Esercizi sui gruppi

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31 ago 2010, 17:53

Ciao a tutti, avrei bisogno che mi deste una mano per i seguenti esercizi, alcuni si tratta solo di vedere se sono corretti:
1) Sia $ G $ l'insieme $ RR xx RR xx RR $ . Definiamo in $ G $ l'operazione
$ (a,b,c)*(x,y,z)=(a+x, b+y, ay+c+z) $
Calcolare il centro $ Z(G) $ e trovare un sottogruppo normale non banale in $ G $

Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che $ (a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) $ quindi ho che
$ (a+x, b+y, ay+c+z)=(a+x,b+y,xb+z+c) $ ovvero $ xb=ay $
che per $ b != 0 $ ho $ x=(ay)/b $ che non va bene come risultato, mentre per $ b=0 $ ho $ y=o $ e quind il centro è dato da tutti gli elementi del tipo $ (x, 0, z) $

2)Nel gruppo $ S6 $ si considerino le permutazioni $ sigma=(1654)(46)(253) $ e $ pi=(16324)(16452) $
a)Dire se sono coniugate ed in caso affermativo scrivere un elemento esplicito $ g $ tale che $ gpig^-1=sigma $
Le permutazioni scritte in cicli disgiunti mi vengono $ pi= (1326)(45) $ e $ sigma= (16)(2453) $ che sono coniugate perchè hanno la stessa struttura ciclica...
e g mi viene $ g=(125634) $
b) Calcolare il numero di elementi che sono coniugati con $ pi $ e calcolare il numero di elementi che commutano con $ sigma $
Il numero di elementi coniugati con $ pi $ è $ (6!)/((6-4)!4) xx (2!)/2 = 90 $ , mentre il numero di elementi che commutano è dato dalla cardinalità del centralizzante se non sbaglio, però non so come calcolarlo...

3) Sia $ G = $ un gruppo ciclico di ordine 30
a)Per ogni $ k in ZZ $ si consideri l'omomorfismo $ phi: Grarr G $ tale che $ phi(g)= g^k $ . Quanti sono i $ phi $ distinti? Quanti di questi sono automorfismi?
questo punto non so proprio come si debba fare ma gli omomorfismi da trovare non sono tutti automorfismi visto che sono $ GrarrG $ ?

b)Dire quanti sono gli omomorfismi $ GrarrZZ20 $ . Ce ne sono di suriettivi?
Se non sbaglio l'immagine di $ g $ deve essere tra quegli elementi di $ ZZ20 $ il cui ordine è un divisore di 30, quindi 2,3,5,6,10,15,30...quindi le possibili immagini sono $ bar(2),bar(4), bar(10) $ ... ma come devo fare per sapere quali omomorfismi sono suriettivi?

c) Quanti sono i sottogruppi del gruppo prodotto $ G xx G $ ?
Il sottogruppo $ G xx G $ ha 90 elementi, quindi per Lagrange tutti i possibili sottogruppi hanno l'ordine che divide 90...ma questo non garantisce l'esistenza di un sottogruppo per ogni divisore...come faccio a capire quali tra di questi sono ammissibili?

Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo a tutti!