Esercizio anello $Z_n$
salve ragazzi, stò cercando di risolvere questo esercizio ma non ci riesco:
i) Determinare i valori di n compresi tra 7 e 10 per i quali nell'anello $Z_n$ gli elementi invertibili siano esattamente 6
ii) Di ognuno degli anelli così individuati specificare la struttura (campo, dominio di integrità ecc...)
iii) Dire in quale di questi anelli la classe $[3]_n$ è invertibile, e determinare la classe inversa, risolvendo un'opportuna equazione congruenziale.
Per il punto iii) non ho problemi, ma non riesco a capire i punti i e ii,
grazie anticiptamente
i) Determinare i valori di n compresi tra 7 e 10 per i quali nell'anello $Z_n$ gli elementi invertibili siano esattamente 6
ii) Di ognuno degli anelli così individuati specificare la struttura (campo, dominio di integrità ecc...)
iii) Dire in quale di questi anelli la classe $[3]_n$ è invertibile, e determinare la classe inversa, risolvendo un'opportuna equazione congruenziale.
Per il punto iii) non ho problemi, ma non riesco a capire i punti i e ii,
grazie anticiptamente
Risposte
Per il punto i usi la funzione di Eulero $\phi(n)$, che ti restituisce la cardinalità degli elementi invertibili in $ZZ_n$, quindi hai:
in $ZZ_7$, $\phi(7)=7^0(7-1)=6$
in $ZZ_8$, $\phi(8)=\phi(2^3)=2^2(2-1)=4$
in $ZZ_9$, $\phi(9)=\phi(3^2)=3^1(3-1)=6$
in $ZZ_10$, $\phi(10)=\phi(2)\phi(5)=2^0(2-1)5^0(5-1)=4$
salvo distrazioni
in $ZZ_7$, $\phi(7)=7^0(7-1)=6$
in $ZZ_8$, $\phi(8)=\phi(2^3)=2^2(2-1)=4$
in $ZZ_9$, $\phi(9)=\phi(3^2)=3^1(3-1)=6$
in $ZZ_10$, $\phi(10)=\phi(2)\phi(5)=2^0(2-1)5^0(5-1)=4$
salvo distrazioni
Scusami mi dici come funziona la funzione di eulero?
Inoltre per il punto iii) ho fatto così:
in $Z_10$, $[3]_10$ risulta essere invertibile:
° = congruo
$3x ° 1 (mod. 10)$
MCD(10,3)=1
$10=3*3+1$
$3=3*1$
utilizzando l'identità di bezout $(ah+bk=1)$ ottengo:
$1=10*(1)-3*(3)$, quindi in definitiva dico che la classe invertibile in $[3]_10$ è $[1]$ ???
in $Z_10$, $[3]_10$ risulta essere invertibile:
° = congruo
$3x ° 1 (mod. 10)$
MCD(10,3)=1
$10=3*3+1$
$3=3*1$
utilizzando l'identità di bezout $(ah+bk=1)$ ottengo:
$1=10*(1)-3*(3)$, quindi in definitiva dico che la classe invertibile in $[3]_10$ è $[1]$ ???
"gaten":
Scusami mi dici come funziona la funzione di eulero?
Come ti ho detto la funzione di Eulero ti permette di sapere quanti sono gli elementi invertibili in $ZZ_n$, e si determina in questo modo:
sia $p$ un numero primo e siano $a,b in ZZ$ coprimi tra loro, cioè $MCD(a,b)=1$, allora
$\phi(p^r)=p^(r-1)(p-1)$
e
$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
"gaten":
Inoltre per il punto iii) ho fatto così:
in $Z_10$, $[3]_10$ risulta essere invertibile:
° = congruo
$3x ° 1 (mod. 10)$
MCD(10,3)=1
$10=3*3+1$
$3=3*1$
utilizzando l'identità di bezout $(ah+bk=1)$ ottengo:
$1=10*(1)-3*(3)$, quindi in definitiva dico che la classe invertibile in $[3]_10$ è $[1]$ ???
Allora, in $ZZ_10$ gli elementi invertibili sono, come avrai visto dalla funzione di Eulero, $4$ e sono esattamente quelli coprimi con $10$, ovvero gli elementi $[2],[3],[7],[9]$, ok.
Ora per quanto riguarda l'elemento $[3]_10$ per sapere qual'è l'inverso moltiplicativo devi risolvere la congruenza $3x-=1_(mod_10)$, e cioè $3x-10k=1$ che ha soluzione per $x=7$ e $k=2$, infatti $3*7-10*2=21-20=1$, quindi $7$ è l'inverso moltiplicativo di $3_(mod_10)$.
[OT] per scrivere il simbolo di congruenza devi usare il simbolo - seguito dal simbolo = [/OT]
Se tipo avessi dovuto calcolare gli invertibili in $Z_11$, essendo primo avrei dovuto fare:
$ϕ(11)=11^0(11−1)=10$ ??? mentre se ho un numero non primo, cerco di ridurlo come prodotto di potenze es $12=2^2*3$ oppure mi conviene fare $ϕ(12)=ϕ(4)*ϕ(3)=4^0(4-1)*3^0(3-1)=3*2=6$ ??? (essendo 4 e 3 coprimi fra loro) ??
Per quanto riguarda il punto iii)
quindi da comeho capito, calcolare un equazione congruenziale del tipo $3x -= 1 (mod. 10)$ equivale andare a svolgere l'equazione di questo tipo $3x-10k=1$ (ricavata da bezout, poichè sappiamo che : $1=MCD(a,n)=ax+nk$).
Io sapevo che in $Z_n$ un elemento è invertibile se $EE b in Z_n : [a]=[1]$ e ciò equivale a risolvere la seguente equazione congruenziale: $[a][x] -= 1 (mod. n)$ applico bezout: $[a][h]+[n][k]=[1]$ e non $-$ come hai fatto tu.
$ϕ(11)=11^0(11−1)=10$ ??? mentre se ho un numero non primo, cerco di ridurlo come prodotto di potenze es $12=2^2*3$ oppure mi conviene fare $ϕ(12)=ϕ(4)*ϕ(3)=4^0(4-1)*3^0(3-1)=3*2=6$ ??? (essendo 4 e 3 coprimi fra loro) ??
Per quanto riguarda il punto iii)
quindi da comeho capito, calcolare un equazione congruenziale del tipo $3x -= 1 (mod. 10)$ equivale andare a svolgere l'equazione di questo tipo $3x-10k=1$ (ricavata da bezout, poichè sappiamo che : $1=MCD(a,n)=ax+nk$).
Io sapevo che in $Z_n$ un elemento è invertibile se $EE b in Z_n : [a]=[1]$ e ciò equivale a risolvere la seguente equazione congruenziale: $[a][x] -= 1 (mod. n)$ applico bezout: $[a][h]+[n][k]=[1]$ e non $-$ come hai fatto tu.
$\phi(11)=10$ e $\phi(12)=\phi(2^2)\phi(3)=2^1(2-1)*3^0(3-1)=4$
Per gli elementi invertibili in $ZZ_n$ quello che ho scritto io, salvo mie cantonate, è quello che scrivi tu
Ricorda che la relazione di congruenza modulo $n$ dice che due elementi sono congrui modulo $n$ se e solo se la loro differenza è un multiplo di $n$; infatti per l'elemento $[3]_10$ se fai $3*7-=1_(mod_10)$ ottieni $21-=1_(mod_10)$ e $10|21-1$ e cioè $20/10=2$.
Per gli elementi invertibili in $ZZ_n$ quello che ho scritto io, salvo mie cantonate, è quello che scrivi tu
Ricorda che la relazione di congruenza modulo $n$ dice che due elementi sono congrui modulo $n$ se e solo se la loro differenza è un multiplo di $n$; infatti per l'elemento $[3]_10$ se fai $3*7-=1_(mod_10)$ ottieni $21-=1_(mod_10)$ e $10|21-1$ e cioè $20/10=2$.
Perfetto sono d'accordissimo con te, mi dici solo come hai ottenuto $h=7$ e $k=2$
"gaten":
Perfetto sono d'accordissimo con te, mi dici solo come hai ottenuto $h=7$ e $k=2$
$3x-10k=1$ si vede a "occhio" che si verifica per $x=7$ e $k=2$
ho capito ma se avessi avuto qualcosa che non si vedeva ad occhio, sò che questo va risolto mediante l'algoritmo delle divisioni successive.
Prima si calcola il $MCD(10,3)$ in questo modo:
$10=3*3+1$
$3=3*1$
dopodichè vado a ritroso partendo dal primo resto non nullo:
$1=10*1-3*3$ arrivato qui cosa dico???
Prima si calcola il $MCD(10,3)$ in questo modo:
$10=3*3+1$
$3=3*1$
dopodichè vado a ritroso partendo dal primo resto non nullo:
$1=10*1-3*3$ arrivato qui cosa dico???
Puoi dire che si risolve per $k=1$ e $x=-3$. Quell'$x$ non ti dice nulla??? $[-3]_10$ a cosa corrisponde?
$[-3]_10={-3+nk : k in Z} = [7]$ perfetto, io non riuscivo a capire il tuo ragionamento, io ci ero arrivato applicando bezout , passo per passo.
Per equazioni congruenziali di questo tipo, applico lo stesso criterio?
$a -= b (mod. n)$
??
inoltre, se sono ad esempio in $Z_24$ ed ho una cosa del tipo $[a][12]=[3]$
cioè devo trovare una classe $[a]$ tale che $[a][12]=[3]$, mi basta svolgere un equazione congruenziale del tipo:
$12x -= 3 (mod. 24)$
???
Per equazioni congruenziali di questo tipo, applico lo stesso criterio?
$a -= b (mod. n)$
??
inoltre, se sono ad esempio in $Z_24$ ed ho una cosa del tipo $[a][12]=[3]$
cioè devo trovare una classe $[a]$ tale che $[a][12]=[3]$, mi basta svolgere un equazione congruenziale del tipo:
$12x -= 3 (mod. 24)$
???
Si, il concetto è lo stesso solo che una equazione congruenziale del tipo $ax-=c_(mod n)$ come quella, ammette soluzione se e solo se $MCD(a,n)=1$ oppure se $MCD(a,n)$ divide $c$, e nel tuo esempio, anche semplificando per $MCD$ avresti comunque che $MCD(4,8)=4$, quindi non sono coprimi e $4$ non divide $1$:
$12x-=3_(mod 24)$ se dividi per $3$ ottieni $4x-=1_(mod 8)$ ma $MCD(4,8)=4$ e $4$ non divide $1$.
$12x-=3_(mod 24)$ se dividi per $3$ ottieni $4x-=1_(mod 8)$ ma $MCD(4,8)=4$ e $4$ non divide $1$.
Quindi non esiste una classe $[a]$ tale che $[a][12]=[3]$ ???
Se sei in modulo $24$ no, perchè $[a]*[12]_24=[0]_24$, $AA[a] in ZZ_24$
O.O aspè questa cosa non l'ho capita, se prendo tipo $[5]_24$ ottengo $[60]_24$ e mica è $[0]_24$
Hai ragione ho scritto una fesseria: $[a]*[12]_24=[0]_24$ , $AA[2a] in ZZ_24$, cioè in pratica è vera per gli elementi pari di $ZZ_24$.
Comunque ritornando al discorso di prima se provo a risolvere la seguente equazione congruenziale:
$12x -= 3 (mod. 24)$, in primis calcolo il $MCD(24, 12)$
$24=12*2+0$ in questo caso il massimo comune divisore è $12$.
Poichè un equazione conguruenziale del tipo $ax -= b (mod. n)$ ammette soluzioni se, e solo se, $MCD(a,n)|b$, nel nostro caso, non ammette soluzioni in quanto $MCD(12,24)=12$ non divide $3$. Quindi in definitiva, in $Z_24$ non esiste nessuna classe $[a]$ tale che $[a][12]=[3]$.
E' corretto?
$12x -= 3 (mod. 24)$, in primis calcolo il $MCD(24, 12)$
$24=12*2+0$ in questo caso il massimo comune divisore è $12$.
Poichè un equazione conguruenziale del tipo $ax -= b (mod. n)$ ammette soluzioni se, e solo se, $MCD(a,n)|b$, nel nostro caso, non ammette soluzioni in quanto $MCD(12,24)=12$ non divide $3$. Quindi in definitiva, in $Z_24$ non esiste nessuna classe $[a]$ tale che $[a][12]=[3]$.
E' corretto?
Esatto. Il punto è che se anche volessi provare a risolvere l'equazione $[12][x]=[3]_24$ ti dovresti calcolare l'inverso moltiplicativo di $[12]_24$ e cioè $12x-=1_(mod 24)$ da cui $12x-24y=1$, ma che non ha soluzione, quindi non puoi calcolare l'inverso e non puoi risolvere quell'equazione.
Un'ultima domanda:
Quando vado a risolvere il $MCD(12,24)$ ho:
$24=12*2 + 0$, qui il resto è 0 quindi come faccio a dire che tra 24 e 12 il MCD è 12???
Quando vado a risolvere il $MCD(12,24)$ ho:
$24=12*2 + 0$, qui il resto è 0 quindi come faccio a dire che tra 24 e 12 il MCD è 12???
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