Esercizio anelli
Salve, chiedo delucidazioni riguardo questo esercizio:
Sia A l'anello Z14 x Z15 e sia G il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di A:
A) stabilire se l'insieme dei divisori dello zero di A è un ideale di A.
B)Determinare un ideale massimale di A.
C)Qual è l'ordine di G?
D)Per ciascun primo p che divide l'ordine di G, decidete se esiste un elemento di ordine p in G.
E)Trovare due sottogruppi non banali di G che si intersecano nel sottogruppo banale { ([1]14, [1]15)} .
Come si risolvono? Sinceramente non ho ben capito cosa si intenda per Z14 x Z15.
Sia A l'anello Z14 x Z15 e sia G il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di A:
A) stabilire se l'insieme dei divisori dello zero di A è un ideale di A.
B)Determinare un ideale massimale di A.
C)Qual è l'ordine di G?
D)Per ciascun primo p che divide l'ordine di G, decidete se esiste un elemento di ordine p in G.
E)Trovare due sottogruppi non banali di G che si intersecano nel sottogruppo banale { ([1]14, [1]15)} .
Come si risolvono? Sinceramente non ho ben capito cosa si intenda per Z14 x Z15.
Risposte
Se $A$ e $B$ sono due anelli, $A xx B$ indica l'anello il cui supporto è il prodotto cartesiano $A xx B$, e le operazioni sono definite come segue:
$(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$
$(a,b)*(c,d) = (a*c,b*d)$
Ora prova a riflettere e proponi qualche tua idea.
$(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$
$(a,b)*(c,d) = (a*c,b*d)$
Ora prova a riflettere e proponi qualche tua idea.
Beh allora i divisori di questo gruppo è l'insieme unione dei rispetti divisori, per la legge dell'annullamento del prodotto, no? Quindi se è corretto tutti gli $z*14$ e $z*15$ per ogni z appartente a Z.
"PNiowa":Ti chiederei di essere più chiaro, non ho capito cosa hai scritto.
Beh allora i divisori di questo gruppo è l'insieme unione dei rispetti divisori, per la legge dell'annullamento del prodotto, no? Quindi se è corretto tutti gli $z*14$ e $z*15$ per ogni z appartente a Z.
"Martino":
Comunque se $A$ è un qualsiasi anello commutativo l'insieme dei divisori dello zero di $A$ è sempre un ideale di $A$.
No! E' unione di ideali primi, ma non è detto che sia un ideale:$ZZ/(6ZZ)$
"NightKnight":
[quote="Martino"]
Comunque se $A$ è un qualsiasi anello commutativo l'insieme dei divisori dello zero di $A$ è sempre un ideale di $A$.
No! E' unione di ideali primi, ma non è detto che sia un ideale:$ZZ/(6ZZ)$[/quote]Hai ragione, ho editato. Ormai quando vedo che intervieni tu so che ho scritto qualcosa di sbagliato
Grazie.
"Martino":Ti chiederei di essere più chiaro, non ho capito cosa hai scritto.
[quote="PNiowa"]Beh allora i divisori di questo gruppo è l'insieme unione dei rispetti divisori, per la legge dell'annullamento del prodotto, no? Quindi se è corretto tutti gli $z*14$ e $z*15$ per ogni z appartente a Z.
Comunque se $A$ è un qualsiasi anello commutativo l'insieme dei divisori dello zero di $A$ è sempre un ideale di $A$.[/quote]
Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?
"PNiowa":No sbagliato. in $ZZ_{14}$ hai $14=0$. I divisori dello zero in $ZZ_{14}$ sono $0,2,7$ (perché $2*7=0$).
Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?
Edit: ma vi pare? Ma cosa mi sono fumato?
dimentichiamoci quanto ho scritto qui.
"Martino":Dimenticati questa cosa che ho scritto, è falsa.
Comunque se $A$ è un qualsiasi anello commutativo l'insieme dei divisori dello zero di $A$ è sempre un ideale di $A$.
"Martino":No sbagliato. in $ZZ_{14}$ hai $14=0$. I divisori dello zero in $ZZ_{14}$ sono $0,2,7$ (perché $2*7=0$).[/quote]
[quote="PNiowa"]Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?
Ah ok, e in $ZZ_{15}$ sono $0,3,5$. Dunque l'insieme dei divisori di Z14 x Z15 è l'unione di questi elementi?
"PNiowa":Sii più chiaro per favore. Scrivi quello che secondo te è l'insieme dei divisori dello zero.
Dunque l'insieme dei divisori di Z14 x Z15 è l'unione di questi elementi?
"Martino":Sii più chiaro per favore. Scrivi quello che secondo te è l'insieme dei divisori dello zero.[/quote]{0,2,3,5,7}
[quote="PNiowa"]Dunque l'insieme dei divisori di Z14 x Z15 è l'unione di questi elementi?
"PNiowa":Questi non sono elementi di $ZZ_{14} xx ZZ_{15}$. Un elemento di $ZZ_{14} xx ZZ_{15}$ è una coppia $(a,b)$ dove $a in ZZ_{14}$ e $b in ZZ_{15}$.
{0,2,3,5,7}
"Martino":Questi non sono elementi di $ZZ_{14} xx ZZ_{15}$. Un elemento di $ZZ_{14} xx ZZ_{15}$ è una coppia $(a,b)$ dove $a in ZZ_{14}$ e $b in ZZ_{15}$.[/quote]
[quote="PNiowa"]{0,2,3,5,7}
Ah, { (0,0), (0,3), (0,5), (2,0) (2,3), (2,5), (7,0), (7,3) (7,5)}?
(0,1) è un divisore dello zero perché (0,1)*(1,0) = (0,0), ma non è nella tua lista. E non è l'unico che non hai elencato.
"Martino":
(0,1) è un divisore dello zero perché (0,1)*(1,0) = (0,0), ma non è nella tua lista. E non è l'unico che non hai elencato.
Ma dunque in questa logica non sono anche divisori dello zero tutte quelle coppie in forma (0, a) e (b,0)?
"PNiowa":Ma dunque in questa logica non sono anche divisori dello zero tutte quelle coppie in forma (0, a) e (b,0)?[/quote]Sì, e non solo. Prova ad elencare tutti i divisori dello zero.
[quote="Martino"](0,1) è un divisore dello zero perché (0,1)*(1,0) = (0,0), ma non è nella tua lista. E non è l'unico che non hai elencato.
"Martino":Ma dunque in questa logica non sono anche divisori dello zero tutte quelle coppie in forma (0, a) e (b,0)?[/quote]Sì, e non solo. Prova ad elencare tutti i divisori dello zero.[/quote]
[quote="PNiowa"][quote="Martino"](0,1) è un divisore dello zero perché (0,1)*(1,0) = (0,0), ma non è nella tua lista. E non è l'unico che non hai elencato.
Non potresti elencarli tu per favore? Capirei prima.
"PNiowa":No, non li elenco io. Ritengo che sia molto più utile per te che tu ci rifletta da solo. Capire prima non vuol dire capire meglio, anzi.
Non potresti elencarli tu per favore? Capirei prima.
Partiamo dalla definizione di divisore dello zero in un'operazione di prodotto cartesiano:
(a,b)*(c,d) = (0,0) con almeno uno tra a e b diverso da zero?
(a,b)*(c,d) = (0,0) con almeno uno tra a e b diverso da zero?
"Martino":No sbagliato. in $ZZ_{14}$ hai $14=0$. I divisori dello zero in $ZZ_{14}$ sono $0,2,7$ (perché $2*7=0$).[/quote]
[quote="PNiowa"]Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?
Beh, anche questo è detto male: anche $4,6,8,10,12$ sono divisori di zero di $ZZ//14ZZ$
In generale se $m=p_1^(alpha_1) ... p_k^(alpha_k)$ con $p_i$ primi distinti e $alpha_i >= 1$ allora l'insieme dei divisori di zero di $ZZ // mZZ$ è $\{ [x] in ZZ // mZZ | x in ZZ, \ \exists i : p_i |x \} = cup_{i=1}^k pi( (p_i)_ZZ )$, dove $pi : ZZ -> ZZ // mZZ$ è la proiezione al quoziente.
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