Esercizi sul prodotto diretto di gruppi

[klarence1]

Sia G un gruppo :

$Z/(6Z) X Z/(20Z) $

!)Calcolare i gruppi ciclici di ordine 30.

So che si trovano facendo il rapporto fra il numero di elementi di ordine 30 e la funzione di Eulero di 30 (che poi corrisponde al numero di generatori), ma non ho capito dal punto di vista teorico perchè si calcola così....
Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie.

[Studente Anonimo]

1) In ogni sottogruppo ciclico di ordine 30 ci sono $\varphi(30)$ elementi di ordine 30.

2) Ogni elemento di ordine 30 appartiene ad un sottogruppo ciclico di ordine 30 (quello generato da lui stesso).

Quindi:

(numero sottogruppi ciclici di ordine 30) x (numero elementi di ordine 30 in un gruppo ciclico di ordine 30) = (numero elementi di ordine 30)

[klarence1]

"Martino":1) In ogni sottogruppo ciclico di ordine 30 ci sono $\varphi(30)$ elementi di ordine 30.

Questo vale solo per i gruppi formati con il prodotto diretto di gruppi?

[Studente Anonimo]

No, ogni gruppo ciclico di ordine $n$ ha $\varphi(n)$ generatori (generatore = elemento di ordine n)

Ciao.