Esercizio Campi ($sin(1)$ è algebrico)

[dolce590]

Buonasera ragazzi,
qualcuno ha idea di come dimostrare che sin(1°) è algebrico su Q?
so farlo per cos(1°) sfruttando le radici primitive dell'unità! [xdom="Martino"]Specificato il titolo.[/xdom]

[Studente Anonimo]

Prova a dimostrare che in generale se [tex]\cos(\alpha)[/tex] è algebrico allora anche [tex]\sin(\alpha)[/tex] è algebrico (ricorda che i numeri algebrici formano un campo).

[dolce590]

Sfruttando ciò riesco a dire che $ (sin )^(2) (x) $ è algebrico... ma come faccio per il seno?

[Studente Anonimo]

Se [tex]\sin^2(\alpha)[/tex] è algebrico allora anche [tex]\sin(\alpha)[/tex] è algebrico, prova a pensarci

Ah, un avvertimento per il futuro:[xdom="Martino"]Sei pregato di usare titoli più specifici, grazie.[/xdom]

[dolce590]

dico:
se sin^2(x) risolve un polinomio prendo lo stesso polinomio con le potenze raddoppiate e allora sin(x) lo risolve... è giusto come ragionamento?

[Studente Anonimo]

Dovresti formalizzarlo meglio: se [tex]P(x)[/tex] è un polinomio tale che [tex]P(\sin^2(\alpha))=0[/tex] allora il polinomio [tex]Q(x):=P(x^2)[/tex] verifica [tex]Q(\sin(\alpha))=0[/tex].

[dolce590]

perfetto, grazie mille!