Esercizi sulle funzioni
Ed eccomi ancora qui ragazzi! Con i miei dubbi. Adesso son partito con lo studio delle funzioni in algebra! E' l'argomento che fa più fatica ad entrarmi in testa 
Ho due esercizi sui quali chiedervi aiuto. Scrivo le due tracce e poi le soluzioni parziali che son riuscito a dare.
1.1 Sia $\psi : ZZ -> ZZ$ la funzione data da $\psi(n)=2n^2-3n+5$
Determinare: $\psi(0), \psi^-1(5), \psi^-1(0)$
Si tratta di una funzione iniettiva?
Si tratta di una funzione suriettiva?
1.2 Sia $\psi : NN \times NN -> NN$ la funzione data da $\psi($ $(n,m)$ $) = min{m,n}$.
Determinare l'immagine dei sottoinsiemi $NN \times {0}$ e ${0} \times NN$
Determinare gli insiemi controimmagine $\psi^-1(n)$ per $n=4$ e poi per un generico $n$.
Dire se $\psi$ è iniettiva, suriettiva, biunivoca.
_ _ _ _ _
Sol. 1.1
$\psi(0)=5, \psi^-1(5)=0, \psi^-1(0)=\emptyset$
Per determinare se sia o meno una funzione iniettiva dobbiamo far vedere che $\psi(n)=\psi(m) rArr n=m$
quindi $2n^2-3n+5=2m^2-3m+5 rArr 2n^2-3n = 2m^2-3m$ Non sembra essere iniettiva.
Per determinare invece se sia o meno una funzione suriettiva $AAyinB EEn in A$ t.c. $\psi(n)=y$
quindi $y=2n^2-3n+5$ ma da questa scrittura non capisco se si tratti di una funzione suriettiva.
Sol 1.2
Le immagini del sottoinsieme $NN \times {0}$ sono tutte quelle coppie $(n,0)$ con $n in NN$ t.c. $m=0, mseconda coordinata $m=0$.
Le immagini del sottoinsieme ${0} \times NN$ sono tutte le coppie $(0, m)$ con $m in NN$ t.c. $n=0, nprima coordinata $n=0$.
L'insieme controimmagine di $\psi^-1(4) ={(4,m)}$ t.c. $m>4$ quindi tutte le coppie in cui $4$ risulti il minimo.
L'insieme controimmagine di un $n$ generico è $\psi^-1(n)={(n,m)}$ t.c. $m>n$ quindi tutte le coppie in cui $n$ risulti il minimo.
E' iniettiva?
Proviamo che $\psi(n,m) = \psi(n',m') rArr (n,m) = (n',m')$
quindi $[min{m,n}] = [min{m',n'}]$ ma da qui non riesco a capire se è iniettiva.
E' suriettiva?
Proviamo che $AAmin{m,n} in B, EE(n,m) in A^2$ t.c. $\psi(n,m)=min{m,n}$
cioè per ogni elemento $in B$ esiste una coppia $(n,m) in A$ che rappresenta quell'elemento che è il minimo tra le due coordinate della coppia. Quindi è suriettiva.
E' biettiva? Se fosse iniettiva e suriettiva sarebbe anche biettiva ma ho qualche dubbio sull'iniettività.
Non ho ancora la praticità per capire se una funzione è iniettiva e/o suriettiva. Ogni volta mi blocco. Non capisco quale sia il metodo adatto per determinare l'iniettività e/o suriettività.
Ho due esercizi sui quali chiedervi aiuto. Scrivo le due tracce e poi le soluzioni parziali che son riuscito a dare.
1.1 Sia $\psi : ZZ -> ZZ$ la funzione data da $\psi(n)=2n^2-3n+5$
Determinare: $\psi(0), \psi^-1(5), \psi^-1(0)$
Si tratta di una funzione iniettiva?
Si tratta di una funzione suriettiva?
1.2 Sia $\psi : NN \times NN -> NN$ la funzione data da $\psi($ $(n,m)$ $) = min{m,n}$.
Determinare l'immagine dei sottoinsiemi $NN \times {0}$ e ${0} \times NN$
Determinare gli insiemi controimmagine $\psi^-1(n)$ per $n=4$ e poi per un generico $n$.
Dire se $\psi$ è iniettiva, suriettiva, biunivoca.
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Sol. 1.1
$\psi(0)=5, \psi^-1(5)=0, \psi^-1(0)=\emptyset$
Per determinare se sia o meno una funzione iniettiva dobbiamo far vedere che $\psi(n)=\psi(m) rArr n=m$
quindi $2n^2-3n+5=2m^2-3m+5 rArr 2n^2-3n = 2m^2-3m$ Non sembra essere iniettiva.
Per determinare invece se sia o meno una funzione suriettiva $AAyinB EEn in A$ t.c. $\psi(n)=y$
quindi $y=2n^2-3n+5$ ma da questa scrittura non capisco se si tratti di una funzione suriettiva.
Sol 1.2
Le immagini del sottoinsieme $NN \times {0}$ sono tutte quelle coppie $(n,0)$ con $n in NN$ t.c. $m=0, m
Le immagini del sottoinsieme ${0} \times NN$ sono tutte le coppie $(0, m)$ con $m in NN$ t.c. $n=0, n
L'insieme controimmagine di $\psi^-1(4) ={(4,m)}$ t.c. $m>4$ quindi tutte le coppie in cui $4$ risulti il minimo.
L'insieme controimmagine di un $n$ generico è $\psi^-1(n)={(n,m)}$ t.c. $m>n$ quindi tutte le coppie in cui $n$ risulti il minimo.
E' iniettiva?
Proviamo che $\psi(n,m) = \psi(n',m') rArr (n,m) = (n',m')$
quindi $[min{m,n}] = [min{m',n'}]$ ma da qui non riesco a capire se è iniettiva.
E' suriettiva?
Proviamo che $AAmin{m,n} in B, EE(n,m) in A^2$ t.c. $\psi(n,m)=min{m,n}$
cioè per ogni elemento $in B$ esiste una coppia $(n,m) in A$ che rappresenta quell'elemento che è il minimo tra le due coordinate della coppia. Quindi è suriettiva.
E' biettiva? Se fosse iniettiva e suriettiva sarebbe anche biettiva ma ho qualche dubbio sull'iniettività.
Non ho ancora la praticità per capire se una funzione è iniettiva e/o suriettiva. Ogni volta mi blocco. Non capisco quale sia il metodo adatto per determinare l'iniettività e/o suriettività.
Risposte
Ciao darkfog e ben ritrovato 
Parto con la spiegazione del primo esercizio in questo thread, lasciando l'altro ad un secondo thread onde evitare di fare confusione.
Ok per le immagini ed antimmagini della funzione che sono richieste. Unica nota che quando l'antimmagine non esiste è consigliabile scrivere (nella fattispecie dell'esercizio): $\notexists \psi^{-1}(0)$ (non so perché ma l'editor non mi permette di scrivere direttamente il simbolo di non esistenza in LaTeX).
Per l'iniettività della funzione, questa è iniettiva e lo si può dimostrare sviluppando meglio il punto a cui sei arrivato. Suggerimento: raccogli a fattor comune $m$ ad un membro ed $n$ all'altro e domandati quando due prodotti sono uguali. Scomponendo i casi e risolvendo le uguaglianze arriverai abbastanza agevolmente al risultato. Altro suggerimento: alla fine ti accorgerai che uno dei due casi dell'uguaglianza del prodotto è già compreso nell'altro considerato. Di sicuro nell'esercizio non è sufficiente scrivere "sembra essere iniettiva"
.
Riguardo alla suriettività, puoi provare che la funzione non è suriettiva con un semplicissimo controesempio che hai...davanti a te (fa parte di una delle richieste iniziali per questo esercizio). Ovviamente ne puoi trovare molti altri di controesempi, ho citato questo solo perché più evidente.
Parto con la spiegazione del primo esercizio in questo thread, lasciando l'altro ad un secondo thread onde evitare di fare confusione.
Ok per le immagini ed antimmagini della funzione che sono richieste. Unica nota che quando l'antimmagine non esiste è consigliabile scrivere (nella fattispecie dell'esercizio): $\notexists \psi^{-1}(0)$ (non so perché ma l'editor non mi permette di scrivere direttamente il simbolo di non esistenza in LaTeX).
Per l'iniettività della funzione, questa è iniettiva e lo si può dimostrare sviluppando meglio il punto a cui sei arrivato. Suggerimento: raccogli a fattor comune $m$ ad un membro ed $n$ all'altro e domandati quando due prodotti sono uguali. Scomponendo i casi e risolvendo le uguaglianze arriverai abbastanza agevolmente al risultato. Altro suggerimento: alla fine ti accorgerai che uno dei due casi dell'uguaglianza del prodotto è già compreso nell'altro considerato. Di sicuro nell'esercizio non è sufficiente scrivere "sembra essere iniettiva"
.Riguardo alla suriettività, puoi provare che la funzione non è suriettiva con un semplicissimo controesempio che hai...davanti a te (fa parte di una delle richieste iniziali per questo esercizio). Ovviamente ne puoi trovare molti altri di controesempi, ho citato questo solo perché più evidente.
ciao onlyReferee! Grazie mille per la risposta. Penso di esserci arrivato! Hai proprio ragione: la dimostrazione di non suriettività e di iniettività dell'esercizio 1.1 ce l'avevo proprio sotto gli occhi! 
Per dimostrare che $\psi$ è iniettiva scrivo:
$\psi(n) = \psi(m) rArr n=m$ e procedo in questo modo
$2n^2−3n+5=2m^2-3m+5 rArr n(2n-3)=m(2m-3)$ allora l'uguaglianza è dimostrata per ogni $n$ ed $m$ arbitrario t.c. $n=m$
Mentre per dimostrare la non suriettività basta che io guardi $\psi^-1(0)$ ! Giusto? Che mi dice appunto che l'elemento $0$ del codominio non è immagine di nessun elemento del dominio perchè la suriettività implica che $AAbinB EEainA$ t.c. $\psi(a)=b$.
Ma qui mi sorge una domanda: siamo arrivati a determinare la suriettività grazie ad un elemento dato dal libro. Se l'esercizio non ci avesse dato degli elementi per farci notare che la funzione è evidentemente non suriettiva, come avremmo potuto determinare la suriettività di una funzione senza doverla testare elemento per elemento?
Per dimostrare che $\psi$ è iniettiva scrivo:
$\psi(n) = \psi(m) rArr n=m$ e procedo in questo modo
$2n^2−3n+5=2m^2-3m+5 rArr n(2n-3)=m(2m-3)$ allora l'uguaglianza è dimostrata per ogni $n$ ed $m$ arbitrario t.c. $n=m$
Mentre per dimostrare la non suriettività basta che io guardi $\psi^-1(0)$ ! Giusto? Che mi dice appunto che l'elemento $0$ del codominio non è immagine di nessun elemento del dominio perchè la suriettività implica che $AAbinB EEainA$ t.c. $\psi(a)=b$.
Ma qui mi sorge una domanda: siamo arrivati a determinare la suriettività grazie ad un elemento dato dal libro. Se l'esercizio non ci avesse dato degli elementi per farci notare che la funzione è evidentemente non suriettiva, come avremmo potuto determinare la suriettività di una funzione senza doverla testare elemento per elemento?
Riguardo all'iniettività: occhio che bisogna che sviluppi bene la dimostrazione per arrivare alla conclusione, così come hai fatto non basta. In generale ricorda che se ho un'uguaglianza di due prodotti del tipo $A \cdot B = C \cdot D$ devo verificare che $((A = C) \and (B = D)) \or ((A = D) \and (B = C))$. Poi risolvendo i vari casi si giunge alla conclusione.
Riguardo alla suriettività: giusta l'osservazione con l'elemento $0$ del codominio che, come hai notato, non ha antimmagine.
Il dubbio che poni è più che legittimo. In generale in questi casi è utile ricorrere anche all'esperienza ed alla geometria. Sappiamo infatti che tale funzione è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto che non interseca l'asse delle ascisse. Per questo motivo possiamo dire che l'insieme delle immagini della nostra funzione non copre l'intero codominio, in particolare non ci sono valori negativi come immagine. A tal proposito come controesempio si può prendere un valore negativo arbitrario (al più nullo come hai correttamente fatto nell'esempio) senza perdere molto tempo a capire inutilmente quale tra i valori positivi può essere utilizzato come controesempio.
Per convincerti puoi comunque provare anche a plottare la funzione e vedere tutto questo graficamente.
Riguardo alla suriettività: giusta l'osservazione con l'elemento $0$ del codominio che, come hai notato, non ha antimmagine.
Il dubbio che poni è più che legittimo. In generale in questi casi è utile ricorrere anche all'esperienza ed alla geometria. Sappiamo infatti che tale funzione è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto che non interseca l'asse delle ascisse. Per questo motivo possiamo dire che l'insieme delle immagini della nostra funzione non copre l'intero codominio, in particolare non ci sono valori negativi come immagine. A tal proposito come controesempio si può prendere un valore negativo arbitrario (al più nullo come hai correttamente fatto nell'esempio) senza perdere molto tempo a capire inutilmente quale tra i valori positivi può essere utilizzato come controesempio.
Per convincerti puoi comunque provare anche a plottare la funzione e vedere tutto questo graficamente.
Purtroppo non so individuare bene graficamente una funzione, dovrei riprendere un po' di geometria e questo so che mi servirebbe tanto. Comunque grazie ancora per la correzione: ci riprovo! 
Verifico che sia iniettiva:
$\psi(n)=\psi(m) rArr n=m$ allora
$2n^2−3n+5=2m^2−3m+5 rArr n(2n−3)=m(2m−3)$
abbiamo $n=m$ e
$2n-3=2m-3 rArr 2n=2m rArr n=m$
Abbiamo verificato che la funzione è iniettiva! Yeah!
Verifico che sia iniettiva:
$\psi(n)=\psi(m) rArr n=m$ allora
$2n^2−3n+5=2m^2−3m+5 rArr n(2n−3)=m(2m−3)$
abbiamo $n=m$ e
$2n-3=2m-3 rArr 2n=2m rArr n=m$
Abbiamo verificato che la funzione è iniettiva!
Yeah!
Manca la seconda parte della verifica. Bisogna verificare anche che valgano $n = 2m - 3$ ed $m = 2n - 3$ 
. Banalmente con la sostituzione risulta $n = 3$ ed $m = 3$ che come possiamo notare è già contemplato nella prima risoluzione che hai fatto .
. Banalmente con la sostituzione risulta $n = 3$ ed $m = 3$ che come possiamo notare è già contemplato nella prima risoluzione che hai fatto .
Come promesso riporto di seguito anche la risoluzione che propongo per il secondo degli esercizi proposti.
Le immagini dei sottoinsiemi $\mathbb{N} \times 0$ e $0 \times \mathbb{N}$ non sono coppie ma valori (la funzione minimo è una funzione definita a tratti e restituisce comunque un determinato valore una volta applicata). Nella fattispecie in entrambi questi casi l'immagine di entrambi i sottoinsiemi è costituita dal solo elemento $0$ (il nostro codominio è infatti $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ e non $\mathbb{N}$ ).
Corretto invece quanto hai scritto per determinare le controimmagini con $n = 4$ e $m > n$ (nel nostro dominio abbiamo delle coppie).
La funzione non è iniettiva e lo si può provare con un semplice controesempio (ve ne sono numerosi, scegline pure te uno).
La funzione è suriettiva. Per provarlo basta pensare alla definizione della funzione minimo: è sempre possibile trovare una coppia di valori $(n, m)$ tali per cui la nostra immagine sia $n = \min(n, m)$ oppure $m = \min(n, m)$ (in sostanza tale per cui il minimo esista)
Le immagini dei sottoinsiemi $\mathbb{N} \times 0$ e $0 \times \mathbb{N}$ non sono coppie ma valori (la funzione minimo è una funzione definita a tratti e restituisce comunque un determinato valore una volta applicata). Nella fattispecie in entrambi questi casi l'immagine di entrambi i sottoinsiemi è costituita dal solo elemento $0$ (il nostro codominio è infatti $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ e non $\mathbb{N}$
).Corretto invece quanto hai scritto per determinare le controimmagini con $n = 4$ e $m > n$ (nel nostro dominio abbiamo delle coppie).
La funzione non è iniettiva e lo si può provare con un semplice controesempio (ve ne sono numerosi, scegline pure te uno).
La funzione è suriettiva. Per provarlo basta pensare alla definizione della funzione minimo: è sempre possibile trovare una coppia di valori $(n, m)$ tali per cui la nostra immagine sia $n = \min(n, m)$ oppure $m = \min(n, m)$ (in sostanza tale per cui il minimo esista)
Ciao onlyReferee, grazie per aver dato un'occhiata anche al secondo esercizio, e grazie anche per l'ultima risposta riguardante il primo!
Allora.. se ho capito bene le immagini di $NN \times {0}$ e ${0} \times NN$ sono uguali perchè prese due coppie $(n, 0) in NN\times{0}$ e $(0,n) in {0}\timesNN$ il valore dell'immagine è sempre $0$ che risulta essere sempre il minimo.
Mentre... per l'iniettività posso prendere $\psi(0,1) = 0 = \psi(1,0)$ che contraddice la definizione di funzione iniettiva, cioè qui abbiamo due coppie diverse che corrispondono alla stessa immagine.
Per la suriettività (cito quello che hai scritto)
Allora.. se ho capito bene le immagini di $NN \times {0}$ e ${0} \times NN$ sono uguali perchè prese due coppie $(n, 0) in NN\times{0}$ e $(0,n) in {0}\timesNN$ il valore dell'immagine è sempre $0$ che risulta essere sempre il minimo.
Mentre... per l'iniettività posso prendere $\psi(0,1) = 0 = \psi(1,0)$ che contraddice la definizione di funzione iniettiva, cioè qui abbiamo due coppie diverse che corrispondono alla stessa immagine.
Per la suriettività (cito quello che hai scritto)
Per provarlo basta pensare alla definizione della funzione minimo: è sempre possibile trovare una coppia di valori $(n,m)$ tali per cui la nostra immagine sia $n=min(n,m)$ oppure $m=min(n,m)$ (in sostanza tale per cui il minimo esista)
Perfetto, darkfog, direi che hai capito appieno e svolto interamente l'esercizio
PS: adesso ti torna anche la correzione al primo che ti ho postato
PS: adesso ti torna anche la correzione al primo che ti ho postato
Grazie onlyReferee sei stato fantastico! Ho capito tutto perfettamente
Per l'iniettività della funzione dell'esercizio 1.1 ho verificato anche l'ultima parte come hai detto tu:
$n=2m-3$
$m=2n-3$
quindi $n=2(2n-3)-3 rArr n=4n-9 rArr n=9/3 rArr n=3$ ...
... sostituisco ed ottengo $m=6-3 rArr m=3$
Per l'iniettività della funzione dell'esercizio 1.1 ho verificato anche l'ultima parte come hai detto tu:
$n=2m-3$
$m=2n-3$
quindi $n=2(2n-3)-3 rArr n=4n-9 rArr n=9/3 rArr n=3$ ...
... sostituisco ed ottengo $m=6-3 rArr m=3$
Perfetto, direi :!;
Così ottieniamo che $n = m = 3$, ossia che $n$ ed $m$ devono essere uguali. Questo è ciò che è già contemplato nel primo caso analizzato ma, come dicevamo, la verifica andava fatta.
Così ottieniamo che $n = m = 3$, ossia che $n$ ed $m$ devono essere uguali. Questo è ciò che è già contemplato nel primo caso analizzato ma, come dicevamo, la verifica andava fatta
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