Esercizi sui polinomi
Si consideri l’applicazione:
$omega: f in R[x] -> f(1) in R$
i) Studiare iniettivita e suriettivita di $omega$.
ii) Di quale sottoinsieme di $R$ l’insieme $L$ dei polinomi in $R[x]$ che ammettono $1$ come
radice puo essere visto come antiimmagine rispetto a $omega$?
iii) Caratterizzare, facendo uso del teorema di Ruffini, i polinomi in $L$.
iv) Individuare in $L$, se esistono (giustificare le risposte):
un polinomio $f$ di grado $3$, parametro direttore $2$, divisibile per $x+1$ e che ammetta $2$
come radice;
un polinomio $g$ irriducibile;
un polinomio $h$ di grado $4$ e prodotto di due fattori irriducibili.
Qualcuno può spiegarmi il punto i) e ii)
$omega: f in R[x] -> f(1) in R$
i) Studiare iniettivita e suriettivita di $omega$.
ii) Di quale sottoinsieme di $R$ l’insieme $L$ dei polinomi in $R[x]$ che ammettono $1$ come
radice puo essere visto come antiimmagine rispetto a $omega$?
iii) Caratterizzare, facendo uso del teorema di Ruffini, i polinomi in $L$.
iv) Individuare in $L$, se esistono (giustificare le risposte):
un polinomio $f$ di grado $3$, parametro direttore $2$, divisibile per $x+1$ e che ammetta $2$
come radice;
un polinomio $g$ irriducibile;
un polinomio $h$ di grado $4$ e prodotto di due fattori irriducibili.
Qualcuno può spiegarmi il punto i) e ii)
Risposte
Gaten, scusa, ma non riesco a capire la funzione.... 
Allora $RR[x]$ è l'anello dei polinomi, se non sbaglio, che è anche il dominio della funzione, mentre il codominio è $f(1)$??
Allora $RR[x]$ è l'anello dei polinomi, se non sbaglio, che è anche il dominio della funzione, mentre il codominio è $f(1)$??
Il codominio è $R$, l'applicazione è $omega: R[x] -> R$
Aspè forse ho capito: la funzione $f$ è quella per cui i polinomi di $RR[x]$ hanno radice uguale a $1$?
Credo proprio di si, ad ogni polinomio appartenente ad $R[x]$ associa 1 come radice. Quindi si!
Al primo impatto direi che l'applicazione non è iniettiva. se ad esempio consideriamo il polinomi:
$x^2-1 in R[x]$, questo si annulla sia per $x=1$ sia per $x=-1$ non sò se è giusto come ragionamento.
$x^2-1 in R[x]$, questo si annulla sia per $x=1$ sia per $x=-1$ non sò se è giusto come ragionamento.
Che strano, avevo inviato una risposta ma non la ritrovo... 
Comunque io avevo considerato che per essere iniettiva la funzione deve restituire delle immagini diverse a fronte di polinomi diversi, mentre mi sembra di capire che la radice sia sempre $1$, nonostante i polinomi siano differenti...
Comunque io avevo considerato che per essere iniettiva la funzione deve restituire delle immagini diverse a fronte di polinomi diversi, mentre mi sembra di capire che la radice sia sempre $1$, nonostante i polinomi siano differenti...
"GundamRX91":
Che strano, avevo inviato una risposta ma non la ritrovo...
Comunque io avevo considerato che per essere iniettiva la funzione deve restituire delle immagini diverse a fronte di polinomi diversi, mentre mi sembra di capire che la radice sia sempre $1$, nonostante i polinomi siano differenti...
perchè???
se prendo $x^2-2$, la radice mica è $1$
non credi? Io anche ho dato una risposta , vedi è un paio di post sopra.
Oddio sono cotto 
Provo a ragionarci su e poi magari scrivo qualcosa, salvo risposte di altri utenti o la tua
Provo a ragionarci su e poi magari scrivo qualcosa, salvo risposte di altri utenti o la tua
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