Esercizio Anelli
'Sera, sto esercitandomi su alcune vecchie prove d'esame date dal mio prof. Sò che questa che vi propongo è quasi banali, almeno per chi sà e io non penso di sapere abbastanza 
Ad ogni modo, questo è l'esercizio
Sia $\lambda in ZZ$ e si definisca in $A=ZZ x ZZ$ l'operazione di somma per componenti e quella di prodotto mediante $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,\lambda ac+ bd)$.
1. Verificare che con tali operazioni $A$ risulta un anello commutativo unitario;
2. Dire per quali valori di $\lambda$ tale anello risulta un dominio di integrità;
3. Per $\lambda=25$ si cerchino gli eventuali divisori dello zero;
4. Posto $I={(5b,b)|AA b in ZZ}$ , $J={(a,5a) | AA a in ZZ}$, $M={(a,5b)|AA a,b in ZZ}$, dire quali tra essi sono ideali di $A$.
Sul punto 1 nessun problema, semplicemente si dimostra che A è un anello commutativo unitario dato che valgono le varie proprietà (Commutativià, associativià, esistenza elemento neutro e elemento inverso).
Riguardo il punto 2 invece pensavo di risolvere dimostrando che vale la legge dell'annullamento del prodotto, o che viceversa non ha divisori dello zero, e quindi mi riduco in entrambi i casi ad avere un sistema di questo tipo
${(ad + bc =0), (\lambdaac + bd =0):}$
adesso devo fare tutti casi, ossia per $a=0$ allora ..... ??
P.S: So come si calcolano i divisori dello zero, però la seconda equazione del sistema aveva solo 2 variabili, non 4...
Potreste dirmi se è sbagliato il mio pensiero?
Grazie a tutti.
Ad ogni modo, questo è l'esercizio
Sia $\lambda in ZZ$ e si definisca in $A=ZZ x ZZ$ l'operazione di somma per componenti e quella di prodotto mediante $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,\lambda ac+ bd)$.
1. Verificare che con tali operazioni $A$ risulta un anello commutativo unitario;
2. Dire per quali valori di $\lambda$ tale anello risulta un dominio di integrità;
3. Per $\lambda=25$ si cerchino gli eventuali divisori dello zero;
4. Posto $I={(5b,b)|AA b in ZZ}$ , $J={(a,5a) | AA a in ZZ}$, $M={(a,5b)|AA a,b in ZZ}$, dire quali tra essi sono ideali di $A$.
Sul punto 1 nessun problema, semplicemente si dimostra che A è un anello commutativo unitario dato che valgono le varie proprietà (Commutativià, associativià, esistenza elemento neutro e elemento inverso).
Riguardo il punto 2 invece pensavo di risolvere dimostrando che vale la legge dell'annullamento del prodotto, o che viceversa non ha divisori dello zero, e quindi mi riduco in entrambi i casi ad avere un sistema di questo tipo
${(ad + bc =0), (\lambdaac + bd =0):}$
adesso devo fare tutti casi, ossia per $a=0$ allora ..... ??
P.S: So come si calcolano i divisori dello zero, però la seconda equazione del sistema aveva solo 2 variabili, non 4...
Potreste dirmi se è sbagliato il mio pensiero?
Grazie a tutti.
Risposte
Tu stai dando l'espressione di un generico divisore di 0. Che tu lo chiami $(a,\pm 5a)$ o lo chiami $(c, \pm 5c)$ non cambia niente 
.
Dire che $x=(a, \pm 5a)!=0$ è un divisore di 0 vuol dire che esiste in A un altro elemento $y!=0$ tale che $xy=0$.
Se tu vuoi dire, fissato $x$, come è fatto questo $y$ allora ha senso fare distinzione tra chi è $a$ e chi è $c$, ma se stai solo indicando come sono fatti i divisori di 0 (senza andare anche a dire chi è poi l'altro divisore di 0 specifico tale che il prodotto sia 0) allora $(a, \pm 5a)$ , con a generico elemento di Z non nullo, è quello che cerchi.
E' chiaro o ci sono dubbi?
.Dire che $x=(a, \pm 5a)!=0$ è un divisore di 0 vuol dire che esiste in A un altro elemento $y!=0$ tale che $xy=0$.
Se tu vuoi dire, fissato $x$, come è fatto questo $y$ allora ha senso fare distinzione tra chi è $a$ e chi è $c$, ma se stai solo indicando come sono fatti i divisori di 0 (senza andare anche a dire chi è poi l'altro divisore di 0 specifico tale che il prodotto sia 0) allora $(a, \pm 5a)$ , con a generico elemento di Z non nullo, è quello che cerchi.
E' chiaro o ci sono dubbi?
Si tutto chiaro, scusa... Me ri scema
Passo al punto 4).
Inizio a verificare se $I={(5b,b)| AA b in ZZ}$ è un ideale di $A$. Per farlo considero 2 elementi di $I$, prendiamo $(5b,b),(5b',b') in I$ allora la loro sottrazione deve ancora essere $in I$, quindi $(5b,b)-(5b',b')=[5(b-b'),b-b'] in I$ e in effetti è così.
Preso adesso $(a,b) in A$ e sempre $(5b,b) in I$ allora $(a,b)*(5b,b)inI$ affinchè $I$ sia un ideale di $A$... Quì mi sorge un dubbio circa il valore di $\lambda$... Devo lasciare come incognita (anche se non vedo il motivo) o considerarla $25$?
Grazie Grazie Grazie per la pazienza!!
Passo al punto 4).
Inizio a verificare se $I={(5b,b)| AA b in ZZ}$ è un ideale di $A$. Per farlo considero 2 elementi di $I$, prendiamo $(5b,b),(5b',b') in I$ allora la loro sottrazione deve ancora essere $in I$, quindi $(5b,b)-(5b',b')=[5(b-b'),b-b'] in I$ e in effetti è così.
Preso adesso $(a,b) in A$ e sempre $(5b,b) in I$ allora $(a,b)*(5b,b)inI$ affinchè $I$ sia un ideale di $A$... Quì mi sorge un dubbio circa il valore di $\lambda$... Devo lasciare come incognita (anche se non vedo il motivo) o considerarla $25$?
Grazie Grazie Grazie per la pazienza!!
Non mi è molto chiaro perchè la cosa della sottrazione.
Intanto per vedere se I è un ideale devi vedere se è un sottogruppo del gruppo additivo di A.
E direi che lo è abbastanza tranquillamente.. lo 0 c'è, gli opposti pure, e le somme sono ancora del tipo $(5(a+b),a+b)$.
Poi devi verificare che assorba i prodotti, cioè come dici tu che presi $a in A$ e $i in I$ il prodotto $ai$ sta ancora in I. Poichè hai già mostrato che l'anello è commutativo non c'è bisogno di controllare che assorba da entrambi i lati, tanto se è ideale sinistro è anche ideale destro.
Per il $\lambda$.. l'esercizio non specifica se sei nel caso del punto 3) oppure generico. In ogni caso lo puoi lasciare generico, fai i prodotti e vedi che cosa viene.
Attenzione a una cosa: se chiami $(5b,b)$ l'elemento generico di I non puoi chiamare $(a,b)$ l'elemento generico di A, lo devi chiamare tipo $(a,c)$ cioè usa un'altra lettera.
EDIT:
Comunque guardando anche come sono fatti gli altri ideali (cioè quelli che devi verificare se sono ideali o no) direi che probabilmente siamo nel caso $\lambda=25$.
Tuttavia potresti anche lasciarti $\lambda$ generico ed eventualmente dire anche che il tale I è ideale se lambda vale TOT, e non è ideale nel caso lambda valga TOT ALTRO.
Intanto per vedere se I è un ideale devi vedere se è un sottogruppo del gruppo additivo di A.
E direi che lo è abbastanza tranquillamente.. lo 0 c'è, gli opposti pure, e le somme sono ancora del tipo $(5(a+b),a+b)$.
Poi devi verificare che assorba i prodotti, cioè come dici tu che presi $a in A$ e $i in I$ il prodotto $ai$ sta ancora in I. Poichè hai già mostrato che l'anello è commutativo non c'è bisogno di controllare che assorba da entrambi i lati, tanto se è ideale sinistro è anche ideale destro.
Per il $\lambda$.. l'esercizio non specifica se sei nel caso del punto 3) oppure generico. In ogni caso lo puoi lasciare generico, fai i prodotti e vedi che cosa viene.
Attenzione a una cosa: se chiami $(5b,b)$ l'elemento generico di I non puoi chiamare $(a,b)$ l'elemento generico di A, lo devi chiamare tipo $(a,c)$ cioè usa un'altra lettera.
EDIT:
Comunque guardando anche come sono fatti gli altri ideali (cioè quelli che devi verificare se sono ideali o no) direi che probabilmente siamo nel caso $\lambda=25$.
Tuttavia potresti anche lasciarti $\lambda$ generico ed eventualmente dire anche che il tale I è ideale se lambda vale TOT, e non è ideale nel caso lambda valga TOT ALTRO.
Si hai ragione, nel quaderno infatti avevo scritto $(a,c) in A$... Solita sbadata..
Comunque, togliamoci dal dubbio e prendiamo $(x,y) in A$ adesso dovrei avere che $(x,y)*(5b,b) in I$. Eseguo il prodotto tenendo conto di $\lambda=25$ e ottengo $[b(x+5y),b(125x+y)]$ e questo non mi sembra sia elemento di I... Sbaglio?
Comunque, togliamoci dal dubbio e prendiamo $(x,y) in A$ adesso dovrei avere che $(x,y)*(5b,b) in I$. Eseguo il prodotto tenendo conto di $\lambda=25$ e ottengo $[b(x+5y),b(125x+y)]$ e questo non mi sembra sia elemento di I... Sbaglio?
Facendo i calcoli per gli altri 2 "aspiranti" ideali ho che
- $J={(a,5a)| AA a in ZZ}$ è un ideale, perchè risulta cmq un sottogruppo del gruppo additivo di A e preso $(x,y) in A$ e $(a,5a) in J$ allora $(x,y)*(a,5a) in J$ perchè ottengo $[a(5x+y),5a(5x+y)] in J$.
- $M={(a,5b)| AA a,b in ZZ}$ non è un ideale perchè non risulta verificata la seconda condizione, ossia presi $(x,y) in A$ e $(a,5b) in M$ allora $(x,y)*(a,5b) !in M$ perchè ottengo $[5bx+ay,5(5ax+by)] !in M$.
Ti risulta?
EDIT: sostituito il 5 con il 25 che avevo erroneamente scritto in precedenza..
- $J={(a,5a)| AA a in ZZ}$ è un ideale, perchè risulta cmq un sottogruppo del gruppo additivo di A e preso $(x,y) in A$ e $(a,5a) in J$ allora $(x,y)*(a,5a) in J$ perchè ottengo $[a(5x+y),5a(5x+y)] in J$.
- $M={(a,5b)| AA a,b in ZZ}$ non è un ideale perchè non risulta verificata la seconda condizione, ossia presi $(x,y) in A$ e $(a,5b) in M$ allora $(x,y)*(a,5b) !in M$ perchè ottengo $[5bx+ay,5(5ax+by)] !in M$.
Ti risulta?
EDIT: sostituito il 5 con il 25 che avevo erroneamente scritto in precedenza..
Per I ok.
Per J ok, anche se sulla seconda componente una volta raccolto il 5a il coefficiente di x è 5.
Secondo me anche M è ideale, perchè l'elemento che ottieni è ancora nella forma (a, 5b)
Per J ok, anche se sulla seconda componente una volta raccolto il 5a il coefficiente di x è 5.
Secondo me anche M è ideale, perchè l'elemento che ottieni è ancora nella forma (a, 5b)
"claudiamatica":
Per J ok, anche se sulla seconda componente una volta raccolto il 5a il coefficiente di x è 5.
Hai ragione... Scusa, mi chiedo come fai a non dirmene 4 dopo tutte le sviste o cretinaggini che ho detto
"claudiamatica":
Secondo me anche M è ideale, perchè l'elemento che ottieni è ancora nella forma (a, 5b)
Questa non mi è chiara... Risulta anche la b però , cioè è della forma [a+b, 5(a+b)] e non solo (a, 5b)..
Il generico elemento di M è nella forma $(a,5b)$ con a e b interi.
Visto che quando sei andata a moltiplicare un generico elemento di M per un elemento dell'anello il risultato è ancora un elemento del tipo (intero, intero multiplo di 5) direi che M è ideale.
Cos'è che non ti torna?
Visto che quando sei andata a moltiplicare un generico elemento di M per un elemento dell'anello il risultato è ancora un elemento del tipo (intero, intero multiplo di 5) direi che M è ideale.
Cos'è che non ti torna?
La cosa che mi aveva lasciata perplessa era vedere non solo a moltiplicato per x o y ma vedere anche b e viceversa. Però ho ricommesso l'errore di prima, ossia considero sempre a, b, x,y non numeri generici di $ZZ$ ma particolari tipi di numeri diversi tra di loro. Quindi tornando ad usare il cervello hai ragione... Grazieeee!!!
Dovrei farti una statua d'oro .. Ho finalmente chiaro questa storia degli ideali etc...
Dovrei farti una statua d'oro
.. Ho finalmente chiaro questa storia degli ideali etc...
Mi ha fatto molto piacere aiutarti, sono argomenti che amo molto e quando c'è qualcosa che so mi fa piacere spiegarlo.
Per qualsiasi problema scrivi pure, se non so rispondere io c'è certamente qualcuno che sa farlo.
In bocca al lupo,
Claudia
Per qualsiasi problema scrivi pure, se non so rispondere io c'è certamente qualcuno che sa farlo.
In bocca al lupo,
Claudia
"claudiamatica":
Per qualsiasi problema scrivi pure, se non so rispondere io c'è certamente qualcuno che sa farlo.
Si mi piace molto questo forum proprio per questo motivo... Non viene data la soluzione e basta ma si cerca di far ragionare, cosa fondamentale in ambito matematico e nella vita in generale. Ti ringrazio moltissimo, purtroppo l'algebra sebbene mi piaccia tanto non riesco proprio a capirla al 100%... Non avendo seguito le lezioni poi pure peggio...
Comunque crepi il lupo! Grazie per la disponibilità e in bocca al lupo anche a te!
Samy.
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