Esercizio algebra-polinomi
Ciao a tutti!
Devo risolvere questo esercizio, sono giorni che ci provo ma in qualunque modo io cerchi di risolverlo non arrivo da nessuna parte...qualcuno mi potrebbe aiutare?
Io ho $X$ un insieme.
Poi due polinomi $p,q \in Q[X]$.
Devo dimostrare che esistono $a,b\in Q$ tali che nel polinomio $r=ap+bq$ i monomi che compaiono a coefficienti non nulli in p e in q compaiono anche in r (cioè nessun monomio di p ne annulla uno di q).
Se può essere di aiuto bisogna usare il fatto che Q è un campo infinito...ma non so altro !!!
grazie mille!
Devo risolvere questo esercizio, sono giorni che ci provo ma in qualunque modo io cerchi di risolverlo non arrivo da nessuna parte...qualcuno mi potrebbe aiutare?
Io ho $X$ un insieme.
Poi due polinomi $p,q \in Q[X]$.
Devo dimostrare che esistono $a,b\in Q$ tali che nel polinomio $r=ap+bq$ i monomi che compaiono a coefficienti non nulli in p e in q compaiono anche in r (cioè nessun monomio di p ne annulla uno di q).
Se può essere di aiuto bisogna usare il fatto che Q è un campo infinito...ma non so altro !!!
grazie mille!
Risposte
Facilmente puoi ridurre il tuo problema al seguente:
Se \(u = (u_1,\ldots,u_n)\) e \(v= (v_1,\ldots,v_n)\) sono due vettori in \(\mathbb{Q}^n\), allora esiste una loro combinazione lineare \(w = au + bv\) tale che \(w_i \neq 0\) se \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).
Una dimostrazione può essere questa.
Definiamo \(J = \{i \,|\, u_i \neq 0 \text{ oppure } v_i \neq 0\}\). Se \(J\) è vuoto, significa che \(u = v = 0\) e la tesi è verificata. Sia adesso \(J \neq \varnothing\) e supponiamo per assurdo che
\[
\mathrm{span }(u,v)\, \subseteq \,\bigcup_{i \in J}\, V_i
\] dove \(V_i = \{x \in \mathbb{Q}^n\,|\,x_i = 0\}\). Siccome \(\mathbb{Q}\) è un campo infinito, allora esiste \(i \in J\) tale che \(\mathrm{span }(u,v) \subseteq V_i\). Ma questa è una contraddizione dal momento che (per definizione di \(J\)) si ha \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).
Se \(u = (u_1,\ldots,u_n)\) e \(v= (v_1,\ldots,v_n)\) sono due vettori in \(\mathbb{Q}^n\), allora esiste una loro combinazione lineare \(w = au + bv\) tale che \(w_i \neq 0\) se \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).
Una dimostrazione può essere questa.
Definiamo \(J = \{i \,|\, u_i \neq 0 \text{ oppure } v_i \neq 0\}\). Se \(J\) è vuoto, significa che \(u = v = 0\) e la tesi è verificata. Sia adesso \(J \neq \varnothing\) e supponiamo per assurdo che
\[
\mathrm{span }(u,v)\, \subseteq \,\bigcup_{i \in J}\, V_i
\] dove \(V_i = \{x \in \mathbb{Q}^n\,|\,x_i = 0\}\). Siccome \(\mathbb{Q}\) è un campo infinito, allora esiste \(i \in J\) tale che \(\mathrm{span }(u,v) \subseteq V_i\). Ma questa è una contraddizione dal momento che (per definizione di \(J\)) si ha \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).