Esercizi Teoria dei Gruppi

[sgrappy]

http://www.dima.unige.it/~niesi/Alg2_08/Al2_genn09.pdf
http://www.dima.unige.it/~niesi/Alg2_08/Al2_feb09.pdf
Ciao a tutti, vi chiedo molto gentilmente se qualcuno sa risolvere gli esercizi 1 b) c) e 2 del primo link e 1 e 4 del secondo.
e inoltre se qualcuno sa dove posso trovare delle dispense ben fatte su questi argomenti.
grazie in anticipo
cyà

ho modificato avevo erroneamente segnato il 3, al posto del 4

[fu^2]

quali problemi insormontabili ti danno gli esercizi da te citati?

[mistake89]

gli esercizi non li so fare ma ti posso consigliare la pagina web della mia prof. di Algebra 1 a bari, molto molto chiara e disponibile
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/indice.htm

[sgrappy]

"fu^2":quali problemi insormontabili ti danno gli esercizi da te citati?

Insormontabili spero nulla, semplicemente non ho gli appunti precisi di quest'anno e l'anno scorso hanno trattato più leggermente questa parte per privilegiarene altre .
allora nel primo link:
punto b non so come si comporta A4, e se G quozientato H è ciclico , mentre per il punto c) volevo una conferma se potevo semplicemente prendere S2.
nel secondo link:
un principio che mi leghi p-sottogruppo di Sylow alla ciclicità del sottogruppo. per il primo esercizio.
mentre per il quarto, vedo un'attimo.
mi era sfuggita una parte importantissima del testo



ps.grazie per le dispense.

[sgrappy]

alè!
si il quarto del secondo foglio sono (forse) riuscito a risolverlo.
la risoluzione dovrebbe essere la seguente
Orb(X)={gX| g appartenga a S3}
quindi X posso pensarlo come terna (0,1,0)
(1)(0,1,0)=(1 3)(0,1,0)=(0,1,0)
(1 2)(0,1,0)=(1 3 2)(0,1,0)=(1,0,0)
(2 3)(0,1,0)=(1 2 3)(0,1,0)=(0,0,1)
da cui
Orb(X)={(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}
|Orb(X)|=3 =>|Stab(X)|=2
Stab(X)={g appartenente a S3| gX=X}
Stab(X)={(1),(1 3)}
Quante sono le orbite?
(1,1,1) 1 orbita 6 stab
(1,0,0) 3 orbite 2 stab
(1,1,0) 3 orbite 2 stab

qualcuno mi può confermare il procedimento?

[vict85]

"sgrappy":alè!
si il quarto del secondo foglio sono (forse) riuscito a risolverlo.
la risoluzione dovrebbe essere la seguente
Orb(X)={gX| g appartenga a S3}
quindi X posso pensarlo come terna (0,1,0)
(1)(0,1,0)=(1 3)(0,1,0)=(0,1,0)
(1 2)(0,1,0)=(1 3 2)(0,1,0)=(1,0,0)
(2 3)(0,1,0)=(1 2 3)(0,1,0)=(0,0,1)
da cui
Orb(X)={(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}
|Orb(X)|=3 =>|Stab(X)|=2
Stab(X)={g appartenente a S3| gX=X}
Stab(X)={(1),(1 3)}
Quante sono le orbite?
(1,1,1) 1 orbita 6 stab
(1,0,0) 3 orbite 2 stab
(1,1,0) 3 orbite 2 stab

qualcuno mi può confermare il procedimento?

A occhio dovrebbe essere giusto... Usa le formule però... Non hai motivato perché hai scelto solo 3 elementi di $S_3$ per calcolare l'orbita...

[alvinlee881]

Per il secondo:
Sia $F={s in S |gs=s AA ginG}$. Per $s inS$, sia $St(s)={gin G|gs=s}$, che è un sottogruppo di $G$. Evidentemente
$x inF <=>St(x)=G$. Dalla formula delle classi, abbiamo $11=|X|=sum_{x inR} |Cl(x)|=sum_{x inR} |G|/|St(x)|$, con $R$ insieme di rappresentanti. Per quanto detto prima se $x inF$ i corrispondenti addendi $|G|/|St(x)|$ valgono $1$, dunque ottengo $11=|F|+sum_{x inT} |G|/|St(x)|$ , con $T$ un insieme di rappresentanti per cui $x inT=>x notinF$, e per questi $x$ $|St(x)|in{1,3,7} => |G|/|St(x)|in{21,7,3}$. Se fosse per assurdo $|F|=0$ avremmo che $11$ si potrebbe scrivere come somma di numeri in ${3,7,21}$, il che è impossibile.

[sgrappy]

"alvinlee88":Per il secondo:
Sia $F={s in S |gs=s AA ginG}$. Per $s inS$, sia $St(s)={gin G|gs=s}$, che è un sottogruppo di $G$. Evidentemente
$x inF <=>St(x)=G$. Dalla formula delle classi, abbiamo $11=|X|=sum_{x inR} |Cl(x)|=sum_{x inR} |G|/|St(x)|$, con $R$ insieme di rappresentanti. Per quanto detto prima se $x inF$ i corrispondenti addendi $|G|/|St(x)|$ valgono $1$, dunque ottengo $11=|F|+sum_{x inT} |G|/|St(x)|$ , con $T$ un insieme di rappresentanti per cui $x inT=>x notinF$, e per questi $x$ $|St(x)|in{1,3,7} => |G|/|St(x)|in{21,7,3}$. Se fosse per assurdo $|F|=0$ avremmo che $11$ si potrebbe scrivere come somma di numeri in ${3,7,21}$, il che è impossibile.

grazie mille (:.
ieri ero stanco, e stamattina riprendendo l'esercizio l'ho risolto appena l'ho letto -.- in un modo molto sbrigativo ma penso efficace
$|G|=21$
$|S|=11$
$|G|=21=|Stab(s)||Orb(s)|$
$Stab(s) c G$
$Orb(s) c S$
quindi essendo l'orbita un sottogruppo di $S$, $|S|=11$ e 11 è primo => $|Orb(s)|in{1,11}$
ma $11$ non divide $21$ =>$|Orb(s)|=1$=>$|Stab(s)|=|G|=21$
e quindi per ogni $g in G$ $gs=s$

[alvinlee881]

"sgrappy":
quindi essendo l'orbita un sottogruppo di $S$

Questo è sbagliato, $S$ è solo un insieme, non un gruppo, quindi non ha senso parlare di sottogruppi di un insieme.