Esercizi sui Gruppi

[francicko]

Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$ ed $a$ un generatore di$G$.
Sia $1 Intanto sappiamo che esistono gruppi ciclici di qualsiasi ordine.
Procedo con il seguente ragionamento per la soluzione:
So che $a^n=e$ in quanto per ipotesi è il periodo di $a$, preso un qualsiasi intero positivo $k>n$ si avrà $a^k=e$ se esolo se $n|k$,
infatti se $a^k=e$ per l'algoritmo euclideo risulta $k=nq+r$ con $0<=r quindi l'elemento $a^i$ risulta avere periodo $n/d$. Anche se l'esercizio è piuttosto semplice non sono sicuro di averne dato la corretta dimostrazione, se qualcuno vuol verificare, grazie.

[Studente Anonimo]

Ciao!

"francicko":Pertanto il periodo dell'elemento $a^i$ deve risultare multiplo sia di $i$ che di $n$ e inoltre deve essere il piu' piccolo multiplo perche' periodo, ma allora è il $m.c.m(i,n)$ ora se $(i,n)=d$ si ha $m.c.m(i,n)=i(n/d)$
quindi l'elemento $a^i$ risulta avere periodo $n/d$.

Non capisco cosa hai fatto. Comunque e' falso che il periodo di [tex]a^i[/tex] e' il mcm tra [tex]n[/tex] e [tex]i[/tex], per esempio se [tex]n=4[/tex] allora [tex]a^2[/tex] ha periodo 2. Le idee sono giuste ma dovresti scrivere meglio il tutto.

Dammi del tu

[francicko]

Hai ragione, direi anzi che hai colto nel segno la mia difficoltà, infatti ho fatto confusione ed ho scritto erroneamente che il periodo di $a^i$ risulta il $m.c.m(i,n)$, ciò che ho scritto però non era quello che avevo pensato!
Cerco di essere più chiaro, sperando di non sbagliarmi ancora;
Posto $p=m.c.m(i,n)$ ed $d=(i,n)$ avrò $p=i(n/d)$ ed $p=(i/d)n$ e posto ancora per semplicità $(n/d)=k$ ed $(i/d)=t$, ovviamente interi positivi, potrò scrivere $(a^i)^k=(a^t)^n=(a^n)^t=(e)^t=e$ ed essendo $ik=p=m.c.m(i,n)$ risulta $(n/d)=k$ il periodo dell'elemento $a^i$.
Quindi in definitiva risulterà $a^i!=a^(2i)!=a^(3i)!=.....!=a^(p=(ki))=e$, cioè gli elementi di questa forma risultano distinti.
Sto cercando di allenarmi a scrivere usando correttamente la simbologia perchè sovente mi succede di scrivere delle cose che alla fine risultano essere diverse da quelle che penso, e non nascondo una certa difficoltà a farlo. Se hai un modo diverso per esporre la soluzione, sempre nel caso che quella che adesso ho postato sia corretta, mi interesserebbe conoscerla ugualmente.
Comunque ti ringrazio per la tua correzione, e resto in attesa di una tua risposta!

[Studente Anonimo]

"francicko":Posto $p=m.c.m(i,n)$ ed $d=(i,n)$ avrò $p=i(n/d)$ ed $p=(i/d)n$ e posto ancora per semplicità $(n/d)=k$ ed $(i/d)=t$, ovviamente interi positivi, potrò scrivere $(a^i)^k=(a^t)^n=(a^n)^t=(e)^t=e$

Fin qui va benissimo.

essendo $ik=p=m.c.m(i,n)$ risulta $(n/d)=k$ il periodo dell'elemento $a^i$.
Quindi in definitiva risulterà $a^i!=a^(2i)!=a^(3i)!=.....!=a^(p=(ki))=e$, cioè gli elementi di questa forma risultano distinti.

Questa conclusione e' un po' frettolosa. Tipicamente in questi casi si pone uguale a 1 una potenza di [tex]a[/tex] e si dimostra che il candidato ordine divide l'esponente.

Supponiamo [tex](a^i)^h=1[/tex]. Per concludere basta mostrare che [tex]k[/tex] divide [tex]h[/tex]. Abbiamo [tex]a^{ih} = (a^i)^h = 1[/tex] e quindi [tex]n[/tex] (l'ordine di [tex]a[/tex]) divide [tex]ih[/tex], in particolare [tex]n/d=k[/tex] divide [tex]ih/d=th[/tex]. Ora siccome [tex]k[/tex] e [tex]t[/tex] sono coprimi e [tex]k[/tex] divide [tex]th[/tex], dev'essere che [tex]k[/tex] divide [tex]h[/tex]. Fine

[francicko]

Grazie, la tua risposta è chiara e completa!


Io nel tentativo di soluzione ho cercato di sfruttare la definizione di $m.c.m(i,n)$, cioè appunto il più piccolo intero che risulta
multiplo di $i$ ed $n$; se dico che essendo $p=m.c.m(i,n)=ik$, comunque preso un intero $s$ con $1<=s per cui avrò $a^(is)=(a^i)^s!=e$ con $1<=s Grazie ancora e resto in attesa di una tua risposta.

[francicko]

Sono ancora in attesa di risposta, Grazie!

[Studente Anonimo]

"francicko":Io nel tentativo di soluzione ho cercato di sfruttare la definizione di $m.c.m(i,n)$, cioè appunto il più piccolo intero che risulta
multiplo di $i$ ed $n$; se dico che essendo $p=m.c.m(i,n)=ik$, comunque preso un intero $s$ con $1<=s per cui avrò $a^(is)=(a^i)^s!=e$ con $1<=s Grazie ancora e resto in attesa di una tua risposta.

Tutto giusto.