Esercizi sui gruppi
Ciao a tutti, avrei bisogno che mi deste una mano per i seguenti esercizi, alcuni si tratta solo di vedere se sono corretti:
1) Sia $ G $ l'insieme $ RR xx RR xx RR $ . Definiamo in $ G $ l'operazione
$ (a,b,c)*(x,y,z)=(a+x, b+y, ay+c+z) $
Calcolare il centro $ Z(G) $ e trovare un sottogruppo normale non banale in $ G $
Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che $ (a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) $ quindi ho che
$ (a+x, b+y, ay+c+z)=(a+x,b+y,xb+z+c) $ ovvero $ xb=ay $
che per $ b != 0 $ ho $ x=(ay)/b $ che non va bene come risultato, mentre per $ b=0 $ ho $ y=o $ e quind il centro è dato da tutti gli elementi del tipo $ (x, 0, z) $
2)Nel gruppo $ S6 $ si considerino le permutazioni $ sigma=(1654)(46)(253) $ e $ pi=(16324)(16452) $
a)Dire se sono coniugate ed in caso affermativo scrivere un elemento esplicito $ g $ tale che $ gpig^-1=sigma $
Le permutazioni scritte in cicli disgiunti mi vengono $ pi= (1326)(45) $ e $ sigma= (16)(2453) $ che sono coniugate perchè hanno la stessa struttura ciclica...
e g mi viene $ g=(125634) $
b) Calcolare il numero di elementi che sono coniugati con $ pi $ e calcolare il numero di elementi che commutano con $ sigma $
Il numero di elementi coniugati con $ pi $ è $ (6!)/((6-4)!4) xx (2!)/2 = 90 $ , mentre il numero di elementi che commutano è dato dalla cardinalità del centralizzante se non sbaglio, però non so come calcolarlo...
3) Sia $ G = $ un gruppo ciclico di ordine 30
a)Per ogni $ k in ZZ $ si consideri l'omomorfismo $ phi: Grarr G $ tale che $ phi(g)= g^k $ . Quanti sono i $ phi $ distinti? Quanti di questi sono automorfismi?
questo punto non so proprio come si debba fare ma gli omomorfismi da trovare non sono tutti automorfismi visto che sono $ GrarrG $ ?
b)Dire quanti sono gli omomorfismi $ GrarrZZ20 $ . Ce ne sono di suriettivi?
Se non sbaglio l'immagine di $ g $ deve essere tra quegli elementi di $ ZZ20 $ il cui ordine è un divisore di 30, quindi 2,3,5,6,10,15,30...quindi le possibili immagini sono $ bar(2),bar(4), bar(10) $ ... ma come devo fare per sapere quali omomorfismi sono suriettivi?
c) Quanti sono i sottogruppi del gruppo prodotto $ G xx G $ ?
Il sottogruppo $ G xx G $ ha 90 elementi, quindi per Lagrange tutti i possibili sottogruppi hanno l'ordine che divide 90...ma questo non garantisce l'esistenza di un sottogruppo per ogni divisore...come faccio a capire quali tra di questi sono ammissibili?
Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo a tutti!
1) Sia $ G $ l'insieme $ RR xx RR xx RR $ . Definiamo in $ G $ l'operazione
$ (a,b,c)*(x,y,z)=(a+x, b+y, ay+c+z) $
Calcolare il centro $ Z(G) $ e trovare un sottogruppo normale non banale in $ G $
Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che $ (a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) $ quindi ho che
$ (a+x, b+y, ay+c+z)=(a+x,b+y,xb+z+c) $ ovvero $ xb=ay $
che per $ b != 0 $ ho $ x=(ay)/b $ che non va bene come risultato, mentre per $ b=0 $ ho $ y=o $ e quind il centro è dato da tutti gli elementi del tipo $ (x, 0, z) $
2)Nel gruppo $ S6 $ si considerino le permutazioni $ sigma=(1654)(46)(253) $ e $ pi=(16324)(16452) $
a)Dire se sono coniugate ed in caso affermativo scrivere un elemento esplicito $ g $ tale che $ gpig^-1=sigma $
Le permutazioni scritte in cicli disgiunti mi vengono $ pi= (1326)(45) $ e $ sigma= (16)(2453) $ che sono coniugate perchè hanno la stessa struttura ciclica...
e g mi viene $ g=(125634) $
b) Calcolare il numero di elementi che sono coniugati con $ pi $ e calcolare il numero di elementi che commutano con $ sigma $
Il numero di elementi coniugati con $ pi $ è $ (6!)/((6-4)!4) xx (2!)/2 = 90 $ , mentre il numero di elementi che commutano è dato dalla cardinalità del centralizzante se non sbaglio, però non so come calcolarlo...
3) Sia $ G =
a)Per ogni $ k in ZZ $ si consideri l'omomorfismo $ phi: Grarr G $ tale che $ phi(g)= g^k $ . Quanti sono i $ phi $ distinti? Quanti di questi sono automorfismi?
questo punto non so proprio come si debba fare ma gli omomorfismi da trovare non sono tutti automorfismi visto che sono $ GrarrG $ ?
b)Dire quanti sono gli omomorfismi $ GrarrZZ20 $ . Ce ne sono di suriettivi?
Se non sbaglio l'immagine di $ g $ deve essere tra quegli elementi di $ ZZ20 $ il cui ordine è un divisore di 30, quindi 2,3,5,6,10,15,30...quindi le possibili immagini sono $ bar(2),bar(4), bar(10) $ ... ma come devo fare per sapere quali omomorfismi sono suriettivi?
c) Quanti sono i sottogruppi del gruppo prodotto $ G xx G $ ?
Il sottogruppo $ G xx G $ ha 90 elementi, quindi per Lagrange tutti i possibili sottogruppi hanno l'ordine che divide 90...ma questo non garantisce l'esistenza di un sottogruppo per ogni divisore...come faccio a capire quali tra di questi sono ammissibili?
Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Controllando il quesito 2.a: [tex]$\sigma=(14)(2563);\,\pi=(1463)(25)$[/tex] seppur restano coniugate per i motivi che hai detto!
Controllando il quesito 3.c: il gruppo prodotto che consideri ha ordine 900 ed è abeliano, per cui...
Gli altri non mi sento adesso di controllarli, magari domani!
Controllando il quesito 3.c: il gruppo prodotto che consideri ha ordine 900 ed è abeliano, per cui...
Gli altri non mi sento adesso di controllarli, magari domani!
2.a ma nonbisogna partire dal ciclo più esterno per fare i calcoli, intendo da quello più a destra?
3.c Ho scritto 90 ma in realtà volevo scrivere 900, errore di battitura cmq che è abeliano ok,ma come dovrei sfruttare questa informazione?
3.c Ho scritto 90 ma in realtà volevo scrivere 900, errore di battitura
cmq che è abeliano ok,ma come dovrei sfruttare questa informazione?
2.a: mai sentita una cosa del genere! Io ho sempre iniziato da sinistra con tale notazione ciclica. 
3.c: i gruppi abeliani finiti sono gruppi lagrangiani ovvero: per ogni divisore [tex]$d$[/tex] del loro ordine esiste almeno un sottogruppo di ordine [tex]$d$[/tex].
3.c: i gruppi abeliani finiti sono gruppi lagrangiani ovvero: per ogni divisore [tex]$d$[/tex] del loro ordine esiste almeno un sottogruppo di ordine [tex]$d$[/tex].
2.a Ah, ok!:D allora dovrò ricalcolare un attimo anche $ g $ che con le permutazioni scomposte in modo sbagliato è calcolata male...
3.c. Perfetto, questa informazione mi chiarisce un pò di dubbi!
grazie delle risposte, allora domani attendo altre tue correzioni
3.c. Perfetto, questa informazione mi chiarisce un pò di dubbi!
grazie delle risposte, allora domani attendo altre tue correzioni
Ammesso che ce ne siano!
[OT]
@j18eos: "ne" senza accento, ché è pronome.
[/OT]
@j18eos: "ne" senza accento, ché è pronome.
[/OT]
Non mi vuole proprio entrare in testa. 
"j18eos":[OT]
Ammesso che c'è ne siano!
Si scrive "ammesso che ce ne siano".
[/OT]
Al terzo errore di grammatica in questo thread vinco un bonus 
lo dico per non piangere! 
lo dico per non piangere!
Ciao! Per il 2.b: la cardinalità del centralizzante di un elemento è uguale all'ordine del gruppo diviso il numero di elementi nella classe di coniugio dell'elemento.
Per il 3.a: tieni conto che, se un gruppo è ciclico, basta determinare l'immagine di un suo generatore per determinare completamente l'omeomorfismo. Prova a pensare che cosa succede se $k$ è primo con 30, e altrimenti. Automorfismo significa che è pure suriettivo, e ce ne sono di non suriettivi...
3.b quindi devi cercare quegli elementi di [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] il cui ordine divida 30, ce ne sono altri oltre a quelli che hai scritto.
3.c cerca il numero dei sottogruppi di G (chiamalo n). I sottogruppi di quel prodotto dovrebbero essere $n^2$. Bye, spero di non avere detto idiozie
EDIT: @j18eos: nel 3.c consideriamo, ad esempio, $C_6 \times C_1$ e $C_3 \times C_2$ la stessa cosa?
Per il 3.a: tieni conto che, se un gruppo è ciclico, basta determinare l'immagine di un suo generatore per determinare completamente l'omeomorfismo. Prova a pensare che cosa succede se $k$ è primo con 30, e altrimenti. Automorfismo significa che è pure suriettivo, e ce ne sono di non suriettivi...
3.b quindi devi cercare quegli elementi di [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] il cui ordine divida 30, ce ne sono altri oltre a quelli che hai scritto.
3.c cerca il numero dei sottogruppi di G (chiamalo n). I sottogruppi di quel prodotto dovrebbero essere $n^2$. Bye
, spero di non avere detto idiozieEDIT: @j18eos: nel 3.c consideriamo, ad esempio, $C_6 \times C_1$ e $C_3 \times C_2$ la stessa cosa?
Ciao! Per il 2.b quindi se ho fatto bene i calcoli per il numero di elementi della classe di coniugio, il centralizzante dovrebbe avere 8 elementi...e se dovessi scrivere quali sono questi elementi come devo fare?
Per il 3.a direi che se $ k $ è primo con 30, $ g^k $ è un generatore di $ G $ quindi ho $ phi (30) = 8 $ omomorfismi......ma come devo fare per trovare quelli suriettivi?
3.b Ah sì? e come li trovo?
3.c ok, direi che è chiaro
Per il 3.a direi che se $ k $ è primo con 30, $ g^k $ è un generatore di $ G $ quindi ho $ phi (30) = 8 $ omomorfismi......ma come devo fare per trovare quelli suriettivi?
3.b Ah sì? e come li trovo?
3.c ok, direi che è chiaro
2.b c'è un pochino di confusione, perché io li ho sempre moltiplicati a partire da destra. xD Comunque, il succo del discorso resta tale. Poniamo di avere la permutazione $(1 2 3 4) (5 6)$. Sicuramente lei commuta con elementi del tipo $(1234)^k(56)^j$. Ma allora abbiamo almeno 8 elementi che commutano con lei, che sono precisamente quelli che cercavamo.
3.a se k non è primo con 30, trovi omomorfismi non suriettivi. Gli automorfismi sono proprio quando k è primo con 30.
3.b uhm allora in [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] tutte le classi pari hanno ordine che divide 10, e dunque che divide 30. Tra i dispari non primi con 20, ci sono solo i multipli di 5, entrambi con ordine 4, che non divide 30. Quindi... può essrvi un omomorfismo suriettivo?
3.a se k non è primo con 30, trovi omomorfismi non suriettivi. Gli automorfismi sono proprio quando k è primo con 30.
3.b uhm allora in [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] tutte le classi pari hanno ordine che divide 10, e dunque che divide 30. Tra i dispari non primi con 20, ci sono solo i multipli di 5, entrambi con ordine 4, che non divide 30. Quindi... può essrvi un omomorfismo suriettivo?
2.b ok, perfeeto
3.a ma quindi stai dicendo che ci sono 30 omomorfismi possibili di cui 8 suriettivi?
3.b Mi sa che ho un pò di confusione in testa....come fai a dire che tutte le clasi pari hanno ordine che divide 10?Hai preso ogni elemento e hai calcolato " a mano" il periodo, cioè hai provato ad elevare a potenza finchè non trovavi il periodo? o hai usato un metodo più breve?
3.a ma quindi stai dicendo che ci sono 30 omomorfismi possibili di cui 8 suriettivi?
3.b Mi sa che ho un pò di confusione in testa....come fai a dire che tutte le clasi pari hanno ordine che divide 10?Hai preso ogni elemento e hai calcolato " a mano" il periodo, cioè hai provato ad elevare a potenza finchè non trovavi il periodo? o hai usato un metodo più breve?
3.a Sì, qualcosa in contrario?
3.b Se prendi una qualche classe [tex]\overline{2k}[/tex] e la sommi 10 volte ottieni [tex]\overline{\mbox{qualcosa}}[/tex] che è multiplo di 20, e dunque è la classe di zero. Allora il suo ordine deve dividere 10. Per i dispari, se sono primi con 20 il loro ordine è automaticamente 20 che non divide 30, se è invece il contrario, abbiamo solo due casi, che si fanno a mano.
3.b Se prendi una qualche classe [tex]\overline{2k}[/tex] e la sommi 10 volte ottieni [tex]\overline{\mbox{qualcosa}}[/tex] che è multiplo di 20, e dunque è la classe di zero. Allora il suo ordine deve dividere 10. Per i dispari, se sono primi con 20 il loro ordine è automaticamente 20 che non divide 30, se è invece il contrario, abbiamo solo due casi, che si fanno a mano.
3.a Niente in contrario, volevo essere certa di aver capito bene
3.b ok, perfetto!
Per caso sai dirmi se il primo esercizio, quello che riguarda il centro, ti sembra giusto?
3.b ok, perfetto!
Per caso sai dirmi se il primo esercizio, quello che riguarda il centro, ti sembra giusto?
Vediamo... fissiamo $(a,b,c) \in Z(G)$. Dobbiamo avere $(a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) \forall (x,y,z) \in G$. Ricaviamo, come hai detto tu, $ay=xb \forall x,y \in \mathbb{R}$. Da qui scende che sia a che b devono essere zero, poiché altrimenti potremmo scegliere $x,y$ ad hoc in modo tale da non fare funzionare l'eguaglianza. Gli elementi del centro sono quindi quelli del tipo $(0,0,c)$. Si verifica che, effettivamente, loro stanno nel centro. Siccome il centro è sempre un sottogruppo normale, abbiamo pure un sottogruppo normale non banale. Spero che sia giusto 
"doppio":Non t'ho capito! Spiegati.
...@j18eos: nel 3.c consideriamo, ad esempio, $C_6 \times C_1$ e $C_3 \times C_2$ la stessa cosa?
Intendevo $C_6 \times C_1$ come il sottogruppo di $G \times G$ generato da $(a,1)$, dove $a$ è di ordine 6. Invece $C_2 \times C_3$ come il sottogruppo generato da $(a,b)$, dove a è di ordine 2 e b di ordine 3.
Sì, non vedo il bisogno di farmelo notare 
in quanto ho lasciato che li individuasse Alyaly.
Io accompagno nello svolgere gli esercizi e nei casi estremi li svolgo.
P.S.: Nel tuo primo intervento hai scritto omeomorfismo.
in quanto ho lasciato che li individuasse Alyaly. Io accompagno nello svolgere gli esercizi e nei casi estremi li svolgo.
P.S.: Nel tuo primo intervento hai scritto omeomorfismo.
Non era per fartelo notare, invece era per me, per capire se intendevamo la stessa cosa. Ad ogni modo, hai ragione, la tua è una strategia più efficace della mia, la adotterò. Ebbene sì, ho scritto omeomorfismo... chissà perché mai... 
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