Esercizi sulle relazioni d'ordine e di equivalenza.

[Never2]

Salve a tutti, ho bisogno di una mano con questi esercizi sulle relazioni:

Nell'insieme $RR$ dei numeri reali è definita la seguente relazione d'equivalenza:
$xRy$ $hArr$ $x^2 - x = y^2 - y$

Si determini la classe di equivalenza di $1$


Nell'insieme $RR$ dei numeri reali è definita la seguente relazione:
$xRy$ $hArr$ $EE$ $d$ $in$ $RR$ $d$ $>=$ $0$ $: x - y = d$

Si stabilisca se $R$
A) d'ordine B) solo simmetrica C) solo transitiva D) di equivalenza

Quest'ultimo ho provato a risolverlo così:

$xRx$ $x - x = 0$ Verifica la proprietà riflessiva per $d=0$

$xRy$ $x - y = d$ $rArr$ $ y - x = -d$ Non verifica la proprietà simmetrica

$xRy , yRz$ $ x - y = d , y - z = d$ $rArr$ $ z= y - d $
$xRz$ $ x - y - d = d$ $rArr$ $ x - y = 2d$ essendo $2d$ $in$ $RR$ allora la proprietà transitiva è verificata.

E' giusto il procedimento fin'ora? Non mi è chiaro come verificare la proprietà antisimmetrica per poter stabilire se si tratta di una relazione d'ordine (anche se per esclusione dovrebbe essere quella, credo)

Fatemi sapere...so che sicuramente saranno abbastanza semplici, ma il primo non so proprio come impostarlo Vi ringrazio anticipatamente

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]

[mistake89]

Beh la classi di $1$ rispetto ad $R$ è l'insieme degli elementi che sono in relazione con $1$.
Ma in base alla definizione $xR1 \hArr x^2-x=1-1=0$ da cui...

[Never2]

Allora devo mettere $x$ in relazione a $1$ e basta?
mi verrebbe ovviamente $x^2 - x = 0$ e quindi $x(x-1) = 0$ La soluzione è quindi $x=0 , x=1$ ? Tutto qui?

[mistake89]

Sì

[Never2]

Grazie