Esercizio algebra lineare
Buongiorno.
Mi trovo in difficoltà con un esercizio di un tema d'esame universitario.
Scrivo di seguito la consegna.
Sia (.,.)il prodotto scalare euclideo in R3 e sia (.,.)A definito da
(x,y)A=(x,yA) dove A è una matrice 3x3 , verificare se (.,.) sia p.s.e ed in caso positivo computare angolo tra v ed u rispetto a (.,.) dove u=(1,1,2) e v=(1,-1,1).
La matrice A --> r1(1,0,0) / r2(0,2,1) / r3( 0,1,2)
non capisco cosa richiede l'esercizio nello specifico, soprattutto la parte dove dice che A è definito (x,y)A=(x,yA)
Potreste aiutarmi?
Ringrazio molto.
Mi trovo in difficoltà con un esercizio di un tema d'esame universitario.
Scrivo di seguito la consegna.
Sia (.,.)il prodotto scalare euclideo in R3 e sia (.,.)A definito da
(x,y)A=(x,yA) dove A è una matrice 3x3 , verificare se (.,.) sia p.s.e ed in caso positivo computare angolo tra v ed u rispetto a (.,.) dove u=(1,1,2) e v=(1,-1,1).
La matrice A --> r1(1,0,0) / r2(0,2,1) / r3( 0,1,2)
non capisco cosa richiede l'esercizio nello specifico, soprattutto la parte dove dice che A è definito (x,y)A=(x,yA)
Potreste aiutarmi?
Ringrazio molto.
Risposte
E' davvero dura leggere un testo di matematica scritto in italiano. Se hai tempo dai un'occhiata alla guida su come scrivere in matematichese 
Passiamo al problema: non esiste un unico prodotto scalare, tu conosci probabilmente quello euclideo, che denotiamo con $\langle, \rangle$, ma ce ne sono infiniti altri. Un modo per ottenere uno di questi prodotti scalari è prendere una matrice $A$, come nel tuo caso, e definire, per ogni coppia $x,y\in\mathbb{R}^3$ il prodotto scalare
\[
\langle x,y\rangle_A:=\langle x, y\cdot A\rangle
\]
Qui devi sapere cosa è il prodotto vettore/matrice, se non lo sai vai a vedere cos'è e dovrebbe esserti chiara la definizione di questo prodotto scalare.
Appena capita la definizione puoi verificare se è un prodotto scalare calcolando se è simmetrico e bilineare. Infine c'è la questione dell'angolo. Sai che $\langle u, v\rangle_A=||u||_A ||v||_A\cdot\cos(\phi)$ dove $\phi$ è proprio l'angolo compreso. Occhio che $||u||_A:=\langle u,u\rangle_A$
Passiamo al problema: non esiste un unico prodotto scalare, tu conosci probabilmente quello euclideo, che denotiamo con $\langle, \rangle$, ma ce ne sono infiniti altri. Un modo per ottenere uno di questi prodotti scalari è prendere una matrice $A$, come nel tuo caso, e definire, per ogni coppia $x,y\in\mathbb{R}^3$ il prodotto scalare
\[
\langle x,y\rangle_A:=\langle x, y\cdot A\rangle
\]
Qui devi sapere cosa è il prodotto vettore/matrice, se non lo sai vai a vedere cos'è e dovrebbe esserti chiara la definizione di questo prodotto scalare.
Appena capita la definizione puoi verificare se è un prodotto scalare calcolando se è simmetrico e bilineare. Infine c'è la questione dell'angolo. Sai che $\langle u, v\rangle_A=||u||_A ||v||_A\cdot\cos(\phi)$ dove $\phi$ è proprio l'angolo compreso. Occhio che $||u||_A:=\langle u,u\rangle_A$
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