Esercizi sui gruppi
Salve a tutti!
es: Si consideri il gruppo $ZZ99=ZZ//99ZZ$ degli interi modulo 99.
a) Determinare gli elementi di ordine $81$ di $ZZ99$.
Non esiste nessun elemento di ordine $81$ di $ZZ99$ giusto?
Altro es: Stabilire che nel gruppo moltiplicativo $QQ$* dei numeri razionali non nulli c'è un UNICO sottogruppo di ordine $2$.
Questo non so come mettergli mano...
Spero che qualcuno mi possa aiutare. Grazie!
es: Si consideri il gruppo $ZZ99=ZZ//99ZZ$ degli interi modulo 99.
a) Determinare gli elementi di ordine $81$ di $ZZ99$.
Non esiste nessun elemento di ordine $81$ di $ZZ99$ giusto?
Altro es: Stabilire che nel gruppo moltiplicativo $QQ$* dei numeri razionali non nulli c'è un UNICO sottogruppo di ordine $2$.
Questo non so come mettergli mano...
Spero che qualcuno mi possa aiutare. Grazie!
Risposte
Per la a) mi sembra giusto. Ma perchè non c'è tale elemento?
Si tratta alla fine di determinare gli elementi di periodo $2$, in $QQ*$, poichè tale gruppo è ciclico.
Si tratta alla fine di determinare gli elementi di periodo $2$, in $QQ*$, poichè tale gruppo è ciclico.
Prima cosa grazie,
poi premetto che non mi è ancora molto chiaro come funzionano questi gruppi.
Preso da wikipedia: Se G è ciclico di ordine n ed m divide n allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine m.
Quindi in questo caso non divide quindi non esiste il sottogruppo giusto?
Al secondo es. ci sto lavorando.
poi premetto che non mi è ancora molto chiaro come funzionano questi gruppi.
"mistake89":
Per la a) mi sembra giusto. Ma perchè non c'è tale elemento?
Preso da wikipedia: Se G è ciclico di ordine n ed m divide n allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine m.
Quindi in questo caso non divide quindi non esiste il sottogruppo giusto?
Al secondo es. ci sto lavorando.
Leggi il teorema di Lagrange. 
L'ordine di un sottogruppo (o nel caso ciclico di un elemento è equivalente) deve dividere l'ordine del gruppo. Ovviamente $81$ non divide $99$, quindi sicuramente tale sottogruppo non può esistere.
Bada bene che non è sempre vero il contrario. Cioè non è detto che se un intero $n$ divide l'ordine del gruppo allora esiste un sottogruppo di ordine $n$. L'esempio classico è $A_4$. Il suo ordine è $12$, quindi $6$ è un suo divisore, ma non esistono sottogruppi di tale ordine! Ma non so a che livello tu sia di conoscenza di teoria dei gruppi.
Il secondo è molto semplice: pensa solo a quale numero $x in QQ$ è tale che $x^2=1$
L'ordine di un sottogruppo (o nel caso ciclico di un elemento è equivalente) deve dividere l'ordine del gruppo. Ovviamente $81$ non divide $99$, quindi sicuramente tale sottogruppo non può esistere.
Bada bene che non è sempre vero il contrario. Cioè non è detto che se un intero $n$ divide l'ordine del gruppo allora esiste un sottogruppo di ordine $n$. L'esempio classico è $A_4$. Il suo ordine è $12$, quindi $6$ è un suo divisore, ma non esistono sottogruppi di tale ordine! Ma non so a che livello tu sia di conoscenza di teoria dei gruppi.
Il secondo è molto semplice: pensa solo a quale numero $x in QQ$ è tale che $x^2=1$
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