Esercizi sui periodi Help !!!
Salve a tutti !
è tutto il giorno che cerco di risolvere questi esercizi che potrebbero rivelarsi anche semplici per voi, ma vista la qualità delle dispense della mia professoressa sembra che a questo punto o sono un menomato, o lei non ci ha dato i mezzi giusti per risolverli.. =)
Se potete darmi una mano nel farmi capire come si risolvono sarebbe grandioso =)
Grazie mille in anticipo..!!!
ora li posto :
1)
Sia s = (145)(234)(15) appartenente a $ S_5 $ :
Calcolare $S^18$
Allora s lo scrivo anche così : s = ( 1 2 3 4 ) ( 5 ) o è sbagliato??? poi non so più che fare devo fare l'mcm tra i due cicli?
2) Trovare un elemento di $S_8 $ che abbia periodo 12
3) Quale è il massimo periodo di $S_6$?
Grazie mille!!!
è tutto il giorno che cerco di risolvere questi esercizi che potrebbero rivelarsi anche semplici per voi, ma vista la qualità delle dispense della mia professoressa sembra che a questo punto o sono un menomato, o lei non ci ha dato i mezzi giusti per risolverli.. =)
Se potete darmi una mano nel farmi capire come si risolvono sarebbe grandioso =)
Grazie mille in anticipo..!!!
ora li posto :
1)
Sia s = (145)(234)(15) appartenente a $ S_5 $ :
Calcolare $S^18$
Allora s lo scrivo anche così : s = ( 1 2 3 4 ) ( 5 ) o è sbagliato??? poi non so più che fare devo fare l'mcm tra i due cicli?
2) Trovare un elemento di $S_8 $ che abbia periodo 12
3) Quale è il massimo periodo di $S_6$?
Grazie mille!!!
Risposte
"sn1p3r46":Non è sbagliato. Puoi scrivere $s$ anche così: $s= (1 2 3 4)$ . Questo è un \( 4 - \text{ciclo}\), dunque ha periodo \(4\).
1) Sia s = (145)(234)(15) appartenente a $ S_5 $ :
Calcolare $S^18$
Allora s lo scrivo anche così : s = ( 1 2 3 4 ) ( 5 ) o è sbagliato?
Ciò significa che per ogni \(m\) multiplo di \(4\) si ha \(s^m = \text{id} \).
Ecco, possiamo dunque dire che \(s^{18} = s^{16} \cdot s^2 = \text{id} \cdot s^2 = s^2\)
Mhh , per l'esercizio uno è abbastanza semplice, anche se non banali. Anche io ho iniziato algebra astratta da poco e ti assicuro che all'inizio sembrano cose assurde.
1) ti è stato già risolto egregiamente da Gi8.
Per gli altri due , beh. Per il 2) devi trovare un $\sigma in S_8$ tale che $o(\sigma) = 12$
siano $c_1 , c_2 , ... , c_n$ i cicli disgiunti di tale permutazione.
allora dovrà risultare che $o(c_1) , o(c_2) , ... , o(c_n) | 12$.
Pertanto posso considerare ad esempio la permutazione $\sigma = (1,3,4,5)(6,8,2)$ che ha ovviamente periodo 12.
(se ho commesso qualche orrore , prego qualcuno di correggermi).
Per il tre ho poche idee, dovrei pensarci.
* rettificato punto 2.
1) ti è stato già risolto egregiamente da Gi8.
Per gli altri due , beh. Per il 2) devi trovare un $\sigma in S_8$ tale che $o(\sigma) = 12$
siano $c_1 , c_2 , ... , c_n$ i cicli disgiunti di tale permutazione.
allora dovrà risultare che $o(c_1) , o(c_2) , ... , o(c_n) | 12$.
Pertanto posso considerare ad esempio la permutazione $\sigma = (1,3,4,5)(6,8,2)$ che ha ovviamente periodo 12.
(se ho commesso qualche orrore , prego qualcuno di correggermi).
Per il tre ho poche idee, dovrei pensarci.
* rettificato punto 2.
Per l'esercizio 3 lo risolverei cosi.
Consideriamo il teorema di Lagrange .
Sia G un gruppo. $g in G$ periodico. G Abeliano. Allora $o(g) | |G|$. Se non sbaglio tale teorema (disse la prof , ma non ne sono sicuro, non lo abbiamo dimostrato) si può estendere ad $S_n$ ( Attenzione $S_n$ non è abeliano! Lo è se e solo se $n<=2$).
Pertanto sia $g in S_6$. Allora per Lagrange $o(g) | |S_6|$ . Dunque $o(g)_max=|S_6|= 6! = 720 $. End.
Se qualcuno nota errori, mi correggesse.
Ciao
. Sperodi esserti stato d'aiuto.
Consideriamo il teorema di Lagrange .
Sia G un gruppo. $g in G$ periodico. G Abeliano. Allora $o(g) | |G|$. Se non sbaglio tale teorema (disse la prof , ma non ne sono sicuro, non lo abbiamo dimostrato) si può estendere ad $S_n$ ( Attenzione $S_n$ non è abeliano! Lo è se e solo se $n<=2$).
Pertanto sia $g in S_6$. Allora per Lagrange $o(g) | |S_6|$ . Dunque $o(g)_max=|S_6|= 6! = 720 $. End.
Se qualcuno nota errori, mi correggesse.
Ciao
. Sperodi esserti stato d'aiuto.
bè... se così fosse $S_6$ sarebbe ciclico, ma così non è!
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