Esercizio campo di spezzamento
Ho dei problemi su questo esercizio.
Si consideri il polinomio $f=x^6-9 in K[x]$ ove $K=ZZ_5$ oppure $K=QQ$
Determinare campo di spezzamento $E$ di $f$ su $K$, il suo grado su $K$ ed una sua base. Scrivere inoltre tutte le radici di $f$.
Il caso $K=ZZ_5$ l'ho risolto, il caso $K=QQ$ mi risulta un pò più difficoltoso.
Osservo anzitutto che il mio polinomio si scompone nei due fattori irriducibili $(x^3-3)(x^3+3)$
Determino allora $E_1$ campo di spezzamento di $x^3-3$ esso dovrebbe essere $QQ[root(3)(3),xi]$ ove $xi=(-1+isqrt(3))/2$ è la radice del polinomio ciclotomico di $x^3-1$. Il grado complessivo dell'estensione è $6$.
Ora il mio problema è capire se $x^3+3$ si scompone su $E_1$, oppure se devo considerare un'ulteriore estensione.
Il polinomio ciclotomico è lo stesso, quindi $xi$ dovrebbe essere presente, ora mi rimane da capire se $root(3)(-3)$ è presente nel campo. Ma ho problemi a mostrarlo. Oppure esiste un'altra strada?
Grazie a tutti!
Si consideri il polinomio $f=x^6-9 in K[x]$ ove $K=ZZ_5$ oppure $K=QQ$
Determinare campo di spezzamento $E$ di $f$ su $K$, il suo grado su $K$ ed una sua base. Scrivere inoltre tutte le radici di $f$.
Il caso $K=ZZ_5$ l'ho risolto, il caso $K=QQ$ mi risulta un pò più difficoltoso.
Osservo anzitutto che il mio polinomio si scompone nei due fattori irriducibili $(x^3-3)(x^3+3)$
Determino allora $E_1$ campo di spezzamento di $x^3-3$ esso dovrebbe essere $QQ[root(3)(3),xi]$ ove $xi=(-1+isqrt(3))/2$ è la radice del polinomio ciclotomico di $x^3-1$. Il grado complessivo dell'estensione è $6$.
Ora il mio problema è capire se $x^3+3$ si scompone su $E_1$, oppure se devo considerare un'ulteriore estensione.
Il polinomio ciclotomico è lo stesso, quindi $xi$ dovrebbe essere presente, ora mi rimane da capire se $root(3)(-3)$ è presente nel campo. Ma ho problemi a mostrarlo. Oppure esiste un'altra strada?
Grazie a tutti!
Risposte
Ricorda che dato [tex]0 < a \in \mathbb{Q}[/tex], gli zeri di [tex]x^n-a \in \mathbb{Q}[X][/tex] sono [tex]{\eta_n}^i \sqrt[n]{a}[/tex] per [tex]i=1,...,n[/tex], dove [tex]\eta_n[/tex] è una radice primitiva n-esima di 1.
Sì, questo lo ricordo e l'ho usato per determinare lo spezzamento di $x^3-3$, purtroppo però non riesco a capire come sfruttarlo per l'altro polinomio.
Grazie!
Grazie!
"mistake89":Ma non c'è ragione di fattorizzare [tex]x^6-9[/tex], prendi direttamente una radice primitiva sesta di 1.
Sì, questo lo ricordo e l'ho usato per determinare lo spezzamento di $x^3-3$, purtroppo però non riesco a capire come sfruttarlo per l'altro polinomio.
Cioè in pratica considero $QQ[root(6)(9),xi_6]$ ed ho il mio campo di spezzamento?
Ti ringrazio Martino era elementare ma pensavo che quando potevo fattorizzare dovevo farlo subito!
Grazie ancora!
Ti ringrazio Martino era elementare ma pensavo che quando potevo fattorizzare dovevo farlo subito!
Grazie ancora!
"mistake89":Le radici di [tex]x^6-9[/tex] sono [tex]{\zeta_6}^i \sqrt[6]{9}[/tex] per [tex]i=1,...,6[/tex], e il campo di spezzamento lo ottieni aggiungendo queste radici a [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Poi puoi provare a dimostrare che quello che ottieni coincide con [tex]\mathbb{Q}(\zeta_6,\sqrt[6]{9})[/tex].
Cioè in pratica considero $QQ[root(6)(9),xi_6]$ ed ho il mio campo di spezzamento?
Ma non è sempre vero che il campo di spezzamento di [tex]x^n-a[/tex] è [tex]\mathbb{Q}(\zeta_n,\sqrt[n]{a})[/tex], prova con [tex]x^2-2[/tex].
Beh certo, hai ragione. Nel caso da te illustrato dovrebbe essere semplicemente $QQ[sqrt(2)]$ no?
"mistake89":Sì. Ah comunque, è vero che [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/tex], ma la scrittura con le parentesi tonde in genere è preferibile
Beh certo, hai ragione. Nel caso da te illustrato dovrebbe essere semplicemente $QQ[sqrt(2)]$ no?
Lo terrò a mente 
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
Oggi ho riguardo questa esercizio, credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua.
Al di là del discorso di Martino, giustissimo, proseguendo sul mio ragionamento potevo osservare che essendo il grado di $x^6$ pari, detta $alpha$ una sua radice allora anche $-alpha$ sarà una sua radice. Quindi fattorizzando il polinomio $f$ ottengo come scritto in precedenza $(x^3-3)(x^3+3)$; chiamiamo inoltre $E_1=QQ(root(3)(3),xi_6)$ il campo di spezzamento di $x^3-3$, esso dovrebbe essere anche lo spezzamento di $x^3+3$ in quando sicuramente $-root(3)(3) in QQ(root(3)(3),xi_6)$. Le altre radici di questo polinomio si ottengono considerando $-alphaxi_6,-alphaxi_6^2$.
Pertanto $E_1=E$ ed il grado complessivo dell'estensione è $6$.
Che dite può andar bene come ragionamento?
Al di là del discorso di Martino, giustissimo, proseguendo sul mio ragionamento potevo osservare che essendo il grado di $x^6$ pari, detta $alpha$ una sua radice allora anche $-alpha$ sarà una sua radice. Quindi fattorizzando il polinomio $f$ ottengo come scritto in precedenza $(x^3-3)(x^3+3)$; chiamiamo inoltre $E_1=QQ(root(3)(3),xi_6)$ il campo di spezzamento di $x^3-3$, esso dovrebbe essere anche lo spezzamento di $x^3+3$ in quando sicuramente $-root(3)(3) in QQ(root(3)(3),xi_6)$. Le altre radici di questo polinomio si ottengono considerando $-alphaxi_6,-alphaxi_6^2$.
Pertanto $E_1=E$ ed il grado complessivo dell'estensione è $6$.
Che dite può andar bene come ragionamento?
"mistake89":
in quando sicuramente $-root(3)(3) in QQ(root(3)(3),xi_6)$. Le altre radici di questo polinomio si ottengono considerando $-alphaxi_6,-alphaxi_6^2$.
Secondo me c'è una cosa da modificare qua (o forse ho capito male io)... cioè il fatto che $-root(3)(3) in QQ(root(3)(3),xi_6)$ non implica che anche le altre due radici che trovi (che poi come hai detto tu sono $-alphaxi_6,-alphaxi_6^2$) si trovano nel campo... praticamente devi ''anticipare'' l'ultima frase, che è indispensabile per quello che hai dimostrato.
Scusami, forse non sono stato chiarissimo. Quello che volevo dire è che sicuramente le radici terze dell'unità vi appartengono, per costruzione di $E$. L'unica altra radice, appunto $-alpha$, vi appartiene allora i campo di spezzamento di $x^3-3$ e di $x^3+3$ coincidono, che pertanto risulta essere il campo di spezzamento di $f$.
"mistake89":
Scusami, forse non sono stato chiarissimo. Quello che volevo dire è che sicuramente le radici terze dell'unità vi appartengono, per costruzione di $E$. L'unica altra radice, appunto $-alpha$, vi appartiene allora i campo di spezzamento di $x^3-3$ e di $x^3+3$ coincidono, che pertanto risulta essere il campo di spezzamento di $f$.
Allora ok. Però in alternativa (dimmi se sbaglio) se noti che se $alpha$ è radice allora lo è anche $-alpha$ (come hai detto tu prima) e se vedi, come in questo caso, che nelle tre radici di $x^3+3$ non ce ne sono due che sono uno l'opposto dell'altra, allora le 3 radici di $x^3-3$ devono essere necessariamente i 3 opposti delle radici di $x^3+3$ e quindi i due campi sono uguali.
Ciao, scusate se mi intrometto... 
Io ho un problema simile:
Determinare il campo di spezzamento del polinomio $f(x)=x^8-1 in QQ[x]$.
Il mio ragionamento è stato:
$x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$
Poi:
$x^2+1=(x+i)(x-i)$ quindi si spezza in $QQ(i)={a+bi; a,b in QQ}$
$x^4+1=(x^2+i)(x^2-i)$
$x^2-i=(x+sqrt(i))(x-sqrt(i))$ si spezza in $QQ(sqrt(i))$
$x^2+i=(x+isqrt(i))(x-isqrt(i))$ si spezza in $QQ(i,sqrt(i))$
Quindi $QQ(i,sqrt(i))$ è il campo di spezzamento di $x^8-1$.
E' corretto? Secondo voi ho sbagliato a prendere in considerazione $i$ invece che una radice $alpha$ generica?
Grazie!
Io ho un problema simile:
Determinare il campo di spezzamento del polinomio $f(x)=x^8-1 in QQ[x]$.
Il mio ragionamento è stato:
$x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$
Poi:
$x^2+1=(x+i)(x-i)$ quindi si spezza in $QQ(i)={a+bi; a,b in QQ}$
$x^4+1=(x^2+i)(x^2-i)$
$x^2-i=(x+sqrt(i))(x-sqrt(i))$ si spezza in $QQ(sqrt(i))$
$x^2+i=(x+isqrt(i))(x-isqrt(i))$ si spezza in $QQ(i,sqrt(i))$
Quindi $QQ(i,sqrt(i))$ è il campo di spezzamento di $x^8-1$.
E' corretto? Secondo voi ho sbagliato a prendere in considerazione $i$ invece che una radice $alpha$ generica?
Grazie!
"pavola":
Quindi $QQ(i,sqrt(i))$ è il campo di spezzamento di $x^8-1$.
Grazie!
Mi sembra corretto ma c'è qualcosa di 'troppo' nel campo di spezzamento perchè $QQ(i,sqrt(i))=QQ(sqrt(i))$ , puoi togliere la $i$.
E' corretto quella che ti ha scritto Klarence.
Potevi anche arrivarci considerando il polinomio ciclotomico $Phi(8)$: esso ha grado $phi(8)=4$ pertanto esso è $x^4+1$.
Allora il campo di spezzamento è $QQ(alpha)=QQ[x]//(x^4+1)$, il cui grado su $QQ$ è proprio $4$.
Potevi anche arrivarci considerando il polinomio ciclotomico $Phi(8)$: esso ha grado $phi(8)=4$ pertanto esso è $x^4+1$.
Allora il campo di spezzamento è $QQ(alpha)=QQ[x]//(x^4+1)$, il cui grado su $QQ$ è proprio $4$.
L'avevo pensato! Ma come faccio a dire che $i in QQ(sqrt(i))$?
"pavola":
L'avevo pensato! Ma come faccio a dire che $i in QQ(sqrt(i))$?
$i=sqrt(i)*sqrt(i)$
"pavola":
L'avevo pensato! Ma come faccio a dire che $i in QQ(sqrt(i))$?
Perchè il grado dell'estensione è $4$, quindi una sua base è $1,alpha,alpha^2,alpha^3$ e $alpha^2=i$
Ho capito!
Grazie!
Grazie!
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