Esercizio con l'assioma della scelta.
Dimostrare che data comunque una famiglia $F$ di sottoinsiemi non vuoti ( non necessariamente disgiunti ) di un insieme $E$ esiste una funzione $phi:FtoE$ ( funzione di scelta ) tale che, $AAX\inF$ è $phi(X)inX$. ( Sarà opportuno considerare certi insiemi costituiti da coppie $(x,X)$, dove è $x\inX$ e $X\inF$ ).
Si ammette valido l'assioma della scelta:
$F=uuu_{X\inF}XsubeE$. Rispetto all'enunciato classico i sottoinsiemi non sono necessariamente disgiunti.
Sia: $x\in(XnnX');X,X'inF$. Per l'assioma della scelta: $EEx\inE:x=phi(X)inX$.
Sia: $x'inX',x'notinX$. Quindi: $EEx'inE:x'=phi(X')inX'$.
$AAX,X'inF$. Per la generalità di quanto posto.
Chiedo se va bene lo svolgimento.
Si ammette valido l'assioma della scelta:
$F=uuu_{X\inF}XsubeE$. Rispetto all'enunciato classico i sottoinsiemi non sono necessariamente disgiunti.
Sia: $x\in(XnnX');X,X'inF$. Per l'assioma della scelta: $EEx\inE:x=phi(X)inX$.
Sia: $x'inX',x'notinX$. Quindi: $EEx'inE:x'=phi(X')inX'$.
$AAX,X'inF$. Per la generalità di quanto posto.
Chiedo se va bene lo svolgimento.
Risposte
"_GaS_":
Sia: $A={(x,X):x\inX,X\inF}subeE*F$.
Sia: $phi':AtoE,(x,X)tox$. Si ottiene: $phi'(x,X)=x\inX,AA(x,X)inA$.
Questa \( \varphi^{\prime} \) ci servirà, quindi mettiamola da parte. In pratica \( \varphi^{\prime} \) è la restrizione ad \( A \) della proiezione sulla prima componente in \( E \times F \).
"_GaS_":
Si può effettuare una selezione ( assioma della scelta ): $AA(x,X)inA,EEphi:AtoE,(x,X)tox:!EEx$. ( Cioè tale che $x$ sia unico ).
In questo modo ad ogni $(x,X)$ è associato uno e un solo elemento di $E$.
Non puoi applicare l'assioma della scelta perché non hai una partizione. Inoltre, quello che hai scritto non ha molto senso, stai associando ad ogni elemento di \( A \) una funzione ed affermando che è univoca, non capisco perché dal momento che già \( \varphi^{\prime} \) è (in quanto funzione) univoca.
"_GaS_":
Consideriamo l'insieme: $A':={(x,X):X\inF,x=phi(x,X),(x,X)inA}$.
Hai \(A^{\prime} = E \), quindi siamo punto e a capo.
Dal momento che hai perso l'obiettivo dell'esercizio, ti propongo una mia soluzione con spiegazione annessa, alla luce di questa prova a portare avanti la strada che avevi percorso finora. Per (mia) comodità, chiamo \( \pi \) la tua \(\varphi^{\prime} \).
Cosa chiede il problema: l'enunciato dell'assioma della scelta dice che dato un insieme \( A \) ed una sua partizione \( P \) è sempre possibile associare ad ogni elemento di \( P \) un'elemento di \( A \) che gli appartenga. Ovvero:
\[
\begin{split}
\exists \varphi : &P \rightarrow A \\
&X \mapsto x \in X \\
\end{split}
\]
Sarebbe comodo generalizzare questa costruzione ed ottenere la possibilità, data una qualsiasi famiglia \( \mathcal{F} \) di sottoinsiemi di \( A \), di associare ad ogni elemento di \( \mathcal{F} \) un elemento di \( A \) che gli appartenga. Questa versione dell'assioma della scelta sarebbe più comoda, in quanto cade l'ipotesi della partizione, ovvero cade l'ipotesi che gli insiemi della famiglia siano a due a due disgiunti e che ricoprano \( A \). La domanda è, basta la prima "versione" dell'assioma della scelta, per garantire l'esistenza della sua generalizzazione? La risposta è sì, ma occorre dimostrarlo.[nota]Evidentemente dalla versione "più generale" discende banalmente la prima, quindi sono equivalenti. Ma è preferibile per svariate ragioni che esulano dal nostro discorso tenere come enunciato la versione apparentemente più debole.[/nota]
Il problema che gli insiemi non ricoprano \( A \) è solo apparente, basta infatti concentrarsi su \( \bigcup \mathcal{F} \), il problema della non disgiunzione invece è fastidioso. Il punto è questo: due elementi distinti di \( A \) puoi (ovviamente, quello che sto dicendo è tautologico) riconoscerli come diversi. Ma (e qui sta il problema) se un elemento di \( A \) appartiene a più elementi di \( \mathcal{F} \) non puoi "scinderlo" rimanendo in \( A \), la sua identità è una, le informazioni sulla sua relazione con gli elementi di \( \mathcal{F} \) non le hai. Se invece ti piazzi in:
\[
B = \{ (x,X) : X \in \mathcal{F}, x \in X \} \subseteq A \times \mathcal{F}
\]
riesci nella miracolosa scissione. Nell'esempio riportato qui, sebbene \( a \) sia "sempre lo stesso", \( (a, \alpha) = (a, \{ a, b \}) \ne (a, \{a, c\}) = (a, \beta) \), ovvero \( (a, \alpha) \) e \( (a, \beta) \) sono elementi distinti. È come se distinguessi tra \( a \) visto come elemento di \( \alpha \) ed \( a \) elemento di \( \beta \).
Ora, come hai correttamente osservato più volte, gli elementi di \( \mathcal{F} \) sono tutti distinti. Puoi sfruttare questa distinzione per dividere opportunamente \( B \). Pongo:
\[
\forall Y \in \mathcal{F} : \ P_Y := \{ (x,Y) : x \in Y \}\\
\ \\
\mathfrak{P} = \{ P_Y : Y \in \mathcal{F} \}
\]
in pratica ogni \( P_Y \) (nota che \( Y \) è fissato) non è altro che uno dei sottoinsiemi di \( \mathcal{F} \), che contiene elementi nella forma di coppia ordinata invece che di singolo elemento (insomma: la seconda componente è uguale per tutti ed è l'\( Y \in \mathcal{F} \) che contiene gli elementi in prima componente). Così, risulta che \( \mathfrak{P} \) è una partizione di \( B \), infatti i sottoinsiemi che stanno in \( \mathfrak{P} \) sono a due a due disgiunti (sono caratterizzati e distinti dalla seconda componente dei loro elementi, che è la stessa all'interno di ogni "pezzo" \( P_Y \) ed è diversa in ciascun "pezzo" distinto) e ricoprono \( B \) (si verifica direttamente che \( B = \bigcup_{Y \in \mathcal{F}} P_Y = \bigcup \mathfrak{P}\)). Allora possiamo applicare l'assioma della scelta:
\[
\begin{split}
\exists \varphi: & \mathfrak{P} \rightarrow B \\
&P_Y \mapsto (x,Y) \\
\end{split}
\]
che associa ad ogni \( P_Y \) (copia "a coppie ordinate" di \(Y \in \mathcal{F} \)) un suo elemento (un \( (x,Y) \ {\rm con} \ x \in Y \). A questo punto basta considerare un'applicazione \( \sigma : \mathcal{F} \rightarrow \mathfrak{P} \) che associ ad ogni \( Y \) il relativo \( P_Y \) e comporre: \( \pi \circ \varphi \circ \sigma \) ed ho finito, infatti ho:
\[
\begin{split}
\pi \circ \varphi \circ \sigma: & \mathcal{F} \rightarrow A \\
&Y \mapsto x \in Y \\
\end{split}
\]
ovvero:
\[
\begin{split}
&\mathcal{F} \stackrel{\sigma}{\rightarrow} \mathfrak{P} \stackrel{\varphi}{\rightarrow} B \stackrel{\pi}{\longrightarrow} A \\
&Y \mapsto P_Y \mapsto (x, Y) \mapsto x \in Y \\
\end{split}
\]
Q.E.D.
Prova a ripercorrere i passaggi della dimostrazione in astratto col solito esempio, per capire cosa succede se qualche punto ti è oscuro, e ovviamente, se hai qualche dubbio chiedi pure
Ok, però ci tengo a specificare alcune cose:
- No. Ho definito $A':={(x,X):X\inF,x=phi(x,X),(x,X)inA}$, quindi $A'!=E$; un suo elemento è caratterizzato da due coordinate, non una ( come quelli di $E$ ). Potrei aver scritto male quello che volevo esprimere: prendere dall'insieme $A$ un suo sottoinsieme ( $A'$ ) che abbia in suo elemento con coordinata $X\inF$ una soltanto una coordinata $x\inE$, per ogni $X\inF$.
Infatti potrebbero esserci più $x$ contenuti in un solo $X$.
-
Ma le coppie del piano cartesiano non possono essere considerate insiemi disgiunti? Perché se così fosse potrei utilizzare l'assioma della scelta.
- L'ho fatto per la questione del piano cartesiano poco prima nominata.
Comunque ti ringrazio per la spiegazione, esauriente come al solito.
Hai $A′=E$, quindi siamo punto e a capo.
- No. Ho definito $A':={(x,X):X\inF,x=phi(x,X),(x,X)inA}$, quindi $A'!=E$; un suo elemento è caratterizzato da due coordinate, non una ( come quelli di $E$ ). Potrei aver scritto male quello che volevo esprimere: prendere dall'insieme $A$ un suo sottoinsieme ( $A'$ ) che abbia in suo elemento con coordinata $X\inF$ una soltanto una coordinata $x\inE$, per ogni $X\inF$.
Infatti potrebbero esserci più $x$ contenuti in un solo $X$.
-
Ma le coppie del piano cartesiano non possono essere considerate insiemi disgiunti? Perché se così fosse potrei utilizzare l'assioma della scelta.Inoltre, quello che hai scritto non ha molto senso, stai associando ad ogni elemento di A una funzione ed affermando che è univoca, non capisco perché dal momento che già $φ′$ è (in quanto funzione) univoca.
- L'ho fatto per la questione del piano cartesiano poco prima nominata.
Comunque ti ringrazio per la spiegazione, esauriente come al solito.
"_GaS_":
- No. Ho definito $A':={(x,X):X\inF,x=phi(x,X),(x,X)inA}$, quindi $A'!=E$
Sì, hai ragione, ho avuto una svista.
"_GaS_":
un suo elemento è caratterizzato da due coordinate, non una ( come quelli di $E$ ). Potrei aver scritto male quello che volevo esprimere: prendere dall'insieme $A$ un suo sottoinsieme ( $A'$ ) che abbia in suo elemento con coordinata $X\inF$ una soltanto una coordinata $x\inE$, per ogni $X\inF$.
Beh, sì, è scritto un po' male, in realtà il tuo \( A^{\prime} \) è uguale a quello che io ho chiamato \( \bigcup \mathfrak{F} \).
"_GaS_":
Ma le coppie del piano cartesiano non possono essere considerate insiemi disgiunti?
Ahimè no, o per lo meno non in quel senso. Se vuoi considerarli come insieme si torna al discorso dell'annidamento fatto qualche post fa. (O a questioni più complicate che non è il caso di sollevare.)
Lieto di essere stato d'aiuto, buon lavoro!
Premettendo che l'esercizio lo considero chiuso, poiché accetto la tua soluzione, voglio comunque continuare la discussione ( se hai voglia, ovviamente, altrimenti apro un altro topic ) per chiarire alcuni argomenti e per scovare meglio gli errori.
È palese che gli errori derivano da alcune incomprensioni concernenti i '' mattoncini ''.
Cominciamo da qui: il singoletto ${{a,b}}$ e l'insieme ${a,b}$. Il primo contiene un solo elemento ( l'insieme ${a,b}$ ), mentre l'altro contiene due elementi ( $a$ e $b$ ). Intanto viene fuori che non necessariamente un elemento di un sottoinsieme appartiene al'insieme. Ad esempio: $ain{a,b}$, ma $anotin{{a,b}}$ nonostante sia ${a,b}in{{a,b}}$.
L'insieme ha senso compiuto in sé a differenza dell'elemento. Ovvero dicendo l'insieme ${a,b}$ si sa a cosa ci si riferisce, ma nominando l'elemento $a$ no, poiché rimanda ( implicitamente ) ad un insieme che lo contiene. Quindi se si considera un elemento si sta considerando necessariamente anche un insieme ( quello d'appartenenza ). Un elemento ha senso solo se in un insieme.
Così ha senso dire l'insieme ( singoletto in questo caso ) ${a}$, ma se si dice elemento $a$ c'è il riferimento ad un insieme, per conferirgli sensatezza. Però $ain{a}$.
Ora: ${a}uu{a,b}$? Dovrebbe essere: ${a}uu{a}uu{b}={a,b}$; infatti non ha senso $auub$, ovvero l'unione di due elementi, poiché si tratta di un'operazione tra insiemi. Non dovrebbe venire il singoletto ${{a,{a,b}}}$ ( anche perché se generato da un'unione non sarebbe un singoletto ); il dubbio nasce da:
$auu{a,b}={a,b}$, che porterebbe erroneamente a $auu{a,b}={a,{a,b}}!={a,b}$; ma questo non dovrebbe valere, per quanto appena visto. Quindi ${a,b}={{a},b}={{a},{b}}$.
Comincio con questo.
È palese che gli errori derivano da alcune incomprensioni concernenti i '' mattoncini ''.
Cominciamo da qui: il singoletto ${{a,b}}$ e l'insieme ${a,b}$. Il primo contiene un solo elemento ( l'insieme ${a,b}$ ), mentre l'altro contiene due elementi ( $a$ e $b$ ). Intanto viene fuori che non necessariamente un elemento di un sottoinsieme appartiene al'insieme. Ad esempio: $ain{a,b}$, ma $anotin{{a,b}}$ nonostante sia ${a,b}in{{a,b}}$.
L'insieme ha senso compiuto in sé a differenza dell'elemento. Ovvero dicendo l'insieme ${a,b}$ si sa a cosa ci si riferisce, ma nominando l'elemento $a$ no, poiché rimanda ( implicitamente ) ad un insieme che lo contiene. Quindi se si considera un elemento si sta considerando necessariamente anche un insieme ( quello d'appartenenza ). Un elemento ha senso solo se in un insieme.
Così ha senso dire l'insieme ( singoletto in questo caso ) ${a}$, ma se si dice elemento $a$ c'è il riferimento ad un insieme, per conferirgli sensatezza. Però $ain{a}$.
Ora: ${a}uu{a,b}$? Dovrebbe essere: ${a}uu{a}uu{b}={a,b}$; infatti non ha senso $auub$, ovvero l'unione di due elementi, poiché si tratta di un'operazione tra insiemi. Non dovrebbe venire il singoletto ${{a,{a,b}}}$ ( anche perché se generato da un'unione non sarebbe un singoletto ); il dubbio nasce da:
$auu{a,b}={a,b}$, che porterebbe erroneamente a $auu{a,b}={a,{a,b}}!={a,b}$; ma questo non dovrebbe valere, per quanto appena visto. Quindi ${a,b}={{a},b}={{a},{b}}$.
Comincio con questo.
"_GaS_":
il singoletto ${{a,b}}$ e l'insieme ${a,b}$. Il primo contiene un solo elemento ( l'insieme ${a,b}$ ), mentre l'altro contiene due elementi ( $a$ e $b$ ). Intanto viene fuori che non necessariamente un elemento di un sottoinsieme appartiene al'insieme. Ad esempio: $ain{a,b}$, ma $anotin{{a,b}}$ nonostante sia ${a,b}in{{a,b}}$.
L'insieme ha senso compiuto in sé a differenza dell'elemento. Ovvero dicendo l'insieme ${a,b}$ si sa a cosa ci si riferisce, ma nominando l'elemento $a$ no, poiché rimanda ( implicitamente ) ad un insieme che lo contiene. Quindi se si considera un elemento si sta considerando necessariamente anche un insieme ( quello d'appartenenza ). Un elemento ha senso solo se in un insieme.
Così ha senso dire l'insieme ( singoletto in questo caso ) ${a}$, ma se si dice elemento $a$ c'è il riferimento ad un insieme, per conferirgli sensatezza. Però $ain{a}$.
Direi che più o meno ci siamo. Dico più o meno perché a voler fare i pignoli ci sono un paio di "i senza puntino" nel tuo discorso, ma è inutile stare a discuterne ora, col tempo sarai più padrone di questi concetti e si limeranno da sé a furia di lavorarci su, per armonizzarsi col resto di quello che studi. A mettersi a discutere ora di certe finezze si finirebbe a fare un discorso molto formale che rischierebbe più di confonderti che di chiarirti le idee, perché non hai abbastanza esempi in cui applicarlo e visualizzarlo. In sostanza, a meno di tecnicismi insiemistici che acquisirai da te col tempo, il tuo ragionamento può dirsi giusto.
"_GaS_":
Ora: ${a}uu{a,b}$? Dovrebbe essere: ${a}uu{a}uu{b}={a,b}$
Precisamente. Così come \( \{a, a, b \} = \{a,b,a\} = \{a,b\} = \{ b, a \} \).
"_GaS_":
non ha senso $auub$, ovvero l'unione di due elementi, poiché si tratta di un'operazione tra insiemi.
Sì... e no. Se i due elementi sono a loro volta insiemi ha senso; solo che la loro unione non ha necessariamente a che vedere con l'insieme che li contiene. Esempi: nell'insieme dei numeri reali non ha senso parlare di unione di due numeri reali, ma nell'insieme degli intervalli aperti della retta reale ha senso parlare di unione di due elementi, e a seconda dei casi l'unione sarà ancora un intervallo aperto o no. Nell'insieme dei singoletti dei reali l'unione di due elementi ha senso, ma non è mai un singoletto. Nell'insieme delle parti (di un generico insieme \( A \)) l'unione di due elementi è ancora un elemento dell'insieme.
"_GaS_":
Non dovrebbe venire il singoletto ${{a,{a,b}}}$ ( anche perché se generato da un'unione non sarebbe un singoletto );
No, infatti. Non capisco in base a quale ragionamento dovrebbe poter venire una roba del genere (tra l'altro non so se sia una coincidenza o meno, ma quel signore lì nel singoletto ha un'identità ben precisa... ma questa è un'altra storia).
"_GaS_":
il dubbio nasce da:
$auu{a,b}={a,b}$,
Una scrittura del genere (quella a sinistra dell'uguale) semplicemente non ha senso, per com'è costruita la teoria degli insiemi. Se esistesse una cosa come quella salterebbero fuori un mare di contraddizioni, ma riguardo a questo ti rimando a testi di teoria degli insiemi. Quindi chiaramente quest'uguaglianza è falsa.
"_GaS_":
che porterebbe erroneamente a $auu{a,b}={a,{a,b}}!={a,b}$; ma questo non dovrebbe valere, per quanto appena visto.
Infatti, non vale.
"_GaS_":
Quindi ${a,b}={{a},b}={{a},{b}}$.
Ma no! Perché??? Quei tre insiemi sono tutti diversi tra loro! \( a \) ed \( \{ a \} \) sono due cose diverse, a questo punto dovrebbe essere chiaro. In base a quale ragionamento trai questa conclusione?
Mi hai dato ragione su: ${a}uu{a,b}={a,b}$, da cui ${a,b}={a}uu{b}$. Teniamolo.
Dovrebbe essere, allora: ${a}sub{a,b}$. Se non fosse così avremmo: ${a}uu{a,b}={{a},{a,b}}$.
Spero di aver reso meglio il mio dubbio.
Se si ammette che l'unione tra elementi non ha senso, penso che si possa ricondurre ad insiemi in questo modo:
- Nell'insieme delle parti di $A$ i sottoinsiemi contenuti esistono, quindi non dovrebbe esserci il bisogno di costruirli tramite gli elementi. Al limite, nel momento in cui li costruisco, diventano insiemi. Esempio: $A={a,b,c}$. ${a,b}$ esiste come possibile sottoinsieme, senza bisogno di ricorrere all'unione ( $auub$ ), oppure è ricavabile considerando $a$ e $b$ insiemi:
${a}uu{b}={a,b}$.
- Singoletti reali: tuttavia possono essere insiemi a tutti gli effetti ( ${x}uu{y}$, con $x,yinRR$ ).
- L'altro esempio che riporti ora come ora non mi restituisce nulla, ma ho fiducia nel fatto che sia riconducibile ad insiemi, analogo a quanto finora trattato.
Effettivamente è così. Il problema è '' con quale unione li ottengo '', dal momento che ${a,b}={a}uu{b}$?
Ad esempio ${{a},{b}}={a}uu{b}={a,b}$, sembrerebbe una contraddizione. ${{a},{b}}$ non è un singoletto, quindi può essere ottenibile tramite l'unione di due insiemi diversi. Per uscirne fuori bisogna ammettere l'unione tra gli elementi.
Questo porterebbe a: $auub={a,b}!={{a},{b}}={a}uu{b}$. Che però contraddice ${a}uu{b}={a,b}$.
Inoltre sarebbe: ${{a},b}={a}uub$. Però l'elemento che viene unito ( $b$ in questo caso ) ha senso solo se preso da un insieme che lo contiene; non si può prenderlo a sé stante, altrimenti sarebbe un insieme. Però questo porterebbe anche a $auu{a,b}={a,b}$, cosa che prima abbiamo escluso. Ricordiamo che $a$ dev'essere in un insieme contenuto.
EDIT:
A meno che non sia ${{a},{b}}={{a}}uu{{b}}$ e ${{a},b}={{a}}uu{b}$. Mi convince abbastanza, però lascio tutto quello che scritto nel messaggio: può sempre tornare utile che certi dubbi vengano messi in rilievo.
Curiosità: $a!={a}!={{a}}$. Rispettivamente: elemento, insieme ( singoletto contenente l'elemento $a$ ), insieme ( singoletto contenente l'insieme ${a}$ ). Ma ${{a}}!={{{a}}}$? Qui mi viene un dubbio. Forse sì, perché dovrebbe trattarsi di un '' gioco '' di rendere l'insieme un elemento: ${{{a}}}$ sarebbe il singoletto che contiene ( ovvero il suo elemento ) il singoletto contenete l'insieme ${a}$. Mentre prima ${{a}}$ era esclusivamente insieme in ${{{a}}}$ è considerabile elemento.
Dovrebbe essere, allora: ${a}sub{a,b}$. Se non fosse così avremmo: ${a}uu{a,b}={{a},{a,b}}$.
Spero di aver reso meglio il mio dubbio.
Sì... e no.
Se si ammette che l'unione tra elementi non ha senso, penso che si possa ricondurre ad insiemi in questo modo:
- Nell'insieme delle parti di $A$ i sottoinsiemi contenuti esistono, quindi non dovrebbe esserci il bisogno di costruirli tramite gli elementi. Al limite, nel momento in cui li costruisco, diventano insiemi. Esempio: $A={a,b,c}$. ${a,b}$ esiste come possibile sottoinsieme, senza bisogno di ricorrere all'unione ( $auub$ ), oppure è ricavabile considerando $a$ e $b$ insiemi:
${a}uu{b}={a,b}$.
- Singoletti reali: tuttavia possono essere insiemi a tutti gli effetti ( ${x}uu{y}$, con $x,yinRR$ ).
- L'altro esempio che riporti ora come ora non mi restituisce nulla, ma ho fiducia nel fatto che sia riconducibile ad insiemi, analogo a quanto finora trattato.
[quote]Quindi $ {a,b}={{a},b}={{a},{b}} $Ma no! Perché??? Quei tre insiemi sono tutti diversi tra loro! $a$ ed ${a}$ sono due cose diverse, a questo punto dovrebbe essere chiaro. In base a quale ragionamento trai questa conclusione?[/quote]
Effettivamente è così. Il problema è '' con quale unione li ottengo '', dal momento che ${a,b}={a}uu{b}$?
Ad esempio ${{a},{b}}={a}uu{b}={a,b}$, sembrerebbe una contraddizione. ${{a},{b}}$ non è un singoletto, quindi può essere ottenibile tramite l'unione di due insiemi diversi. Per uscirne fuori bisogna ammettere l'unione tra gli elementi.
Questo porterebbe a: $auub={a,b}!={{a},{b}}={a}uu{b}$. Che però contraddice ${a}uu{b}={a,b}$.
Inoltre sarebbe: ${{a},b}={a}uub$. Però l'elemento che viene unito ( $b$ in questo caso ) ha senso solo se preso da un insieme che lo contiene; non si può prenderlo a sé stante, altrimenti sarebbe un insieme. Però questo porterebbe anche a $auu{a,b}={a,b}$, cosa che prima abbiamo escluso. Ricordiamo che $a$ dev'essere in un insieme contenuto.
EDIT:
A meno che non sia ${{a},{b}}={{a}}uu{{b}}$ e ${{a},b}={{a}}uu{b}$. Mi convince abbastanza, però lascio tutto quello che scritto nel messaggio: può sempre tornare utile che certi dubbi vengano messi in rilievo.Curiosità: $a!={a}!={{a}}$. Rispettivamente: elemento, insieme ( singoletto contenente l'elemento $a$ ), insieme ( singoletto contenente l'insieme ${a}$ ). Ma ${{a}}!={{{a}}}$? Qui mi viene un dubbio. Forse sì, perché dovrebbe trattarsi di un '' gioco '' di rendere l'insieme un elemento: ${{{a}}}$ sarebbe il singoletto che contiene ( ovvero il suo elemento ) il singoletto contenete l'insieme ${a}$. Mentre prima ${{a}}$ era esclusivamente insieme in ${{{a}}}$ è considerabile elemento.
"_GaS_":
Dovrebbe essere, allora: ${a}sub{a,b}$.
Esatto.
"_GaS_":
Se si ammette che l'unione tra elementi non ha senso, penso che si possa ricondurre ad insiemi in questo modo:
- Nell'insieme delle parti di $A$ i sottoinsiemi contenuti esistono, quindi non dovrebbe esserci il bisogno di costruirli tramite gli elementi. Al limite, nel momento in cui li costruisco, diventano insiemi.
Mi riservo di astenermi dal rispondere; quello che dici non è pienamente corretto, ma come ho detto non ha senso parlarne ora, prova a porti queste questioni dopo aver visto un po' meglio la teoria degli insiemi.
"_GaS_":
Esempio: $A={a,b,c}$. ${a,b}$ esiste come possibile sottoinsieme
${a,b}$ è un sottoinsieme di $A$.
"_GaS_":
è ricavabile considerando $a$ e $b$ insiemi:
${a}uu{b}={a,b}$.
Facendo così non stai considerando $a$ e $b$ come insiemi, stai prendendo degli insiemi che hanno rispettivamente come unico elemento $a$ e $b$.
"_GaS_":
Quindi $ {a,b}={{a},b}={{a},{b}} $
(...) '' con quale unione li ottengo '', dal momento che ${a,b}={a}uu{b}$?
Non capisco perché tu li voglia ottenere come unioni. Comunque, se tieni a farlo, si possono scrivere così:
\[
\{\{a\},b\} = \{\{a\}\} \cup \{b\} \\
\{\{a\},\{b\}\} = \{\{a\}\} \cup \{\{b\}\}
\]
(ovvero esattamente come hai fatto nell'edit)
Quello che hai scritto prima dell'edit è sbagliato, ma anche in questo caso è inutile starci a dissertare sopra, ti conviene tornare su queste questioni dopo aver visto meglio la teoria degli insiemi, e un po' di esempi matematici vari, riuscirai ad affrontare questi argomenti più serenamente, il senno di poi in certe questioni è fondamentale.
"_GaS_":
Curiosità: $a!={a}!={{a}}$. Rispettivamente: elemento, insieme ( singoletto contenente l'elemento $a$ ), insieme ( singoletto contenente l'insieme ${a}$ ). Ma ${{a}}!={{{a}}}$? Qui mi viene un dubbio. Forse sì, perché dovrebbe trattarsi di un '' gioco '' di rendere l'insieme un elemento: ${{{a}}}$ sarebbe il singoletto che contiene ( ovvero il suo elemento ) il singoletto contenete l'insieme ${a}$. Mentre prima ${{a}}$ era esclusivamente insieme in ${{{a}}}$ è considerabile elemento.
L'hai scritto in maniera un po' intricata ma direi che è giusto, se il numero di "strati di parentesi" è diverso gli insiemi sono diversi e le ragioni sono quelle che scrivi
Comunque quello che intendevo comunicare è che se ho ${a,b,c}$, indipendentemente da quello che sono i suoi elementi, per ricavare un suo sottoinsieme con unioni, si devono unire sottoinsiemi di ${a,b,c}$ e non elementi; esempio: ${a}uu{b}={a,b}$.
$auub={a,b}$ non dovrebbe avere senso, in quanto $a$ e $b$ appartengono all'insieme, ma non sono inclusi in esso.
Dovesse capitare che gli elementi $a$ e $b$ siano a loro volta insiemi, e dovesse venire per ipotesi in un particolare insieme: $auub={a,b}$, per quanto giusto nel risultato, sarebbe errato da farsi ( il corretto rimane comunque ${a}uu{b}={a,b}$ ), ovvero
idealmente non si può fare per ottenere quella cosa, è necessario procedere nell'altro modo visto.
Per far tornare le cose da più punti di vista. Precisamente ero partito da quest'ottica, ma poi il risultato è stato raggiunto tramite un'altra via. Va bene, però se le cose non tornano anche nell'altro modo ( magari anche per capirne gli errori ), la comprensione rimane solamente parziale, mentre la comprensione deve essere completa, per quanto possibile al momento.
Provvederò al più presto all'insiemistica. Ora come ora mi interessa la correttezza delle questioni appena affrontate, e poi mi ricollegherò ad un discorso finale sull'esercizio.
Ha senso un insieme come questo: ${{a},a}$? Se sì, il problema è '' con quale unione l'ottengo ''? Il mio pregiudizio è che se l'insieme ha cardinalità maggiore di $1$ è sempre scomponibile in sottoinsiemi che uniti rendono l'insieme di partenza; ma non sono sicuro.
Ma in questo caso, se è possibile ${{a}}uu{a}$, cosa viene? Forse ${{a}}!={{a},a}$, in quanto di questi insiemi estratti dall'iniziale uno è sottoinsieme proprio dell'altro. Però, se così fosse, avremmo che se l'insieme ha cardinalità maggiore di $1$ non è necessariamente scomponibile in sottoinsiemi la cui unione rende l'insieme dell'inizio.
$auub={a,b}$ non dovrebbe avere senso, in quanto $a$ e $b$ appartengono all'insieme, ma non sono inclusi in esso.
Dovesse capitare che gli elementi $a$ e $b$ siano a loro volta insiemi, e dovesse venire per ipotesi in un particolare insieme: $auub={a,b}$, per quanto giusto nel risultato, sarebbe errato da farsi ( il corretto rimane comunque ${a}uu{b}={a,b}$ ), ovvero
idealmente non si può fare per ottenere quella cosa, è necessario procedere nell'altro modo visto.
Non capisco perché tu li voglia ottenere come unioni.
Per far tornare le cose da più punti di vista. Precisamente ero partito da quest'ottica, ma poi il risultato è stato raggiunto tramite un'altra via. Va bene, però se le cose non tornano anche nell'altro modo ( magari anche per capirne gli errori ), la comprensione rimane solamente parziale, mentre la comprensione deve essere completa, per quanto possibile al momento.
Provvederò al più presto all'insiemistica. Ora come ora mi interessa la correttezza delle questioni appena affrontate, e poi mi ricollegherò ad un discorso finale sull'esercizio.
Ha senso un insieme come questo: ${{a},a}$? Se sì, il problema è '' con quale unione l'ottengo ''? Il mio pregiudizio è che se l'insieme ha cardinalità maggiore di $1$ è sempre scomponibile in sottoinsiemi che uniti rendono l'insieme di partenza; ma non sono sicuro. Ma in questo caso, se è possibile ${{a}}uu{a}$, cosa viene? Forse ${{a}}!={{a},a}$, in quanto di questi insiemi estratti dall'iniziale uno è sottoinsieme proprio dell'altro. Però, se così fosse, avremmo che se l'insieme ha cardinalità maggiore di $1$ non è necessariamente scomponibile in sottoinsiemi la cui unione rende l'insieme dell'inizio.
"_GaS_":
Comunque quello che intendevo comunicare è che se ho ${a,b,c}$, indipendentemente da quello che sono i suoi elementi, per ricavare un suo sottoinsieme con unioni, si devono unire sottoinsiemi di ${a,b,c}$ e non elementi; esempio: ${a}uu{b}={a,b}$.
Quel che scrivi qui è corretto.
"_GaS_":
$auub={a,b}$ non dovrebbe avere senso
\(\displaystyle a \cup b \) in molti contesti può avere senso, "non ha senso" perché, in generale, non ha niente a che vedere con \(\displaystyle \{ a, b \} \), gli esempi che ho riportato qualche post fa li ho scritti proprio per mettere in evidenza questa cosa, possono venir fuori casi molto diversi tra loro, non c'è una regola fissa, né in positivo né in negativo, per questo, in merito ad \(\displaystyle \{ a, b \} \) dico che parlare in astratto di \(\displaystyle a \cup b \) non ha senso; in un gran numero di casi particolari può averne sempre, non averne mai, averne a volte.
"_GaS_":
in quanto $a$ e $b$ appartengono all'insieme, ma non sono inclusi in esso.
In formule, è sempre vero che \( \ a \cup b \not\subseteq \{a,b\} \), e se almeno uno tra \( a \) e \( b \) non è l'insieme vuoto, vale anche: \(\displaystyle a \cup b \not\in \{a,b\} \). A parlarne in un linguaggio naturale vengon fuori troppe ambiguità, in queste relazioni è riassunta tutta la questione.
"_GaS_":
Dovesse capitare che gli elementi $a$ e $b$ siano a loro volta insiemi, e dovesse venire per ipotesi in un particolare insieme: $auub={a,b}$
Una cosa del genere non può mai capitare perché la teoria degli insiemi è fatta in maniera tale che un insieme non possa contenere se stesso come suo elemento, in quanto ciò porterebbe a (molte) contraddizioni.
"_GaS_":
per quanto giusto nel risultato, sarebbe errato da farsi ( il corretto rimane comunque ${a}uu{b}={a,b}$ ), ovvero
idealmente non si può fare per ottenere quella cosa, è necessario procedere nell'altro modo visto.
Non è una questione ideale, la teoria è fatta in maniera tale da evitare che situazioni simili possano presentarsi.
"_GaS_":
Sì.
"_GaS_":
con quale unione l'ottengo?
Ad esempio, \(\displaystyle \{\{a\}\} \cup \{a\} \).
"_GaS_":
Il mio pregiudizio è che se l'insieme ha cardinalità maggiore di $1$ è sempre scomponibile in sottoinsiemi che uniti rendono l'insieme di partenza; ma non sono sicuro.
È così, per ogni cardinalità.[nota]L'insieme vuoto si ottiene come unione vuota. È una cosa che scrivo per completezza, ma che per ora puoi ignorare.[/nota]
"_GaS_":
Ma in questo caso, se è possibile ${{a}}uu{a}$, cosa viene?
Esattamente \(\displaystyle \{\{a\}, a\} \).
Dovrei aver risposto anche al resto.
A parlarne in un linguaggio naturale vengon fuori troppe ambiguità, in queste relazioni è riassunta tutta la questione.
Ottimo.
Dovrei aver risposto anche al resto.
Sì.
C'è un'apparente ambiguità in $A={{a},a}$. $a,{a}inA;{a},{{a}}subA$. Dubito che troverò la soluzione in un testo.
Concentriamoci su ${a}$ ( equivalentemente serve a distinguere $a$ come elemento di $A$ da $a$ come elemento di ${a}$ ). Esso esiste come elemento di $A$; in $A$ '' non interessa '' cosa ci sia all'interno di ${a}$. ${a}$ esiste come insieme ( sottoinsieme di $A$ ) contenente $a$ tale che sia $a$ un elemento di $A$. Colui che rientra nell'unione non è l'elemento ${a}$, ma l'insieme ${a}$ contenente $a$, dove $a$ in $A$ è un elemento.
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