Esercizi sulle relazioni binarie
Buongiorno, chiedo cortesemente il vostro aiuto.
Ho questo esercizio: Dato l'insieme A= {0,1,2,3,4} e la relazione R= {(0,1) (1,2) (1,4) (2,2) (3,4) (1,1) (2,1) (4,0) (3,3) (4,2) (4,4) (1,2) (3,4) (0,4)}
verificare le 4 proprietà.
Come si vede c'è un doppione: due volte la coppia (1,2) è corretto o è un errore? Devo tenere conto del doppione nel verificare le proprietà o devo ignorarlo?
Io l'ho ignorato e ho concluso che la relazione è solo riflessiva. Giusto?
Altra questione
Una relazione di equivalenza è contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva... se è anche antisimmetrica non è più una R di equivalenza?
Ho questo esercizio: in N si consideri la relazione xRy se e solo se 3x+y+5= un numero dispari.
A me sembra che risponda a tutte e 4 le proprietà. Se non è antisimmetrica qualcuno sa giustificarmelo?
Grazie mille
Ho questo esercizio: Dato l'insieme A= {0,1,2,3,4} e la relazione R= {(0,1) (1,2) (1,4) (2,2) (3,4) (1,1) (2,1) (4,0) (3,3) (4,2) (4,4) (1,2) (3,4) (0,4)}
verificare le 4 proprietà.
Come si vede c'è un doppione: due volte la coppia (1,2) è corretto o è un errore? Devo tenere conto del doppione nel verificare le proprietà o devo ignorarlo?
Io l'ho ignorato e ho concluso che la relazione è solo riflessiva. Giusto?
Altra questione
Una relazione di equivalenza è contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva... se è anche antisimmetrica non è più una R di equivalenza?
Ho questo esercizio: in N si consideri la relazione xRy se e solo se 3x+y+5= un numero dispari.
A me sembra che risponda a tutte e 4 le proprietà. Se non è antisimmetrica qualcuno sa giustificarmelo?
Grazie mille
Risposte
Benvenuto nel forum.
Per "le quattro proprietà" intendi la riflessiva, la simmetrica, l'antisimmetrica e la transitiva?
Il doppione va ignorato. In un insieme gli elementi non si contano "con molteplicità", in altre parole elementi distinti hanno nomi distinti. I casi sono due: o quel doppione è un errore di stampa (penso di no perché anche (3,4) si ripete), oppure è stato messo apposta per farti riflettere
Per "le quattro proprietà" intendi la riflessiva, la simmetrica, l'antisimmetrica e la transitiva?
Il doppione va ignorato. In un insieme gli elementi non si contano "con molteplicità", in altre parole elementi distinti hanno nomi distinti. I casi sono due: o quel doppione è un errore di stampa (penso di no perché anche (3,4) si ripete), oppure è stato messo apposta per farti riflettere
"tinex":No, sbagliato. Pensaci meglio. Magari prova a fare un disegno: rappresenta i punti sul piano cartesiano.
ho concluso che la relazione è solo riflessiva. Giusto?
Una relazione di equivalenza è contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva... se è anche antisimmetrica non è più una R di equivalenza?Falso, una relazione di equivalenza può benissimo essere antisimmetrica. Se ci pensi è ovvio: aggiungere un'ipotesi non invalida le precedenti. Secondo te quali sono le relazioni di equivalenza antisimmetriche? Non ce ne sono molte, direi
Ho questo esercizio: in N si consideri la relazione xRy se e solo se 3x+y+5= un numero dispari.Non è antisimmetrica perché [tex]1[/tex] e [tex]3[/tex] sono diversi eppure sono in relazione da entrambi i versi. Osserva che dire "[tex]3x+y+5[/tex] è dispari" è equivalente a dire "[tex]x+y[/tex] è pari". Infatti [tex]3x+y+5 = (2(x+2)+1)+(x+y)[/tex].
A me sembra che risponda a tutte e 4 le proprietà. Se non è antisimmetrica qualcuno sa giustificarmelo?
Grazie Martino!
Assodata la questione del doppione, per il primo, esercizio io ho riflettuto in questo modo:
è riflessiva, perché c'è 1,1 - 2,2 - 3,3 - 4,4
non è simmetrica perché mancano dei reciproci, per es. c'è 1,4 ma non c'è 4,1
non è transitiva, perché 0R1, 1R2, ma 0 non è in relazione con 2
non è antisimmetrica, perché 4R0, 0R4, ma 0 non è = a 4
cosa non funziona?
Assodata la questione del doppione, per il primo, esercizio io ho riflettuto in questo modo:
è riflessiva, perché c'è 1,1 - 2,2 - 3,3 - 4,4
non è simmetrica perché mancano dei reciproci, per es. c'è 1,4 ma non c'è 4,1
non è transitiva, perché 0R1, 1R2, ma 0 non è in relazione con 2
non è antisimmetrica, perché 4R0, 0R4, ma 0 non è = a 4
cosa non funziona?
"tinex":Questo è sbagliato
è riflessiva, perché c'è 1,1 - 2,2 - 3,3 - 4,4
certo, manca (0,0) 
Torno con un altro piccolo esercizio sull'argomento relazioni binarie, più che altre per essere sicura di aver capito.
Dato l'insieme $A={0,1,2}$
1. si costruisca l'insieme $AxA$
2. Si consideri il sottoinsieme $S={(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,2)}$, si studi la relazione $R$ definita da $aRb$ se e solo se (a,b) appartiene a S con a,b appartenenti ad A
3. Si determini la partizione di $A$ associata alla relazione $R$
1. $AxA={(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}$
2. E' una relazione di equivalenza
3. La partizione di A è $P(A)= {(0,0), (1,1), (2,2)}$ poiché considero le coppie di S la cui intersezione è vuota (sono disgiunte) e la cui unione ricostruisce A.
Giusto?
Domanda: (0,0), (1,1), (2,2) sono anche le classi di equivalenza? Dunque R ha tre classi di equivalenza?
Grazie
Dato l'insieme $A={0,1,2}$
1. si costruisca l'insieme $AxA$
2. Si consideri il sottoinsieme $S={(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,2)}$, si studi la relazione $R$ definita da $aRb$ se e solo se (a,b) appartiene a S con a,b appartenenti ad A
3. Si determini la partizione di $A$ associata alla relazione $R$
1. $AxA={(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}$
2. E' una relazione di equivalenza
3. La partizione di A è $P(A)= {(0,0), (1,1), (2,2)}$ poiché considero le coppie di S la cui intersezione è vuota (sono disgiunte) e la cui unione ricostruisce A.
Giusto?
Domanda: (0,0), (1,1), (2,2) sono anche le classi di equivalenza? Dunque R ha tre classi di equivalenza?
Grazie
Ma la proprietà Simmetrica non dice che [tex]\forall a,b \in A, aRb \Rightarrow bRa[/tex] ? Ad esempio, le coppie [tex](0,2) \notin S[/tex] , [tex](2,0) \notin S[/tex]
Mi sa che stai confondendo l'insieme delle parti con le partizioni 
Ma io devo considerare l'insieme S per quello che è. Avrei detto che non è simmetrica se avessi avuto $(0,2)$, ma non $(2,0)$, visto che mancano tutti e due non mi pongo il problema. E dico che è simmetrica, perché tra le coppie dell'insieme S ho $(1,0)$ e anche $(0,1)$... non ce ne sono altre da prendere in esame.
L'insieme delle parti di A sono tutti i possibili sottoinisemi di A... ma io non ho raccolto tutti i possibili sottoinsiemi di A, solo le coppie che appartengono ad S e quindi rispondono alla relazione R, ma che sono disgiunte.
Tu come faresti Gundam?
L'insieme delle parti di A sono tutti i possibili sottoinisemi di A... ma io non ho raccolto tutti i possibili sottoinsiemi di A, solo le coppie che appartengono ad S e quindi rispondono alla relazione R, ma che sono disgiunte.
Tu come faresti Gundam?
"tinex":
Ma io devo considerare l'insieme S per quello che è. Avrei detto che non è simmetrica se avessi avuto $(0,2)$, ma non $(2,0)$, visto che mancano tutti e due non mi pongo il problema. E dico che è simmetrica, perché tra le coppie dell'insieme S ho $(1,0)$ e anche $(0,1)$... non ce ne sono altre da prendere in esame.
non penso sia esatto perchè per definizione una funzione $f:A->B$ è simmetrica se $AA a,b in A, aRb $ e $ bRa$ quindi visto che $0,2 in A$ credo che tu debba considerare anche le coppie $(0,2)$ e $(2,0)$
ma attendiamo che qualcuno confermi questa cosa perchè io sto studiando ora e quindi non ho alcune cose molto chiare, diciamo che io avrei ragionato così
Oddio ora mi sorge il dubbio... però dovrebbe essere corretto quanto scrive tinex in quanto per la proprietà Simmetrica e Transitiva si prendono in considerazione le coppie [tex](a,b)[/tex] della relazione, che è quindi Simmetrica e Transitiva.
Il mio appunto sull'insieme delle parti è solo di notazione, in quanto l'ho sempre trovato come l'hai indicato tu, mentre le partizioni io le ho sempre trovate denotate con una singola lettera maiuscola. C'è da dire che anche in matematica vige un pò il "io scrivo come mi pare" e molti autori usano simbologie differenti per indicare lo stesso concetto, quindi nulla di strano che sia corretto anche [tex]P(A)[/tex] per indicare una partizione.
Per finire quelle che hai indicato alla fine sono le classi di equivalenza.
Il mio appunto sull'insieme delle parti è solo di notazione, in quanto l'ho sempre trovato come l'hai indicato tu, mentre le partizioni io le ho sempre trovate denotate con una singola lettera maiuscola. C'è da dire che anche in matematica vige un pò il "io scrivo come mi pare" e molti autori usano simbologie differenti per indicare lo stesso concetto, quindi nulla di strano che sia corretto anche [tex]P(A)[/tex] per indicare una partizione.
Per finire quelle che hai indicato alla fine sono le classi di equivalenza.
per la notazione delle partizioni, almeno sui miei appunti e sul libro, è sempre indicata la notazione $P(A)$
per quanto riguarda le proprietà simmetriche, transitive ecc... spero anche io in qualche chiarimento...
per quanto riguarda le proprietà simmetriche, transitive ecc... spero anche io in qualche chiarimento...
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