un elemento di \( F \) che sta in quel "pezzo"[nota]ho usato un termine improprio per evitare la ridondanza del termine elemento ed allo stesso tempo non riscriverne l'enunciato, ma enunciarlo con altre parole.[/nota] il fatto che \( F \) sia in qualche modo legato ad un altro insieme non c'entra.
"_GaS_":
Ad esempio, in questo caso: $alphatoa;betatoc;gammatoa$. Penso che lo scegliere uno stesso elemento di $E$ per due diversi sottoinsiemi non comporti problemi. Poi ci penso meglio. Al limite basta mettere la condizione che ad ogni sottoinsieme di $P$ corrisponde un elemento esclusivo del tale, quindi non presente in altri sottoinsiemi della partizione.
Direi che siccome l'unione di sottoinsiemi in $F$ è uguale a quella degli elementi di $P$ ( i sottoinsiemi di $E$ sono sempre i soliti ), in ogni caso i collegamenti con quelli elementi sono sempre possibili.
Il problema, appunto, è proprio che non lo sono, perché in \( P \) perdi tutte le informazioni sul fatto che gli elementi di \( F \) siano sottoinsiemi di \( E \).
"_GaS_":
Ovvero, ottenute le scelte ( sugli elementi ) dalla partizione, teniamo gli elementi da collegare anche per i sottoinsiemi di $F$, in modo ( presumibilmente ) da soddisfare il requisito.
Però nel tuo ragionamento (ed in particolare in questa frase) c'è l'idea chiave per risolvere l'esercizio. Direi che hai capito dove vuoi arrivare, se vuoi un consiglio prova a lasciar perdere partizioni di \( F \) e a cercare di fare quello che hai in mente in un altro modo.
Ripescando il suggerimento dato nel testo, ti aiuto a capire cosa sono davvero quelle coppie ordinate. Prova a scrivere esplicitamente per l'esempio di \( E \) ed \( F \) che stiamo trattando l'insieme \( E \times F \) e poi l'insieme \( \{ (x, X) : X \in F, x \in X \} \subseteq E \times F \) e fai tutte le riflessioni che ti vengono in mente su quest'insieme, anche alla luce di quanto hai scritto nella tua ultima frase. È normale se sul momento non ti viene in mente come usarlo, perché finché non capisci com'è fatto l'insieme ti sarà inutile. Dopo averlo "guardato in faccia" magari lo sarà un po' meno
Sì, intendevo quello che hai scritto ( mi riferisco a $f:Ftotau(F)=>Xto{X}$ ).
La mia priorità è comprendere sul serio. Quindi il mio errore stava in un uso improprio del linguaggio: dal singoletto non posso collegare un suo sottoinsieme in quel modo, in quanto egli stesso diventa sottoinsieme. In questo caso, ad esempio: $alpha={{a,b}}$ non possiede come sottoinsieme ${a}$, quindi non posso applicare l'assioma della scelta in questo modo. Insomma, ${a}uu{b}$ con ${a,b}inF$ diventa il singoletto ${{a,b}}$ in $tau(F)$, un unico elemento.
Domani mi ricollego.
Ciao.
La mia priorità è comprendere sul serio. Quindi il mio errore stava in un uso improprio del linguaggio: dal singoletto non posso collegare un suo sottoinsieme in quel modo, in quanto egli stesso diventa sottoinsieme. In questo caso, ad esempio: $alpha={{a,b}}$ non possiede come sottoinsieme ${a}$, quindi non posso applicare l'assioma della scelta in questo modo. Insomma, ${a}uu{b}$ con ${a,b}inF$ diventa il singoletto ${{a,b}}$ in $tau(F)$, un unico elemento.
Domani mi ricollego.
Ciao.
"_GaS_":
dal singoletto non posso collegare un suo sottoinsieme in quel modo, in quanto egli stesso diventa sottoinsieme. In questo caso, ad esempio: $alpha={{a,b}}$ non possiede come sottoinsieme ${a}$, quindi non posso applicare l'assioma della scelta in questo modo. Insomma, ${a}uu{b}$ con ${a,b}inF$ diventa il singoletto ${{a,b}}$ in $tau(F)$, un unico elemento.
Bingo
[ot]
"_GaS_":
$f:Ftotau(F)=>Xto{X}$ ).
Sarebbe meglio uno spazio, una virgola o un separatore che non abbia significati matematici o logici, \(\Rightarrow \) è abbastanza improprio. Di solito scrivendo a mano si mette sotto al dominio l'elemento generico e sotto al codominio l'immagine:
\[
\begin{split}
f: & A \rightarrow B\\
&x \mapsto y\\
\end{split}
\]
ma farlo alla lavagna è facile, farlo in \(\LaTeX \) è una finezza non richiesta. Nota che però (questa invece è una questione di notazioni) per le assegnazioni si usa \(\mapsto \) non \( \rightarrow \)[/ot]
Seguendo il consiglio mi è venuta quest'idea, che però formalizzo successivamente:
impongo la relazione 'equivalenza $x∼x'iffx,x'inXsubeF$, ovvero due elementi si equivalgono se e solo se appartengono allo stesso sottoinsieme della famiglia. In questo modo estraggo tutte le classi d'equivalenza e ad ognuna faccio corrispondere un sottoinsieme. Se è corretto ( dato che per ora è ancora grezzo ) raffino il metodo.
impongo la relazione 'equivalenza $x∼x'iffx,x'inXsubeF$, ovvero due elementi si equivalgono se e solo se appartengono allo stesso sottoinsieme della famiglia. In questo modo estraggo tutte le classi d'equivalenza e ad ognuna faccio corrispondere un sottoinsieme. Se è corretto ( dato che per ora è ancora grezzo ) raffino il metodo.
Beh, è un po' poco, il ragionamento potenzialmente può portare a qualcosa, ma \( \sim \) così definita non è una relazione d'equivalenza... Prova a svilupparlo un po' di più, poi si vedrà.
Effettivamente sono stato troppo frettoloso e impulsivo nell'ultimo post. Provo con il seguente tentativo:
Sia: $A={(x,X):x\inX,X\inF}subeE*F$.
Sia: $phi:AtoE,(x,X)tox$. ( Perdona la brutta scrittura della freccia ). Abbiamo: $phi(A)subeE$. ( Anche se questo non è importante ).
Si ottiene: $phi(x,X)=x\inX,AA(x,X)inA$.
Allora: $AAX\inF,EE(phi':FtoE):phi'(X)inX$.
Poi l'ultimo passaggio può essere affrontato meglio.
Sia: $A={(x,X):x\inX,X\inF}subeE*F$.
Sia: $phi:AtoE,(x,X)tox$. ( Perdona la brutta scrittura della freccia ). Abbiamo: $phi(A)subeE$. ( Anche se questo non è importante ).
Si ottiene: $phi(x,X)=x\inX,AA(x,X)inA$.
Allora: $AAX\inF,EE(phi':FtoE):phi'(X)inX$.
Poi l'ultimo passaggio può essere affrontato meglio.
Diciamo che ci sei quasi, ma non hai ancora una partizione sulla quale applicare la funzione scelta canonica (i.e. l'assioma della scelta).
Prova a pensare: in \( A \) cosa distingue due elementi con la prima componente uguale?
Suggerimento: (un po' più esplicito, ti consiglio di provare prima senza leggerlo)
Prova a pensare: in \( A \) cosa distingue due elementi con la prima componente uguale?
Suggerimento: (un po' più esplicito, ti consiglio di provare prima senza leggerlo)
Non ho letto il suggerimento.
Prima dell'ultimo passaggio: fisso $phi(A)$, da cui segue:
$AAx\inphi(A),EEf:AtoE,(x,X)tox:(x,X)unico$.
Si tratta di selezionare coppie; ad esempio se:
$phi(x,X)=x$.
$phi(x,X')=x$.
$phi(x,X'')=x$.
.
.
.
Prendo il primo, ad esempio; per un altro $x'inE$ prenderò un altro insieme della famiglia $F$ ( come $X'$ ) e così via.
Dovrebbe essere possibile farlo in quanto posso trattare le coppie come insiemi disgiunti ( non ha senso l'intersezione tra due elementi del prodotto cartesiano, coppie in questo caso ). Dopo è possibile passare all'analogia ( mantenendo tutti gli $x\inE$ '' di arrivo '' ) con gli $X\inF$: nel primo caso era stato preso $(x,X)$, quindi l'analogo sarà $X$ e così via.
Ma i sottoinsiemi di $F$ devono essere presi in modo che ogni suo sottoinsieme debba essere considerato.
Prima dell'ultimo passaggio: fisso $phi(A)$, da cui segue:
$AAx\inphi(A),EEf:AtoE,(x,X)tox:(x,X)unico$.
Si tratta di selezionare coppie; ad esempio se:
$phi(x,X)=x$.
$phi(x,X')=x$.
$phi(x,X'')=x$.
.
.
.
Prendo il primo, ad esempio; per un altro $x'inE$ prenderò un altro insieme della famiglia $F$ ( come $X'$ ) e così via.
Dovrebbe essere possibile farlo in quanto posso trattare le coppie come insiemi disgiunti ( non ha senso l'intersezione tra due elementi del prodotto cartesiano, coppie in questo caso ). Dopo è possibile passare all'analogia ( mantenendo tutti gli $x\inE$ '' di arrivo '' ) con gli $X\inF$: nel primo caso era stato preso $(x,X)$, quindi l'analogo sarà $X$ e così via.
Ma i sottoinsiemi di $F$ devono essere presi in modo che ogni suo sottoinsieme debba essere considerato.
Premetto che non ho capito del tutto la risposta, ho più o meno capito cosa intendi con la prima parte del tuo messaggio, ma qui:
non ho proprio capito cosa vuoi dire. Comunque ormai sei arrivato e ti stai perdendo proprio ad un passo dalla fine in un bicchiere d'acqua. Prova a leggere il suggerimento.
"_GaS_":
Prendo il primo, ad esempio; per un altro $x'inE$ prenderò un altro insieme della famiglia $F$ ( come $X'$ ) e così via.
Dovrebbe essere possibile farlo in quanto posso trattare le coppie come insiemi disgiunti ( non ha senso l'intersezione tra due elementi del prodotto cartesiano, coppie in questo caso ). Dopo è possibile passare all'analogia ( mantenendo tutti gli $x\inE$ '' di arrivo '' ) con gli $X\inF$: nel primo caso era stato preso $(x,X)$, quindi l'analogo sarà $X$ e così via.
Ma i sottoinsiemi di $F$ devono essere presi in modo che ogni suo sottoinsieme debba essere considerato.
non ho proprio capito cosa vuoi dire. Comunque ormai sei arrivato e ti stai perdendo proprio ad un passo dalla fine in un bicchiere d'acqua. Prova a leggere il suggerimento.
- Di quello che non era chiaro nel messaggio riporto solo quello che ormai può essere considerato utile: le coppie come insiemi disgiunti. Non ha senso intersecarle, ad esempio $(2,3)$ intersecata con $(2,4)$ non dà $2$.
Sia: $A={(x,X):x\inX,X\inF}subeE*F$.
Sia: $phi':AtoE,(x,X)tox$. Si ottiene: $phi'(x,X)=x\inX,AA(x,X)inA$.
Si può effettuare una selezione ( assioma della scelta ): $AA(x,X)inA,EEphi:AtoE,(x,X)tox:!EEx$. ( Cioè tale che $x$ sia unico ).
In questo modo ad ogni $(x,X)$ è associato uno e un solo elemento di $E$.
Consideriamo l'insieme: $A':={(x,X):X\inF,x=phi(x,X),(x,X)inA}$.
Sia: $f:FtoA',Xto(x,X)$. Segue che $f$ è biiettiva.
Consideriamo $phicircf:FtoE,(x,X)tox$. ( Infatti $phi:AtoE$, ma è estendibile a $phi:A'toE$ ).
Conseguentemente: $phi(f(X))=x\inX,AAX\inF$.
Dovrebbe concludere l'esercizio.
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