Esercizi teoria dei campi

[Lorin1]

Salve a tutti gli algebristi , avrei bisogno di un piccolo aiuto per impostare questi esercizi per la seconda prova di esonero di algebra 2.

1)Sia $\xi$ una radice sesta primitiva dell'unità. Determinare il polinomio minimo di $\xi$ su $ QQ $ e su $QQ(i)$

2)Determinare il polinomio minimo e il grado dell'estensione $QQ(root(3)(3)+sqrt(3))$ su $QQ$


Allora per quanto riguarda il 1) l'idea era quella di utilizzare i polinomi ciclotomici, e anche la prof mi ha confermato, ma non ho capito bene come muovermi.
Per quanto riguarda il 2) invece l'idea era di dimostrare che $QQ(root(3)(3)+sqrt(3))=QQ(root(3)(3),sqrt(3))$. Un inclusione è ovvia, l'altra $supe$ tramite dei calcoli dovrei riuscire a provarla, il problema sono proprio i calcoli, perchè provando con le operazioni di campo arrivo sempre ad un punto morto, dove trovo qualcosa di più grande di quello di partenza.

Grazie.

[Lorin1]

up

[mistake89]

Per il primo punto, ti rispondo velocemente, se hai altri dubbi proverò in serata a risponderti.

Il polinomio ciclotomico ha grado $phi(n)$ quindi il polinomio ciclotomico di una radice sesta ha grado $phi(6)=2$.
Osserva che $(x^6-1)=(x^3-1)(x^3+1)=(x^3-1)(x+1)(x^2-x+1)$ Quindi il polinomio ciclotomico $Phi(6)=x^2-x+1.

Per l'esecizio 2) ti basta determinare il polinomio minimo di quell'elemento per determinare il grado dell'estensione. Mentre per verificare la tua equivalenza (se è vera) puoi appellarti al th. dell'elemento primitivo.

[Angelo210]

"Lorin":Per quanto riguarda il 2) invece l'idea era di dimostrare che $QQ(root(3)(3)+sqrt(3))=QQ(root(3)(3),sqrt(3))$. Un inclusione è ovvia, l'altra $supe$ tramite dei calcoli dovrei riuscire a provarla, il problema sono proprio i calcoli, perchè provando con le operazioni di campo arrivo sempre ad un punto morto, dove trovo qualcosa di più grande di quello di partenza.

Per dimostrare l'inclusione $supe$ è sufficiente provare che $sqrt(3) in QQ(root(3)(3)+sqrt(3))$ e ciò è vero infatti,

$13/438*(root(3)(3)+sqrt(3))^6+8/219*(root(3)(3)+sqrt(3))^5-37/146*(root(3)(3)+sqrt(3))^4-119/219*(root(3)(3)+sqrt(3))^3+65/146*(root(3)(3)+sqrt(3))^2-130/73 = sqrt(3)$


Invece il polinomio minimo di $root(3)(3)+sqrt(3)$ su $QQ$ è, $P(x)=x^6-9x^4-6x^3+27x^2-54x-18$

Solamente per soddisfare una curiosità mia, ho fattorizzato il polinomio minimo in $RR[x]$ ed ho ottenuto,

$x^6-9x^4-6x^3+27x^2-54x-18 =$
$= (x-root(3)(3)-sqrt(3))*(x-root(3)(3)+sqrt(3))*[x^2+(root(3)(3)-2sqrt(3))*x-root(3)(3)*sqrt(3)+root(3)(9)+3]*[x^2+(root(3)(3)+2sqrt(3))*x+root(3)(3)*sqrt(3)+root(3)(9)+3]$

Da ciò si evince che $P(x)$ è anche il polinomio minimo su $QQ$ dei seguenti numeri,

$root(3)(3)-sqrt(3)$

$-root(3)(3)/2+sqrt(3)+i*(root(3)(3)*sqrt(3))/2$

$-root(3)(3)/2+sqrt(3)-i*(root(3)(3)*sqrt(3))/2$

$-root(3)(3)/2-sqrt(3)+i*(root(3)(3)*sqrt(3))/2$

$-root(3)(3)/2-sqrt(3)-i*(root(3)(3)*sqrt(3))/2$

[Lorin1]

Vi ringrazio