Esercizio algebra-polinomi

Mariapaolacri
Ciao a tutti!
Devo risolvere questo esercizio, sono giorni che ci provo ma in qualunque modo io cerchi di risolverlo non arrivo da nessuna parte...qualcuno mi potrebbe aiutare?

Io ho $X$ un insieme.
Poi due polinomi $p,q \in Q[X]$.
Devo dimostrare che esistono $a,b\in Q$ tali che nel polinomio $r=ap+bq$ i monomi che compaiono a coefficienti non nulli in p e in q compaiono anche in r (cioè nessun monomio di p ne annulla uno di q).


Se può essere di aiuto bisogna usare il fatto che Q è un campo infinito...ma non so altro !!!
grazie mille!

Risposte
elvis3
Facilmente puoi ridurre il tuo problema al seguente:

Se \(u = (u_1,\ldots,u_n)\) e \(v= (v_1,\ldots,v_n)\) sono due vettori in \(\mathbb{Q}^n\), allora esiste una loro combinazione lineare \(w = au + bv\) tale che \(w_i \neq 0\) se \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).

Una dimostrazione può essere questa.
Definiamo \(J = \{i \,|\, u_i \neq 0 \text{ oppure } v_i \neq 0\}\). Se \(J\) è vuoto, significa che \(u = v = 0\) e la tesi è verificata. Sia adesso \(J \neq \varnothing\) e supponiamo per assurdo che
\[
\mathrm{span }(u,v)\, \subseteq \,\bigcup_{i \in J}\, V_i
\] dove \(V_i = \{x \in \mathbb{Q}^n\,|\,x_i = 0\}\). Siccome \(\mathbb{Q}\) è un campo infinito, allora esiste \(i \in J\) tale che \(\mathrm{span }(u,v) \subseteq V_i\). Ma questa è una contraddizione dal momento che (per definizione di \(J\)) si ha \(u_i \neq 0\) oppure \(v_i \neq 0\).

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