Esercizio anelli

[darioilfragma]

Salve, chiedo delucidazioni riguardo questo esercizio:

Sia A l'anello Z14 x Z15 e sia G il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di A:

A) stabilire se l'insieme dei divisori dello zero di A è un ideale di A.
B)Determinare un ideale massimale di A.
C)Qual è l'ordine di G?
D)Per ciascun primo p che divide l'ordine di G, decidete se esiste un elemento di ordine p in G.
E)Trovare due sottogruppi non banali di G che si intersecano nel sottogruppo banale { ([1]14, [1]15)} .

Come si risolvono? Sinceramente non ho ben capito cosa si intenda per Z14 x Z15.

[darioilfragma]

"NightKnight":[quote="Martino"][quote="PNiowa"]Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?

No sbagliato. in $ZZ_{14}$ hai $14=0$. I divisori dello zero in $ZZ_{14}$ sono $0,2,7$ (perché $2*7=0$).[/quote]
Beh, anche questo è detto male: anche $4,6,8,10,12$ sono divisori di zero di $ZZ//14ZZ$

In generale se $m=p_1^(alpha_1) ... p_k^(alpha_k)$ con $p_i$ primi distinti e $alpha_i >= 1$ allora l'insieme dei divisori di zero di $ZZ // mZZ$ è $\{ [x] in ZZ // mZZ | x in ZZ, \ \exists i : p_i |x \} = cup_{i=1}^k pi( (p_i)_ZZ )$, dove $pi : ZZ -> ZZ // mZZ$ è la proiezione al quoziente.[/quote]

Uhm, dunque qual è la soluzione dell'esercizio?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"NightKnight":[quote="Martino"][quote="PNiowa"]Dunque, i divisori dello zero di Z14 sono tutti i multipli di 14 ({..,-14, 14, 28,...}) poichè ad esempio $[28]*[3]$ = [84] = [0]. Stesso ragionamento per Z15, giusto?

No sbagliato. in $ZZ_{14}$ hai $14=0$. I divisori dello zero in $ZZ_{14}$ sono $0,2,7$ (perché $2*7=0$).[/quote]
Beh, anche questo è detto male: anche $4,6,8,10,12$ sono divisori di zero di $ZZ//14ZZ$[/quote]Sì scusate, ho scritto le cose un po' in fretta.