Esercizio carino sulla divisibilità

[Steven11]

Propongo, per chi non avesse di che riempire la Domenica, questo esercizio.

Sono dati $k$ numeri naturali consecutivi. Dimostrare che il loro prodotto è divisibile per $k!$

La soluzione che conosco io è di una riga, e praticamente ha poco a che fare con l'aritmetica.

Tante cose.

[G.D.5]

Io ne conosco una per induzione. Se non sbaglio una volta postai proprio questo quesito: adesso però non ricordo se la dimostrazione per induzione cui mi riferisco fun trovata nel corso di quella discussione.

[NightKnight1]

La prima cosa che uno pensa è:
tra $k$ numeri consecutivi ce n'è almeno uno divisibile per $k$
tra $k$ numeri consecutivi ce n'è almeno uno divisibile per $k-1$
tra $k$ numeri consecutivi ce n'è almeno uno divisibile per $k-2$
...
tra $k$ numeri consecutivi ce n'è almeno uno divisibile per $2$
tra $k$ numeri consecutivi ce n'è almeno uno divisibile per $3$
Ergo, il prodotto di questi $k$ numeri consecutivi è divisibile per $k(k-1)(k-2) \cdot ... \cdot 3 2=k!$.

Ma questo ragionamento è sbagliato perché potrebbe darsi che il numero scelgo come multiplo di $4$, sia lo stesso numero che scelgo come multiplo di $2$, e quindi in questo caso il prodotto dei numeri potrebbe non essere divisibile per $4 \cdot 2 = 8$.

Credo comunque che l'asserto sia vero, solo che bisogna lavorare coi numeri primi: cioè fattorizzare ogni numero che compare nel prodotto.

[blackbishop13]

@NightKnight

non credo proprio che quel ragionamento sia sbagliato, se hai 4 numeri consecutivi di sicuro ce n'è uno divisibile per $4$ e un'altro che è comunque pari, e prenderai quello come divisibile per 2..e questo vale per ogni numero.
una volta intuita questa cosa il problema è fatto, bisogna solo formalizzarlo.

[ziomauri1]

Secondo me basta ricordare la formula dii calcolo combinatorio:
[tex]\displaystyle \binom {n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)}{k!}[/tex]
con $n >=k$ e dato che il primo membro è intero...

[G.D.5]

Ma al numeratore non hai il prodotto di [tex]k[/tex] interi consecutivi, ma il prodotto di [tex]k-1[/tex] interi consecutivi.

[giaorl]

Ma al numeratore non hai il prodotto di $k$ interi consecutivi, ma il prodotto di $k-1$ interi consecutivi.

Perchè? Io ne conto $k$... E comunque andrebbe bene lo stesso, se $k!$ divide il prodotto di $k-1$ numeri consecutivi non divide anche quello di $k$?

Piuttosto sono curioso di sapere in che ambito Steven abbia letto la dimostrazione: dice che ha poco a che fare con l'aritmetica...

[Steven11]

Anche io ne conto $k$, Wizard (ps: ora ricordo che lo avevi proposto il quesito, in effetti).
I vari $(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ sono $k-1$, indicizzati appunto da $-1$, $-2$,... $-(k-1)$.
Poi c'è $n$ all'inizio.

La prova che conoscevo io è appunto con risvolto combinatorio, come individuato da Ziomauri.

$\frac{(n+k)\cdot...\cdot(n+2)\cdot(n+1)}{k!}$
Moltiplicando sopra e sotto per $n!$ si ottiene una quantità pari a [tex]$\displaystyle \binom{n+k}{k}$[/tex] *, interpretabile come numero dei modi...[etc.].


*o equivalentemente [tex]$\displaystyle \binom{n+k}{n}$[/tex]

[giaorl]

Pensavo conoscessi un modo più astratto per dimostrarlo Ad esempio io sono riuscito a scomodare i gruppi (mi sembra esagerato dire "teoria dei gruppi" per una cosa del genere ) per provare che [tex]\forall n, m \in \mathbb{N},\ m\leq n:\ m!(n-m)![/tex] divide [tex]n![/tex]. Come direbbe un mio professore: "la tesi è nascosta nelle ipotesi!".

Applicare il teorema di Lagrange a un particolare sottogruppo di $S_n$...

[G.D.5]

E' che io sono un animale notturno, quindi alle 15.25 non sono molto lucido, nemmeno per fare la conta...