Esercizi sui polinomi, radici di un polinomio in \(\displaystyle Z_3[x]/(x^2 + 1) \)
Ciao a tutti,
Ho dei problemi con alcuni esercizi sui polinomi in particolare parlo del punto 2 e 3
Sia pol = \(\displaystyle x^2 + 1 \)
Sia \(\displaystyle F = Z_3[x]/(pol) \).
1)
F è un campo se pol = \(\displaystyle x^2 + 1 \) è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \).
Poichè pol è di secondo grado allora è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) se non ha radici in \(\displaystyle Z_3 \).
un coefficiente è radice di un polinomio se il polinomio valutato in tale coefficiente restituisce 0.
Per x = 0 pol vale 1
Per x = 1 pol vale 2
Per x = 2 pol vale 2
Pertanto pol è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) e quindi \(\displaystyle F = Z_3[x]/(pol) \) è un campo.
bonus:
Gli elementi di F saranno quindi in numero \(\displaystyle |Z_3|^2 \) = 9.
F sarà composto da [0] e da tutti i polinomi di \(\displaystyle Z_3[x] \) con grado inferiore a 2:
F = \(\displaystyle \{ [0], [1], [2], [x], [x + 1], [x + 2], [2x], [2x + 1], [2x + 2] \} \)
2)
Devo determinare le radici di poly = \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) $ in $ F[y] in F.
Per vedere se un polinomio ha radici in \(\displaystyle Z_p \) semplicemente controllo se il polinomio valutato nei primi p-1 numeri mi dà 0.
Valutare in questa maniera se un polinomio ha radici in F vorrebbe dire valutare il polinomio in [0],[1],[2],[x] etc. giusto?
Quindi ad es.
y = [0] allora poly = 0 + 0 + 2 = 2 != 0 non è soluzione
y = [1] allora poly = 1 + 1 + 2 = 4 = 1 != 0 non è soluzione
y = [2] allora poly = 2 != 0
y = [x] allora poly = \(\displaystyle [x]^2 + [x] + 2 \)
ma x^2 mod (x^2 +1) = -1 $ in $ F
-1 = 2 != 0
etc.
Tale metodo mi sembra improponibile, anche perchè in un altro esercizio F aveva 16 elementi e non 9. Siccome F è un campo ruffini mi dice che \(\displaystyle \alpha \) è radice di \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) $ iff $ \(\displaystyle ( y - \alpha) \) | \(\displaystyle (y^2 + y + 2_F)\). Ma dovrei comunque far variare \(\displaystyle \alpha \) in F, quindi non ho risolto niente. Avete consigli su come procedere ?
3)
per il terzo punto non riesco a trovare una strada.
inoltre quando i polinomi sono di grado 1 2 o 3 non ho problemi a controllare se sono irriducibili in Zn ma alcune volte il devo fare il controllo su polinomi di grado 4.
Per verificare se questi sono irriducibili io verifico che il polinomio non si possa ottenere come prodotto di due polinomi irriducibili di grado 1 e 3 o di due polinomi irriducibili di grado 2.
La verifica la faccio moltiplicando a due a due i polinomi irriducibili di grado 1 e 3 e moltiplicando a due a due i polinomi di grado 2, è il modo corretto ? (utilizzo solo gli irriducibili perchè essendo Zp un campo allora, dalla teoria, so che Zp[x] sarà un dominio a fattorizzazione unica e pertanto a meno di elementi invertibili la fattorizzazione è unica e i fattori sono elementi irriducibili)(mi riduco a considerare moltiplicazioni di coppie di fattori perchè la def. di irriducibile parla di due fattori)
Se per un polinomio in Zp[x] di grado d, maggiore a 3, riesco a trovare una radice posso affermare che tale polinomio è riducibile, perchè se trovo una radice allora uno dei fattori del mio polinomio per il th. di ruffini sarà (x - radice) e quindi l'altro fattore obbligatoriamente sarà di grado d-1, giusto ?
Ho dei problemi con alcuni esercizi sui polinomi in particolare parlo del punto 2 e 3
Sia pol = \(\displaystyle x^2 + 1 \)
Sia \(\displaystyle F = Z_3[x]/(pol) \).
1)
F è un campo se pol = \(\displaystyle x^2 + 1 \) è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \).
Poichè pol è di secondo grado allora è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) se non ha radici in \(\displaystyle Z_3 \).
un coefficiente è radice di un polinomio se il polinomio valutato in tale coefficiente restituisce 0.
Per x = 0 pol vale 1
Per x = 1 pol vale 2
Per x = 2 pol vale 2
Pertanto pol è irriducibile in \(\displaystyle Z_3[x] \) e quindi \(\displaystyle F = Z_3[x]/(pol) \) è un campo.
bonus:
Gli elementi di F saranno quindi in numero \(\displaystyle |Z_3|^2 \) = 9.
F sarà composto da [0] e da tutti i polinomi di \(\displaystyle Z_3[x] \) con grado inferiore a 2:
F = \(\displaystyle \{ [0], [1], [2], [x], [x + 1], [x + 2], [2x], [2x + 1], [2x + 2] \} \)
2)
Devo determinare le radici di poly = \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) $ in $ F[y] in F.
Per vedere se un polinomio ha radici in \(\displaystyle Z_p \) semplicemente controllo se il polinomio valutato nei primi p-1 numeri mi dà 0.
Valutare in questa maniera se un polinomio ha radici in F vorrebbe dire valutare il polinomio in [0],[1],[2],[x] etc. giusto?
Quindi ad es.
y = [0] allora poly = 0 + 0 + 2 = 2 != 0 non è soluzione
y = [1] allora poly = 1 + 1 + 2 = 4 = 1 != 0 non è soluzione
y = [2] allora poly = 2 != 0
y = [x] allora poly = \(\displaystyle [x]^2 + [x] + 2 \)
ma x^2 mod (x^2 +1) = -1 $ in $ F
-1 = 2 != 0
etc.
Tale metodo mi sembra improponibile, anche perchè in un altro esercizio F aveva 16 elementi e non 9. Siccome F è un campo ruffini mi dice che \(\displaystyle \alpha \) è radice di \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) $ iff $ \(\displaystyle ( y - \alpha) \) | \(\displaystyle (y^2 + y + 2_F)\). Ma dovrei comunque far variare \(\displaystyle \alpha \) in F, quindi non ho risolto niente. Avete consigli su come procedere ?
3)
per il terzo punto non riesco a trovare una strada.
inoltre quando i polinomi sono di grado 1 2 o 3 non ho problemi a controllare se sono irriducibili in Zn ma alcune volte il devo fare il controllo su polinomi di grado 4.
Per verificare se questi sono irriducibili io verifico che il polinomio non si possa ottenere come prodotto di due polinomi irriducibili di grado 1 e 3 o di due polinomi irriducibili di grado 2.
La verifica la faccio moltiplicando a due a due i polinomi irriducibili di grado 1 e 3 e moltiplicando a due a due i polinomi di grado 2, è il modo corretto ? (utilizzo solo gli irriducibili perchè essendo Zp un campo allora, dalla teoria, so che Zp[x] sarà un dominio a fattorizzazione unica e pertanto a meno di elementi invertibili la fattorizzazione è unica e i fattori sono elementi irriducibili)(mi riduco a considerare moltiplicazioni di coppie di fattori perchè la def. di irriducibile parla di due fattori)
Se per un polinomio in Zp[x] di grado d, maggiore a 3, riesco a trovare una radice posso affermare che tale polinomio è riducibile, perchè se trovo una radice allora uno dei fattori del mio polinomio per il th. di ruffini sarà (x - radice) e quindi l'altro fattore obbligatoriamente sarà di grado d-1, giusto ?
Risposte
per il punto due credo di aver risolto. Semplicemente prima sostituisco \(\displaystyle \alpha \) alla y e poi dopo aver fatto tutti i calcoli determino la classe di resto a cui appartiene il polinomio.
es.
y = [x] allora poly = \(\displaystyle [x]^2 + [x] + 2 \)
adesso faccio x^2 + x + 2 mod (x^2 + 1) = [x + 1] |= [0] e quindi non è radice
se scelgo y = [x+1] allora poly = \(\displaystyle (x+1)^2 + (x+1) + 2 = x^2 + 2x + 1 + x + 1 + 2 = x^2 + 3x + 4 = x^2 + 1\)
ovviamente \(\displaystyle x^2 + 1 mod (x^2 + 1) = 0\) pertanto [x+1] è radice di \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) in F
Adesso dato che i coefficienti sono in un campo che poly è di grado 2 e che [x+1] è radice, per il th. di ruffini so che poly ha al più 2 radici e che \(\displaystyle \alpha\) è radice di poly in F $ iff $ \(\displaystyle y-\alpha\)|poly. Quindi effettuo la divisione per determinare l'eventuale altra radice e ottengo poly = (y - [x+1])*(y + [x+2]) quindi poly ha due radici e sono [x+1] e -[x+2]=[-x-2]=[2x+1].
Verifico che 2x+1 sia soluzione sostituendo in poly. y=[2x+1] poly=\(\displaystyle 4x^2+4x+4+2x+1+2 = x^2+1 = [0]_F\)
Quindi, in definitiva, per determinare efficientemente le radici di un polinomio pol = \(\displaystyle y^2 + y + 2\) con coefficienti in \(\displaystyle F = Z_p[x]/(f)\). In un primo momento mi limito a sostituire alla y un elemento di F, poi eseguo eventuali operazioni (es. elevamenti a potenze o somme) in \(\displaystyle Z_p[x]\) e solo alla fine applico la congruenza mod f al polinomio risultante per determinarne la classe di resto modulo f. Dopo di che se ho coefficienti in un campo uso ruffini per determinare eventuali altre radici.
es.
y = [x] allora poly = \(\displaystyle [x]^2 + [x] + 2 \)
adesso faccio x^2 + x + 2 mod (x^2 + 1) = [x + 1] |= [0] e quindi non è radice
se scelgo y = [x+1] allora poly = \(\displaystyle (x+1)^2 + (x+1) + 2 = x^2 + 2x + 1 + x + 1 + 2 = x^2 + 3x + 4 = x^2 + 1\)
ovviamente \(\displaystyle x^2 + 1 mod (x^2 + 1) = 0\) pertanto [x+1] è radice di \(\displaystyle y^2 + y + 2_F\) in F
Adesso dato che i coefficienti sono in un campo che poly è di grado 2 e che [x+1] è radice, per il th. di ruffini so che poly ha al più 2 radici e che \(\displaystyle \alpha\) è radice di poly in F $ iff $ \(\displaystyle y-\alpha\)|poly. Quindi effettuo la divisione per determinare l'eventuale altra radice e ottengo poly = (y - [x+1])*(y + [x+2]) quindi poly ha due radici e sono [x+1] e -[x+2]=[-x-2]=[2x+1].
Verifico che 2x+1 sia soluzione sostituendo in poly. y=[2x+1] poly=\(\displaystyle 4x^2+4x+4+2x+1+2 = x^2+1 = [0]_F\)
Quindi, in definitiva, per determinare efficientemente le radici di un polinomio pol = \(\displaystyle y^2 + y + 2\) con coefficienti in \(\displaystyle F = Z_p[x]/(f)\). In un primo momento mi limito a sostituire alla y un elemento di F, poi eseguo eventuali operazioni (es. elevamenti a potenze o somme) in \(\displaystyle Z_p[x]\) e solo alla fine applico la congruenza mod f al polinomio risultante per determinarne la classe di resto modulo f. Dopo di che se ho coefficienti in un campo uso ruffini per determinare eventuali altre radici.
forse ho risolto il punto 3:
io so che |F| = \(\displaystyle |Z_3|^2 = 3^2 = 9\).
Quindi tutti i possibili polinomi di grado 2 in F[y] sono in numero \(\displaystyle 9^2*8 \) perchè posso scegliere il coefficiente del termine di grado 2 in 8 modi (lo zero non è valido) e posso scegliere il coefficiente dei termini di grado 1 e 0 in 9 modi.
Quindi tutti i polinomi di grado 2 sono in numero 648.
A questo punto utilizzo ancora una volta il th. di ruffini per dire che: tutti i polinomi di secondo grado che hanno soluzione si possono scrivere come \(\displaystyle d(y-\alpha)(y-\beta)\), laddove se \(\displaystyle \alpha != \beta\) allora il polinomio ha 2 radici distinte altrimenti ha una radice di molteplicità 2. Ovviamente visto che non voglio solo i polinomi monici moltiplicherò il tutto per d (coefficiente direttore).
Quindi il numero di polinomi di grado 2 con soluzioni dipende dal numero di coppie (alpha, beta) che posso scegliere.
Inoltre essendo quello dei polinomi un anello commutativo non mi interessa l'ordine di apparizione degli elementi di F nella coppia quindi tutti i possibili modi in cui posso scegliere alpha e beta sono le combinazioni con ripetizione di |F| elementi in classe 2 moltiplicati per i possibili coefficienti direttori (|F|-1),
In formule: \(\displaystyle \binom{9+2-1}{2}*8\)=360
Quindi ci sono 648 - 360 = 288 polinomi senza radici con coefficienti in F.
Attendo la conferma di qualcuno con più esperienza di me perchè in un altro post in cui veniva chiesto quale fosse il numero di polinomi di secondo grado aventi radici non venivano usate la combinazioni con ripetizione ma bensì le disposizioni, quindi era sottointeso che l'ordine di apparizione degli elementi della coppia era importante.
io so che |F| = \(\displaystyle |Z_3|^2 = 3^2 = 9\).
Quindi tutti i possibili polinomi di grado 2 in F[y] sono in numero \(\displaystyle 9^2*8 \) perchè posso scegliere il coefficiente del termine di grado 2 in 8 modi (lo zero non è valido) e posso scegliere il coefficiente dei termini di grado 1 e 0 in 9 modi.
Quindi tutti i polinomi di grado 2 sono in numero 648.
A questo punto utilizzo ancora una volta il th. di ruffini per dire che: tutti i polinomi di secondo grado che hanno soluzione si possono scrivere come \(\displaystyle d(y-\alpha)(y-\beta)\), laddove se \(\displaystyle \alpha != \beta\) allora il polinomio ha 2 radici distinte altrimenti ha una radice di molteplicità 2. Ovviamente visto che non voglio solo i polinomi monici moltiplicherò il tutto per d (coefficiente direttore).
Quindi il numero di polinomi di grado 2 con soluzioni dipende dal numero di coppie (alpha, beta) che posso scegliere.
Inoltre essendo quello dei polinomi un anello commutativo non mi interessa l'ordine di apparizione degli elementi di F nella coppia quindi tutti i possibili modi in cui posso scegliere alpha e beta sono le combinazioni con ripetizione di |F| elementi in classe 2 moltiplicati per i possibili coefficienti direttori (|F|-1),
In formule: \(\displaystyle \binom{9+2-1}{2}*8\)=360
Quindi ci sono 648 - 360 = 288 polinomi senza radici con coefficienti in F.
Attendo la conferma di qualcuno con più esperienza di me perchè in un altro post in cui veniva chiesto quale fosse il numero di polinomi di secondo grado aventi radici non venivano usate la combinazioni con ripetizione ma bensì le disposizioni, quindi era sottointeso che l'ordine di apparizione degli elementi della coppia era importante.
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