Esercizio applicazioni iniettive e/o suriettive
Salve ragazzi, sto facendo degli esercizi per preparazione. Tuttavia non ho risultati ne svolgimento, quindi non so mai se sto facendo bene o meno. Mi appoggio a voi per avere dei feedback, scusatemi in anticipo ma grazie per il tempo che mi dedicherete.
$ f : Z \\ {0} -> N0$ (N con zero)
$x -> (x+1)(x-1)$
vogliamo sapere se è iniettiva e/o suriettiva.
-
$ 1$ diverso da$ -1 $, appartengono a $Z$(dominio). $f(1) = f(-1) = 0$ Stessa immagine, NON INIETTIVA.
Per ogni $y$ appartenente a $N0$, Esiste $x$ appartenente a $Z : y= f(x) ? $
$ y= (x+1)(x-1) => y= (x^2-1) => x^2 = y+1 => x = rad^2(y+1). $
Però come faccio a dire che non è SURIETTIVA?!? Devo prendere dei numeri che appartengono al codominio e fare l'espressione ?!?
Cioè mi spiego
0,1,2,3,4 .... appartengon a N0 (codominio).
Se faccio :
rad^2 (0+1) = 0
rad^2 (1+1) = 1,41.. ma quindi non appartiene a Z che è il dominio ?!? Ho sbagliato qualcosa?!? Non devo dimostrare che c'è un elemento in N0 che non viene raggiunto dalla f(x) ??
rad^2 (2+1) = 1,73
rad^2 (3+1) = 2
...
...
cioè così in maniera elementare
$ 2 $ appartiene a $N0$, non esiste $x $appartenente a$ Z : 2 = f(x)$.
uhm chiaritemi la mia confusione fatta!
$ f : Z \\ {0} -> N0$ (N con zero)
$x -> (x+1)(x-1)$
vogliamo sapere se è iniettiva e/o suriettiva.
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$ 1$ diverso da$ -1 $, appartengono a $Z$(dominio). $f(1) = f(-1) = 0$ Stessa immagine, NON INIETTIVA.
Per ogni $y$ appartenente a $N0$, Esiste $x$ appartenente a $Z : y= f(x) ? $
$ y= (x+1)(x-1) => y= (x^2-1) => x^2 = y+1 => x = rad^2(y+1). $
Però come faccio a dire che non è SURIETTIVA?!? Devo prendere dei numeri che appartengono al codominio e fare l'espressione ?!?
Cioè mi spiego
0,1,2,3,4 .... appartengon a N0 (codominio).
Se faccio :
rad^2 (0+1) = 0
rad^2 (1+1) = 1,41.. ma quindi non appartiene a Z che è il dominio ?!? Ho sbagliato qualcosa?!? Non devo dimostrare che c'è un elemento in N0 che non viene raggiunto dalla f(x) ??
rad^2 (2+1) = 1,73
rad^2 (3+1) = 2
...
...
cioè così in maniera elementare
$ 2 $ appartiene a $N0$, non esiste $x $appartenente a$ Z : 2 = f(x)$.
uhm chiaritemi la mia confusione fatta!
Risposte
Dire che $f$ è suriettiva significa dire che scelto un qualunque punto $y$ del codominio esiste almeno un punto $x$ del dominio tale che $f(x)=y$.
Dato che hai dimostrato che non esiste alcun punto del dominio la cui immagine sia $2$ hai concluso: non è suriettiva.
Dato che hai dimostrato che non esiste alcun punto del dominio la cui immagine sia $2$ hai concluso: non è suriettiva.
Grazie,
però volevo dimostarlo in maniera più generale provando appunto che x = sqrt(y+1) .. Non c'è modo ?!?
Cioè scusami quì 2 non dovrebbe essere y ?
quindi x = sqrt(2+ 1) no ?
però esce 1,73.. che non appartiene a Z(dominio).
Cioè cosa sbaglio seguendo quella strada ?!?
però volevo dimostarlo in maniera più generale provando appunto che x = sqrt(y+1) .. Non c'è modo ?!?
Cioè scusami quì 2 non dovrebbe essere y ?
quindi x = sqrt(2+ 1) no ?
però esce 1,73.. che non appartiene a Z(dominio).
Cioè cosa sbaglio seguendo quella strada ?!?
Non sbagli nulla, la tua soluzione è corretta 
Dato che non esiste una soluzione intera dell'equazione $f(x)=2$ (perché come giustamente dici $\sqrt{3}\notin\ZZ\backslash{0}$) la funzione non è suriettiva.
Dato che non esiste una soluzione intera dell'equazione $f(x)=2$ (perché come giustamente dici $\sqrt{3}\notin\ZZ\backslash{0}$) la funzione non è suriettiva.
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