Esercizio Anelli
'Sera, sto esercitandomi su alcune vecchie prove d'esame date dal mio prof. Sò che questa che vi propongo è quasi banali, almeno per chi sà e io non penso di sapere abbastanza 
Ad ogni modo, questo è l'esercizio
Sia $\lambda in ZZ$ e si definisca in $A=ZZ x ZZ$ l'operazione di somma per componenti e quella di prodotto mediante $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,\lambda ac+ bd)$.
1. Verificare che con tali operazioni $A$ risulta un anello commutativo unitario;
2. Dire per quali valori di $\lambda$ tale anello risulta un dominio di integrità;
3. Per $\lambda=25$ si cerchino gli eventuali divisori dello zero;
4. Posto $I={(5b,b)|AA b in ZZ}$ , $J={(a,5a) | AA a in ZZ}$, $M={(a,5b)|AA a,b in ZZ}$, dire quali tra essi sono ideali di $A$.
Sul punto 1 nessun problema, semplicemente si dimostra che A è un anello commutativo unitario dato che valgono le varie proprietà (Commutativià, associativià, esistenza elemento neutro e elemento inverso).
Riguardo il punto 2 invece pensavo di risolvere dimostrando che vale la legge dell'annullamento del prodotto, o che viceversa non ha divisori dello zero, e quindi mi riduco in entrambi i casi ad avere un sistema di questo tipo
${(ad + bc =0), (\lambdaac + bd =0):}$
adesso devo fare tutti casi, ossia per $a=0$ allora ..... ??
P.S: So come si calcolano i divisori dello zero, però la seconda equazione del sistema aveva solo 2 variabili, non 4...
Potreste dirmi se è sbagliato il mio pensiero?
Grazie a tutti.
Ad ogni modo, questo è l'esercizio
Sia $\lambda in ZZ$ e si definisca in $A=ZZ x ZZ$ l'operazione di somma per componenti e quella di prodotto mediante $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,\lambda ac+ bd)$.
1. Verificare che con tali operazioni $A$ risulta un anello commutativo unitario;
2. Dire per quali valori di $\lambda$ tale anello risulta un dominio di integrità;
3. Per $\lambda=25$ si cerchino gli eventuali divisori dello zero;
4. Posto $I={(5b,b)|AA b in ZZ}$ , $J={(a,5a) | AA a in ZZ}$, $M={(a,5b)|AA a,b in ZZ}$, dire quali tra essi sono ideali di $A$.
Sul punto 1 nessun problema, semplicemente si dimostra che A è un anello commutativo unitario dato che valgono le varie proprietà (Commutativià, associativià, esistenza elemento neutro e elemento inverso).
Riguardo il punto 2 invece pensavo di risolvere dimostrando che vale la legge dell'annullamento del prodotto, o che viceversa non ha divisori dello zero, e quindi mi riduco in entrambi i casi ad avere un sistema di questo tipo
${(ad + bc =0), (\lambdaac + bd =0):}$
adesso devo fare tutti casi, ossia per $a=0$ allora ..... ??
P.S: So come si calcolano i divisori dello zero, però la seconda equazione del sistema aveva solo 2 variabili, non 4...
Potreste dirmi se è sbagliato il mio pensiero?
Grazie a tutti.
Risposte
E perchè esercizio sui gruppi
"mistake89":
E perchè esercizio sui gruppi
Ossignore scusa!!! Mi sono bevuta completamente il cervello.... Pensavo anelli ma ho scritto gruppi... Andiamo bene!
Cmq modificato titolo... Scusate ancora
Sul punto 1 nessun problema, semplicemente si dimostra che A è un anello commutativo unitario dato che valgono le varie proprietà (Commutativià, associativià, esistenza elemento neutro e elemento inverso).
Sono sicura che si tratta solo di un errore di scrittura, ma attenta. Elemento inverso della moltiplicazione non è detto che ci sia, stai dimostrando che è un anello non che è un campo.
Per quanto riguarda il punto 2) prova proprio a risolvere la prima equazione rispetto a una variabile e poi sostituendo nella seconda..
"claudiamatica":
Elemento inverso della moltiplicazione non è detto che ci sia, stai dimostrando che è un anello non che è un campo.
Si infatti ho provato che vale l'associatività sia per la somma che per il prodotto, così come la commutatività e l'esistenza dell'elemento neutro. L'inverso l'ho provato solo per la somma. E poi come ultima prova la distributività del prodotto rispetto la somma. Valendo tutte è un anello commutativo unitario.
"claudiamatica":
Per quanto riguarda il punto 2) prova proprio a risolvere la prima equazione rispetto a una variabile e poi sostituendo nella seconda..
Quindi per esempio dalla prima equazione mi ricavo $a=-(bc)/d$ ma questo numero non rientra in $ZZ$ e quindi non è elemento di $A$ dato che è stato definito come $A=ZZxZZ$. Sbaglio?
Grazie
Beh no, attenzione..
Tutti e quattro quei numeri $a, b, c, d$ sono interi. Inoltre stai supponendo che il prodotto $ad$ sia uguale a $-bc$, dove almeno uno tra $c$ e $d$ è diverso da 0. Diciamo, $d$. Se $bc$ è 0 allora deve essere 0 anche $a$. In questo caso nella seconda equazione hai, in ogni caso, $bd$=0 il che implica $b=0$, ovvero uno dei due elementi è lo 0 del gruppo.
Quindi puoi supporre $bc$ diverso da 0, e in questo caso $d$ dovrà dividere $bc$, per la prima equazione.
Se poi sostituisci nella seconda cosa ti viene?
[Scusa, ho fatto degli errori di fretta e ho corretto]
Tutti e quattro quei numeri $a, b, c, d$ sono interi. Inoltre stai supponendo che il prodotto $ad$ sia uguale a $-bc$, dove almeno uno tra $c$ e $d$ è diverso da 0. Diciamo, $d$. Se $bc$ è 0 allora deve essere 0 anche $a$. In questo caso nella seconda equazione hai, in ogni caso, $bd$=0 il che implica $b=0$, ovvero uno dei due elementi è lo 0 del gruppo.
Quindi puoi supporre $bc$ diverso da 0, e in questo caso $d$ dovrà dividere $bc$, per la prima equazione.
Se poi sostituisci nella seconda cosa ti viene?
[Scusa, ho fatto degli errori di fretta e ho corretto]
Ahn ecco... Sostituendo ottengo
$\lambda (-(bc)/d)*c + bd=0$ a questo punto mi verrebbe in mente di mettere $b$ a fattore comune ottenendo $b(\lambda c^2/d + d)=0$.
Quindi $b=0$ ... Giusto fin quì?
$\lambda (-(bc)/d)*c + bd=0$ a questo punto mi verrebbe in mente di mettere $b$ a fattore comune ottenendo $b(\lambda c^2/d + d)=0$.
Quindi $b=0$ ... Giusto fin quì?
Se b è 0 ritorni al caso di prima, ovvero che uno degli elementi (e cioè (a,b)) è lo 0 del gruppo, e questo non ti dà informazioni su come deve essere fatto $\lambda$ affinchè ci siano divisori di 0.
è il fattore in parentesi che ti interessa.
è il fattore in parentesi che ti interessa.
Infatti alla fine ottengo che $\lambda = d^2/c^2$... E in base alle informazioni della prima equazione, nè c nè d può essere nullo... Giusto?
Grazie!
Grazie!
Si, anche se io direi che possiamo fermarci alla scrittura $\lambda c^2 = d^2$. Ricordati che comunque (al di là delle considerazioni sul fatto che le varie componenti possono essere uguali o diverse da 0) tu stai cercando al momento condizioni su come, in generale, deve essere fatto $\lambda$ affinchè ci siano divisori di 0. Poi in un secondo momento puoi certamente interessarti di come sono fatti questi divisori di 0, una volta che $\lambda$ sia stato fissato in modo che ce ne siano.
Quindi la domanda ora è questa. Dall'ultima scrittura che hai ottenuto riesci a rispondere alla domanda "come deve essere fatto $\lambda$ affinchè ci siano divisori di 0?
Quindi la domanda ora è questa. Dall'ultima scrittura che hai ottenuto riesci a rispondere alla domanda "come deve essere fatto $\lambda$ affinchè ci siano divisori di 0?
Sinceramente no, cioè mi verrebbe da dire che deve essere estraibile la sua radice quadrata, però non ne sono sicura... E' quì il nodo della matassa
Esattamente. Quelli sono numeri interi, quindi per avere divisori di 0 devi avere che $\lambda$ è un quadrato in Z.
Infatti nel punto 3 ti prende $\lambda = 25$.
Dalle formule che ti sei tirata fuori al punto 2 dovresti quindi essere in grado di capire come sono fatti i divisori di 0, una volta che lambda sia stato fissato.
Infatti nel punto 3 ti prende $\lambda = 25$.
Dalle formule che ti sei tirata fuori al punto 2 dovresti quindi essere in grado di capire come sono fatti i divisori di 0, una volta che lambda sia stato fissato.
Ok, il dubbio però che mi sorge è il seguente. Nel punto 2) si doveva dire per quali valori di $\lambda$ l'anello $A$ è un dominio d'integrità. Per dire che un anello è un dominio d'integrità posso verificare che vale la legge dell'annullamento del prodotto, ossia presi $a,b in A$ dal fatto che $a*b=0$ segue che deve aversi $a=0$ oppure $b=0$. o viceversa che NON ha divisori dello zero, ossia non esiste un $a!=0$ che moltiplicato a $b!=0$ dà $0$..
Nel nostro caso abbiamo che $a=(a,b)$ e $b=(c,d)$ e abbiamo visto che $(a,b)= (0,0)$ e quindi abbiamo verificato che per $\lambda$ che è un quadrato di $ZZ$ è valida la legge dell'annullamento del prodotto... Esatto?
Vabbè che avendo dimostrato che $a=0$ e non diverso da $0$ allora non è divisore dello zero..... Me scema
Nel nostro caso abbiamo che $a=(a,b)$ e $b=(c,d)$ e abbiamo visto che $(a,b)= (0,0)$ e quindi abbiamo verificato che per $\lambda$ che è un quadrato di $ZZ$ è valida la legge dell'annullamento del prodotto... Esatto?
Vabbè che avendo dimostrato che $a=0$ e non diverso da $0$ allora non è divisore dello zero..... Me scema
Allora. Per rispondere alla domanda del punto 2 tu hai imposto che, prendendo due elementi di A che non fossero 0 (quindi sia (a,b) che (c,d) sono diversi da (0,0)) il loro prodotto facesse 0.
Questo significa chiedersi quando l'anello A NON è un dominio di integrità, nel senso che sei andata a cercarti come sono fatti i divisori di 0, se ce ne sono.
Nè è venuto fuori che per avere quelle relazioni rispettate in maniera non banale devi per forza avere che $\lambda$ è un quadrato.
Quindi se $\lambda$ è un quadrato quelle relazioni lì (mi riferisco al sistema che hai scritto) possono essere rispettate, ovvero ci sono degli elementi (a,b) e (c,d) non nulli che danno un prodotto nullo.
Poi come sono fatti questi elementi è un altro paio di maniche.
E' chiaro o ci sono dubbi?
Questo significa chiedersi quando l'anello A NON è un dominio di integrità, nel senso che sei andata a cercarti come sono fatti i divisori di 0, se ce ne sono.
Nè è venuto fuori che per avere quelle relazioni rispettate in maniera non banale devi per forza avere che $\lambda$ è un quadrato.
Quindi se $\lambda$ è un quadrato quelle relazioni lì (mi riferisco al sistema che hai scritto) possono essere rispettate, ovvero ci sono degli elementi (a,b) e (c,d) non nulli che danno un prodotto nullo.
Poi come sono fatti questi elementi è un altro paio di maniche.
E' chiaro o ci sono dubbi?
Si, quindi se ho detto che per esserci i divisori dello zero $\lambda$ deve essere un quadrato, la risposta alla domanda del 2) è che $\lambda$ NON deve essere un quadrato, altrimenti avrei i divisori dello zero e a quel punto A non sarebbe più un dominio d'integrità... Giusto?
Esatto. Ti ho risposto perchè avevi scritto (hai quindi solo scordato un "non"):
E di questo è vero esattamente l'opposto. La legge di annullamento vale se (e solo se) lambda non è un quadrato.
e quindi abbiamo verificato che per $\lambda$ che è un quadrato è valida la legge dell'annullamento del prodotto... Esatto?
E di questo è vero esattamente l'opposto. La legge di annullamento vale se (e solo se) lambda non è un quadrato.
Si avevo dimenticato il non... Come avrai già capito ho un problema tra input e output nel cervello Cioè penso al non e poi non lo scrivo...
Cmq grazie, venendo adesso al punto 3) questo è il mio ragionamento.
Presi $(a,b), (c,d) != 0$ allora si deve verificare il sistema ${(ad + bc=0),(25ac + bd=0):}$ e procedendo come al punto 2), ottengo che $b=0$ e che $d=5c$ (entrambe ricavate dalla seconda equazione). Adesso riportando i risultati alla prima equaz. ottengo $a * 5c=0$ e quindi $a=0$ però qualcosa non mi quadra visto che per definizione $(a,b)!=0$ e noi otteniamo proprio $(0,0)$
Cioè penso al non e poi non lo scrivo... Cmq grazie, venendo adesso al punto 3) questo è il mio ragionamento.
Presi $(a,b), (c,d) != 0$ allora si deve verificare il sistema ${(ad + bc=0),(25ac + bd=0):}$ e procedendo come al punto 2), ottengo che $b=0$ e che $d=5c$ (entrambe ricavate dalla seconda equazione). Adesso riportando i risultati alla prima equaz. ottengo $a * 5c=0$ e quindi $a=0$ però qualcosa non mi quadra visto che per definizione $(a,b)!=0$ e noi otteniamo proprio $(0,0)$
$b=0$ non lo ottieni per forza. La seconda equazione è un prodotto di numeri interi:
$b(25c^2-d^2)=0$. Questo prodotto è 0 se almeno uno dei due fattori è 0.
Per cui $b=0$ è un caso, ok (ed è il caso in cui il prodotto di (a,b) e (c,d) viene 0 perchè una delle due coppie è lo 0 del gruppo)
Ma hai l'altro caso per cui $d^2=25c^2$, ovvero $d=\pm 5c$ e $b$ è diverso da 0.
$b(25c^2-d^2)=0$. Questo prodotto è 0 se almeno uno dei due fattori è 0.
Per cui $b=0$ è un caso, ok (ed è il caso in cui il prodotto di (a,b) e (c,d) viene 0 perchè una delle due coppie è lo 0 del gruppo)
Ma hai l'altro caso per cui $d^2=25c^2$, ovvero $d=\pm 5c$ e $b$ è diverso da 0.
"claudiamatica":
Ma hai l'altro caso per cui $d^2=25c^2$, ovvero $d=\pm 5c$ e $b$ è diverso da 0.
Torniamo allora alla prima equazione, ossia $ad+bc=0$.
Fin'ora io so che $b!=0$ e che $d = +- 5c$. Distinguo pertanto i 2 casi:
1° caso: $d=5c$ allora ottengo $a*5c + bc=0$ raccolgo il termine $c$ ottenendo $c(5a+b)=0$.
Quì possono verificarsi altri 2 sottocasi:
1° Sottocaso:$c=0$ e allora $5a+b!=0$;
2° Sottocaso:$5a+b=0$ e $c!=0$. In questo caso allora ottengo che $b=-5a$ con $a!=0$ (altrimenti non sarebbe vero che $b!=0$, come abbiamo supposto dall'inizio).
2° caso: $d=-5c$ e ottengo sempre i 2 sottocasi, però nel 2° ottengo $b=5a$.
Quindi mi verrebbe da dire che i divisori dello zero sono $(a, 5a),(a,-5a), (0,5c),(c,5c),(0,-5c),(c,-5c)$.
Quindi mi verrebbe da dire che i divisori dello zero sono .... .
Tu devi dare un'espressione generica di un divisore di 0, per cui dire che i divisori di 0 sono nella forma $(a,\pm 5a)$ con $a in Z$ direi che è tutto quello che serve.
Attenzione però che le coppie del tipo $(0, 5a)$ non sono divisori di 0
ok, e $(c, +-5c)$ non è divisore dello zero allora? 
Grazie per la pazienza!
Grazie per la pazienza!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo