Esercizio Campi ($sqrt(2)+root(3)(5)$ ha grado 6)
buongiorno ragazzi,
come faccio a dimostrare che $ sqrt(2)+root(3)(5) $ è algebrico su Q di grado 6?
[mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
come faccio a dimostrare che $ sqrt(2)+root(3)(5) $ è algebrico su Q di grado 6?
[mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
Risposte
Devi esibire un polinomio di grado $6$ a coefficienti in $QQ$ tale che $alpha=sqrt2+root3(5)$ ne sia una radice
"Gi8":
Devi esibire un polinomio di grado $6$ a coefficienti in $QQ$ tale che $alpha=sqrt2+root3(5)$ ne sia una radice
...e inoltre mostrare che quel polinomio è il minimo, nel senso del grado (i.e. devi mostrare che nessun polinomio di grado inferiore al sesto può ammettere $alpha$ come radice).
ok, ma c'è un modo veloce per trovarlo?
Parti da $x=sqrt2+root3(5)$ e fai delle manipolazioni in modo da togliere le radici:
Ad esempio, come primo passaggio si potrebbe fare così:
$x-sqrt2=root3(5)=>(x-sqrt2)^3=5$
In questo modo non c'è più la radice cubica.
Continuando da lì si dovrebbe riuscire ad "eliminare" anche la radice quadrata
Ad esempio, come primo passaggio si potrebbe fare così:
$x-sqrt2=root3(5)=>(x-sqrt2)^3=5$
In questo modo non c'è più la radice cubica.
Continuando da lì si dovrebbe riuscire ad "eliminare" anche la radice quadrata
Ho trovato:
$ (x)^(6)-30(x)^(4)-10(x)^(3)+12(x)^(2)+60x+17 $
qualche idea su come mostrare che è irriducibile?
(e soprattutto è giusto?)
$ (x)^(6)-30(x)^(4)-10(x)^(3)+12(x)^(2)+60x+17 $
qualche idea su come mostrare che è irriducibile?
(e soprattutto è giusto?)
edit: meglio autocensurarmi questo intervento. Ho scritto almeno due boiate
"Gi8":
Il polinomio diventa [tex]x^6-x^3+2=x^6+2x^3+2=x^2+2x^3+2[/tex]
(l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che in [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] si ha [tex]x^6=x^2[/tex])
E [tex]2x^3+x^2+2[/tex] è banalmente irriducibile in [tex]\mathbb{Z}_3[/tex]
Uhm, potrei sbagliare, ma questo passaggio non mi convince affatto. Scusa, in [tex]\mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex] si ha anche banalmente [tex]x^3 = x[/tex] e però il polinomio [tex]x^3 - 1 = (x-1)^3[/tex] è riducibile, mentre [tex]x-1[/tex] è irriducibile!
"Gi8":Stupidata bella e buona,
l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che in [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] si ha [tex]x^6=x^2[/tex]
chissà come mi è saltato in mente.
Grazie maurer
Scusa dolce590
Comunque, propongo un metodo più rapido che fornisce direttamente e a colpo sicuro il polinomio minimo di [tex]\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}[/tex]. L'unico problema è che probabilmente la nostra dolce590 è all'inizio di teoria dei campi e quindi non conosce gli strumenti di teoria di Galois.
Lo posto comunque perché potrebbe tornare utile a qualcun altro e magari a dolce590 tra un po' di tempo.
Poniamo [tex]\alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{5}[/tex] e osserviamo banalmente che la chiusura di Galois di [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex] è [tex]K = \mathbb Q [\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \omega][/tex], dove [tex]\omega[/tex] è una radice cubica primitiva dell'unità. Allora, andando a controllare gli automorfismi di [tex]K[/tex], ci si rende conto che i coniugati di [tex]\alpha[/tex] sono tutti e soli gli elementi [tex]\alpha, -\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}, \sqrt{2}+ \omega \sqrt[3]{5}, - \sqrt{2} + \omega \sqrt[3]{5}, \sqrt{2} + \omega^2 \sqrt[3]{5}, - \sqrt{2} + \omega^2 \sqrt[3]{5}[/tex]. Sono sei e questo basta a concludere che il grado di [tex]\alpha[/tex] è proprio 6. Ma se vogliamo, chiamando [tex]\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_6[/tex] i precedenti elementi, otteniamo che [tex]\prod_{i = 1}^6 (x- \alpha_i)[/tex] è il polinomio minimo di [tex]\alpha[/tex]. Ora un po' di conti (= Maple) ci mostrano che il precedente polinomio è precisamente [tex]17 -60x + 12 x^2 - 10 x^3 -6x^4 + x^6[/tex] e quindi automaticamente, abbiamo provato anche la sua irriducibilità.
Il che mi fa presagire che abbiate sbagliato qualche conto, visto che vi viene un altro polinomio. In effetti, chiedendo sempre a Maple, ottengo che valutare il polinomio proposto da voi su [tex]\alpha[/tex] restituisce questo "bel" numero: [tex]-96-192 \sqrt{2} \sqrt[3]{5}-288 \sqrt[3]{5^2}-480 \sqrt{2}-120 \sqrt[3]{5} \ne 0[/tex].
Lo posto comunque perché potrebbe tornare utile a qualcun altro e magari a dolce590 tra un po' di tempo.
Poniamo [tex]\alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{5}[/tex] e osserviamo banalmente che la chiusura di Galois di [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex] è [tex]K = \mathbb Q [\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \omega][/tex], dove [tex]\omega[/tex] è una radice cubica primitiva dell'unità. Allora, andando a controllare gli automorfismi di [tex]K[/tex], ci si rende conto che i coniugati di [tex]\alpha[/tex] sono tutti e soli gli elementi [tex]\alpha, -\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}, \sqrt{2}+ \omega \sqrt[3]{5}, - \sqrt{2} + \omega \sqrt[3]{5}, \sqrt{2} + \omega^2 \sqrt[3]{5}, - \sqrt{2} + \omega^2 \sqrt[3]{5}[/tex]. Sono sei e questo basta a concludere che il grado di [tex]\alpha[/tex] è proprio 6. Ma se vogliamo, chiamando [tex]\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_6[/tex] i precedenti elementi, otteniamo che [tex]\prod_{i = 1}^6 (x- \alpha_i)[/tex] è il polinomio minimo di [tex]\alpha[/tex]. Ora un po' di conti (= Maple) ci mostrano che il precedente polinomio è precisamente [tex]17 -60x + 12 x^2 - 10 x^3 -6x^4 + x^6[/tex] e quindi automaticamente, abbiamo provato anche la sua irriducibilità.
Il che mi fa presagire che abbiate sbagliato qualche conto, visto che vi viene un altro polinomio. In effetti, chiedendo sempre a Maple, ottengo che valutare il polinomio proposto da voi su [tex]\alpha[/tex] restituisce questo "bel" numero: [tex]-96-192 \sqrt{2} \sqrt[3]{5}-288 \sqrt[3]{5^2}-480 \sqrt{2}-120 \sqrt[3]{5} \ne 0[/tex].
Giusto ancora:
$(x-sqrt2)^3=5=> x^3-2sqrt2-3sqrt2 x^2+6x=5=> x^3+6x-5=sqrt2(2+3x^2)=>
$=>(x^3+6x-5)^2=2(2+3x^2)^2=> x^6-6 x^4-10 x^3+12 x^2-60 x+17=0
$(x-sqrt2)^3=5=> x^3-2sqrt2-3sqrt2 x^2+6x=5=> x^3+6x-5=sqrt2(2+3x^2)=>
$=>(x^3+6x-5)^2=2(2+3x^2)^2=> x^6-6 x^4-10 x^3+12 x^2-60 x+17=0
Tra l'altro sia il polinomio che proponete voi, sia il polinomio minimo sono irriducibili e questo si può provare indipendentemente dall'apparato di Galois. Vedete qui!
Costruisci un polinomio di tale grado a coefficienti in $ QQ $ e mostra il tuo valore come sua soluzione 
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