Esercizio anello $Z_n$
salve ragazzi, stò cercando di risolvere questo esercizio ma non ci riesco:
i) Determinare i valori di n compresi tra 7 e 10 per i quali nell'anello $Z_n$ gli elementi invertibili siano esattamente 6
ii) Di ognuno degli anelli così individuati specificare la struttura (campo, dominio di integrità ecc...)
iii) Dire in quale di questi anelli la classe $[3]_n$ è invertibile, e determinare la classe inversa, risolvendo un'opportuna equazione congruenziale.
Per il punto iii) non ho problemi, ma non riesco a capire i punti i e ii,
grazie anticiptamente
i) Determinare i valori di n compresi tra 7 e 10 per i quali nell'anello $Z_n$ gli elementi invertibili siano esattamente 6
ii) Di ognuno degli anelli così individuati specificare la struttura (campo, dominio di integrità ecc...)
iii) Dire in quale di questi anelli la classe $[3]_n$ è invertibile, e determinare la classe inversa, risolvendo un'opportuna equazione congruenziale.
Per il punto iii) non ho problemi, ma non riesco a capire i punti i e ii,
grazie anticiptamente
Risposte
Tu sai che $d=MCD(a,b)$ è il divisore più grande comune agli interi $a$ e $b$ e che $EEc in ZZ$ tale che $(c|a ^^ c|b) ^^ c|d$.
Il teorema di Bèzout dice che dati due interi $a,b in ZZ$ e dato $d=(a,b)$ allora esistono due interi $r,s in ZZ$ tali che $d=ar+bs$.
La dimostrazione del teorema di Bèzout serve anche a dimostrare l'esistenza del $MCD$:
Sia $D={12ZZ+24ZZ}={12x+24y | x,y in ZZ}$ l'insieme degli interi nella forma $12x+24y$, allora tale insieme è chiuso rispetto l'operazione di somma:
$12x+24y=24y+12x in D$
esiste l'elemento neutro:
$12*0+24*0 in D$
esiste l'elemento inverso:
$12(-x)+24(-y) in D$
allora $D$ è un sottogruppo di $ZZ$, ossia $EEd in ZZ$ tale che $D=dZZ$, cioè $D=12ZZ$. Dalla definizione di sottogruppo, $12$ è l'elemento più piccolo di $12ZZ$ quindi esistono due interi $r,s in ZZ$ tali che $12=12r+24s$.
Per ipotesi abbiamo che $d=(a,b)$, ossia $12=(12,24)$ e dalla definizione di $MCD$ sappiamo che $EEc in ZZ$ tale che $(c|a ^^ c|b) ^^ c|d$, cioè $12=3*4$ e $24=6*4$ (dove $4=c$), per cui posso scrivere $12=3*4*r+6*4*s$ che si risolve per $r=-1$ e $s=1$, infatti $12=4(-3)+4(6)=4(-3+6)=4*3=12$ che altro non è che il nostro $MCD$.
Spero sia chiara la dimostrazione
Il teorema di Bèzout dice che dati due interi $a,b in ZZ$ e dato $d=(a,b)$ allora esistono due interi $r,s in ZZ$ tali che $d=ar+bs$.
La dimostrazione del teorema di Bèzout serve anche a dimostrare l'esistenza del $MCD$:
Sia $D={12ZZ+24ZZ}={12x+24y | x,y in ZZ}$ l'insieme degli interi nella forma $12x+24y$, allora tale insieme è chiuso rispetto l'operazione di somma:
$12x+24y=24y+12x in D$
esiste l'elemento neutro:
$12*0+24*0 in D$
esiste l'elemento inverso:
$12(-x)+24(-y) in D$
allora $D$ è un sottogruppo di $ZZ$, ossia $EEd in ZZ$ tale che $D=dZZ$, cioè $D=12ZZ$. Dalla definizione di sottogruppo, $12$ è l'elemento più piccolo di $12ZZ$ quindi esistono due interi $r,s in ZZ$ tali che $12=12r+24s$.
Per ipotesi abbiamo che $d=(a,b)$, ossia $12=(12,24)$ e dalla definizione di $MCD$ sappiamo che $EEc in ZZ$ tale che $(c|a ^^ c|b) ^^ c|d$, cioè $12=3*4$ e $24=6*4$ (dove $4=c$), per cui posso scrivere $12=3*4*r+6*4*s$ che si risolve per $r=-1$ e $s=1$, infatti $12=4(-3)+4(6)=4(-3+6)=4*3=12$ che altro non è che il nostro $MCD$.
Spero sia chiara la dimostrazione
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