Esercizio Campi (elemento primitivo)

[dolce590]

Trovare un elemento $ u in RR $ tale che $ QQ (sqrt(2),root(3)(5))= QQ (u) $
ho pensato di prendere $ root(6)(1/10) $ così moltiplicando per un numero razionale qualsiasi riesco ad ottenere tutti quelli che ottenevo con l'ampliamento precedente.
Funziona come ragionamento?

[mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]

[dolce590]

posso dimostrare in generale che Q(a+b)=Q(a,b)???

[Studente Anonimo]

"dolce590":posso dimostrare in generale che Q(a+b)=Q(a,b)???

No, perché è falso: se prendi [tex]b=-a[/tex] e [tex]a[/tex] irrazionale non è vero che [tex]\mathbb{Q}(a,b) = \mathbb{Q}(a+b)[/tex], essendo [tex]\mathbb{Q}(a+b)=\mathbb{Q}[/tex].

Ti consiglio di provare a mostrare che la somma [tex]\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}[/tex] ha grado 6 su Q. Questo è sufficiente per concludere.

[dolce590]

sono molto molto arruginito sui campi... perchè è sufficiente mostrare che la somma ha grado 6?

[Studente Anonimo]

Perché [tex]K := \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})[/tex] ha grado 6 su [tex]\mathbb{Q}[/tex] (lo vedi usando la formula dei gradi), in altre parole [tex]K[/tex] ha dimensione 6 come spazio vettoriale su [tex]\mathbb{Q}[/tex], e [tex]\alpha := \sqrt{2}+\sqrt[3]{5} \in K[/tex], quindi [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex] e [tex]K[/tex] hanno la stessa dimensione su [tex]\mathbb{Q}[/tex] e quindi sono uguali, essendo [tex]\mathbb{Q}(\alpha) \subseteq K[/tex] (un sottospazio vettoriale di [tex]K[/tex] della stessa dimensione di [tex]K[/tex] e' uguale a [tex]K[/tex]).

[dolce590]

GIUSTO!!! grazie mille... rettifico: ho problemi seri con gli spazi vettoriali!