Esercizi sui gruppi.
Buonasera, ho il seguente esercizio simile a quelli che ho postato in precedenza, in particolare
sia $GL(2,RR)$ gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su $RR$ considero
Mi viene chiesto di verificare se $G le GL(2,RR)$, verificare se abeliano e determinare la cardinalità.
Per le prime due mi sono risposto da solo invece, per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione
Infatti siano $X, Y in G$ con \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c & d \\ -d & c \end{vmatrix} \) tali che $X ne Y$ la tesi è verificare che $psi(A) ne psi(B).$
Se $X ne Y$ si ha $a ne c$ o $b ne d$ quindi, in entrambi i casi risulta rispettivamente $2a ne 2c$ allora $2a+b ne 2c+d$, $b ne d$ allora $2a+b ne 2c + d.$
Invece se considero $y in RR$ allora $exists a, b in RR : y=2a+b=psi(X)$ con $X in G$
Quindi $G \approx RR$ allora $c=|RR|=|G|$.
L'esercizio non finisce qui cioè, il secondo punto consiste:
Posto \(\displaystyle x={\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}}, y={\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}} \) di determinare gli ordini di $x, y$ e $xy$.
Per $y$ ci sono riuscito, dove l'ordine risulta essere pari a 2 invece, per quanto riguarda il caso $x$ non ci sono riuscito.
Vi dico la verità io gli esercizi che ho svolti finora erano tutti su gruppi di ordine finito, quindi questa è la prima volta che mi trovo in questa situazione.
Quindi le domande sono due
:
Se la verifica della cardinalità va bene?
Come posso procedere per determinare l'ordine degli elementi $x, xy$.
sia $GL(2,RR)$ gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su $RR$ considero
\(\displaystyle G={\begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}} : a, b \in R, (a,b)\ne(0,0) \).
Mi viene chiesto di verificare se $G le GL(2,RR)$, verificare se abeliano e determinare la cardinalità.
Per le prime due mi sono risposto da solo invece, per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione
$psi \ :\ x in G \ to \ 2a+b in RR $ dove risulta $G \approx RR.$
Infatti siano $X, Y in G$ con \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c & d \\ -d & c \end{vmatrix} \) tali che $X ne Y$ la tesi è verificare che $psi(A) ne psi(B).$
Se $X ne Y$ si ha $a ne c$ o $b ne d$ quindi, in entrambi i casi risulta rispettivamente $2a ne 2c$ allora $2a+b ne 2c+d$, $b ne d$ allora $2a+b ne 2c + d.$
Invece se considero $y in RR$ allora $exists a, b in RR : y=2a+b=psi(X)$ con $X in G$
Quindi $G \approx RR$ allora $c=|RR|=|G|$.
L'esercizio non finisce qui cioè, il secondo punto consiste:
Posto \(\displaystyle x={\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}}, y={\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}} \) di determinare gli ordini di $x, y$ e $xy$.
Per $y$ ci sono riuscito, dove l'ordine risulta essere pari a 2 invece, per quanto riguarda il caso $x$ non ci sono riuscito.
Vi dico la verità io gli esercizi che ho svolti finora erano tutti su gruppi di ordine finito, quindi questa è la prima volta che mi trovo in questa situazione.
Quindi le domande sono due
: Se la verifica della cardinalità va bene?
Come posso procedere per determinare l'ordine degli elementi $x, xy$.
Risposte
Che casino!
Invece, si fa semplicemente così: a definire un elemento di \(G\) sono due parametri reali, \((a,b)\in\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus\{(0,0)\}\), che ha esattamente tanti elementi quanti ne ha \(\mathbb R\).
"Pasquale 90":Perché tanta fatica e una funzione tanto bislacca? E poi, hai notato che questa funzione non è biiettiva? \(2a+b\) fa zero per \((a,b)=(0,0), (1,2),(2,4),\dots\)
Per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione$psi \ :\ x in G \ to \ 2a+b in RR $ dove risulta $G \approx RR.$
Infatti siano $X, Y in G$ con \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c & d \\ -d & c \end{vmatrix} \) tali che $X ne Y$ la tesi è verificare che $psi(A) ne psi(B).$Deciditi, \(X,Y\) o \(A,B\)? Il resto è un confuso marasma di segni, nel cui merito non intendo entrare.
Invece, si fa semplicemente così: a definire un elemento di \(G\) sono due parametri reali, \((a,b)\in\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus\{(0,0)\}\), che ha esattamente tanti elementi quanti ne ha \(\mathbb R\).
L'esercizio non finisce qui cioè, il secondo punto consiste:Cosa ti ha impedito di moltiplicare \(x\) per sé stesso un po' di volte? E cosa ti insegna questo esercizio di meditazione, a parte che a fare i prodotti di matrici?
Posto \(\displaystyle x={\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}}, y={\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}} \) di determinare gli ordini di $x, y$ e $xy$.
Per $y$ ci sono riuscito, dove l'ordine risulta essere pari a 2 invece, per quanto riguarda il caso $x$ non ci sono riuscito.
Ciao solaàl 
cioè se volessi formalizzarlo? si dovrebbe sempre dimostrarlo con una funzione, giusto ?
Invece, per quanto riguarda l'esercizio di meditazione, ho avuto un effetto collaterale
.. a parte gli scherzi quello che mi verrebbe da dire intuitivamente, che in un gruppo non finito posso determinare analiticamente gli elementi di periodo $2$ cioè quelli che il loro inverso coincide con se stesso invece, per tutti gli altri non è possibile.
"solaàl":Perché tanta fatica e una funzione tanto bislacca? E poi, hai notato che questa funzione non è biiettiva? \(2a+b\) fa zero per \((a,b)=(0,0), (1,2),(2,4),\dots\) [/quote] grazie che me l'hai fatto notare, comunque, intendevi $2a+b$ fa zero per le coppie $(a,b)$ dove $b=-a$?
Che casino!
[quote="Pasquale 90"]Per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione$psi \ :\ x in G \ to \ 2a+b in RR $ dove risulta $G \approx RR.$
basta cosi poco ?
Invece, si fa semplicemente così: a definire un elemento di \( G \) sono due parametri reali, \( (a,b)\in\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus\{(0,0)\} \), che ha esattamente tanti elementi quanti ne ha \( \mathbb R \).
cioè se volessi formalizzarlo? si dovrebbe sempre dimostrarlo con una funzione, giusto ?Invece, per quanto riguarda l'esercizio di meditazione, ho avuto un effetto collaterale
.. a parte gli scherzi quello che mi verrebbe da dire intuitivamente, che in un gruppo non finito posso determinare analiticamente gli elementi di periodo $2$ cioè quelli che il loro inverso coincide con se stesso invece, per tutti gli altri non è possibile.
ho detto una castroneria ?
Matteo 7,7, ma con un po' di pazienza.
cioè se volessi formalizzarlo? si dovrebbe sempre dimostrarlo con una funzione, giusto ?[/quote] Sì. Trova questa funzione, ma dovrebbe essere evidente, o no?
Per il resto: come si comportano le potenze successive di \(x\)?
"Pasquale 90":Sì, e perciò questa funzione non è biiettiva; perché non è iniettiva. Il problema maggiore però è il resto, non significa niente...
grazie che me l'hai fatto notare, comunque, intendevi $2a+b$ fa zero per le coppie $(a,b)$ dove $b=-a$?
[quote]basta cosi poco ?
Invece, si fa semplicemente così: a definire un elemento di \( G \) sono due parametri reali, \( (a,b)\in\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus\{(0,0)\} \), che ha esattamente tanti elementi quanti ne ha \( \mathbb R \).
cioè se volessi formalizzarlo? si dovrebbe sempre dimostrarlo con una funzione, giusto ?[/quote] Sì. Trova questa funzione, ma dovrebbe essere evidente, o no?Invece, per quanto riguarda l'esercizio di meditazione, ho avuto un effetto collaterale2mg di loperamide, e passa tutto.
Per il resto: come si comportano le potenze successive di \(x\)?
"solaàl":
Matteo 7,7, ma con un po' di pazienza.
2mg di loperamide, e passa tutto.
Comunque per la funzione, ho considerato $f:alpha in RR \ to \ A alpha in G$, dove
$alpha, beta in RR$
$f(alpha)=f(beta)$ allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} \alpha\ a& \alpha\ b \\ -\alpha\ b & \alpha\ a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \beta\ a & \beta\ b \\ -\beta\ b & \beta\ a \end{vmatrix} \)
cioè $alpha\a=beta\a$ e $alpha\b=beta\b leftrightarrow a(alpha-beta)=0$ e $b(alpha-beta)=0$
poiché $a,b$ non possono essere contemporaneamente uguale a $0$ si ha in particolare $alpha=beta$ cioè $f$ è iniettiva.
Per la suriettività, sia $y in G$ allora $exists X in G$ tale che $y=X$.
Da $X in G$ posso trovare un $A in G$ tale che $alphaA=X$ con $alpha in RR$ quindi,
$y=X=alphaA=f(alpha)$ allora $f$ è suriettiva.
Invece, per quanto riguarda le potenze di $x$ ho fatti vari prodotti ma quello che sono riuscito a notare che le entrate di $x^n$ crescano, in valore assoluto, al crescere dell'esponente $n$, per cui mi verrebbe da dire che $x$ è aperiodico.
"Pasquale 90":
Comunque per la funzione, ho considerato $f:alpha in RR \ to \ A alpha in G$, dove
$alpha, beta in RR$
$f(alpha)=f(beta)$ allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} \alpha\ a& \alpha\ b \\ -\alpha\ b & \alpha\ a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \beta\ a & \beta\ b \\ -\beta\ b & \beta\ a \end{vmatrix} \)
cioè $alpha\a=beta\a$ e $alpha\b=beta\b leftrightarrow a(alpha-beta)=0$ e $b(alpha-beta)=0$
poiché $a,b$ non possono essere contemporaneamente uguale a $0$ si ha in particolare $alpha=beta$ cioè $f$ è iniettiva.
Per la suriettività, sia $y in G$ allora $exists X in G$ tale che $y=X$.
Da $X in G$ posso trovare un $A in G$ tale che $alphaA=X$ con $alpha in RR$ quindi,
$y=X=alphaA=f(alpha)$ allora $f$ è suriettiva.
E' tutto molto confuso, e non si capisce perchè la fai così lunga. C'è una mappa ovvia da $G$ in \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\), che è quasi tautologicamente biiettiva. Non riesci a trovarla?
Tra $G$ e $RR^2$ si, ed è $f: A in G to (a,b) in RR^2-{(0,0)}$.
Ma devo andare da $G $ in $RR$.....
Ma devo andare da $G $ in $RR$.....
No, devi andare da G a un insieme in biiezione con R. Questo è sufficiente.
Gli insiemi con lo stesso numero di elementi sono lo stesso insieme, per definizione di cosa significa "lo stesso insieme".
Gli insiemi con lo stesso numero di elementi sono lo stesso insieme, per definizione di cosa significa "lo stesso insieme".
solaàl, purtroppo, non riesce a vedere nessuna biiezione tra $G$ ed $RR$.
"Pasquale 90":
solaàl, purtroppo, non riesce a vedere nessuna biiezione tra $G$ ed $RR$.
Hai trovato una biiezione tra $G$ e \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\). Se vuoi trovare una biiezione tra $G$ ed $\mathbb R$, basta trovarne una tra \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\) ed $\mathbb R$ e comporre.
Devi mostrare due cose: se togli a un insieme infinito un numero finito di elementi, resta infinito (della stessa cardinalità); il prodotto di due insiemi infiniti è infinito, della cardinalità del maggiore dei due.
Se ti aspetti di scrivere una biiezione esplicita tra \(\mathbb R\) e \(\mathbb R^2\) (o \(\mathbb R^2 \setminus\{p_1,\dots,p_n\}\), è lo stesso) beh, buon lavoro: per il teorema di invarianza della dimensione, una biiezione \(\mathbb R \cong \mathbb R^2\) non può essere continua in nessun intorno aperto di nessun punto. https://mathoverflow.net/questions/1260 ... o-mathbbr2
Se ti aspetti di scrivere una biiezione esplicita tra \(\mathbb R\) e \(\mathbb R^2\) (o \(\mathbb R^2 \setminus\{p_1,\dots,p_n\}\), è lo stesso) beh, buon lavoro: per il teorema di invarianza della dimensione, una biiezione \(\mathbb R \cong \mathbb R^2\) non può essere continua in nessun intorno aperto di nessun punto. https://mathoverflow.net/questions/1260 ... o-mathbbr2
Le due dimostrazione che mi hai chiesto già le conosco quindi, non terrebbe alcun senso riportarle.
Per quanto possa essere banale, purtroppo, non sono riuscito a determinare nessuna biiezione da $G$ in $RR$.
Quella che ho postato per ultimo mi sembrava un'ottima candidata però, vedo che non lo è.
Se ti va scrivila tu questa "famosa" mappa.
Ciao e grazie.
Per quanto possa essere banale, purtroppo, non sono riuscito a determinare nessuna biiezione da $G$ in $RR$.
Quella che ho postato per ultimo mi sembrava un'ottima candidata però, vedo che non lo è.
Se ti va scrivila tu questa "famosa" mappa.
Ciao e grazie.
Cosa non ti è chiaro della locuzione "componi una biiezione tra \(G\) e \(\mathbb R^2\) con una biiezione tra \(\mathbb R\) e \(\mathbb R^2\)"?
$f:(a,b) in RR^2 \setminus {(0,0)} \ to A in G$ con \(\displaystyle A= \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix} \in G. \)
$g:x in RR to (x,b) in RR^2 \setminus{(0,0)}$, con $b in RR$.
Per $f$,
Iniettività:
$(a,b), (c,d) in RR^2"\setminus{(0,0)}$ tali che $f(a,b)=f(c,d) leftrightarrow A=B$ allora $a=b, c=d$ quindi $(a,b)=(c,d)$ cioè $f$ è iniettiva.
Suriettività:
Per come è stata definita $f$ è suriettiva.
Per $g$,
Iniettività:
$x,y in RR$ tali che $x ne y$ allora $g(x)=(x,b) ne (y,b)=g(y)$ cioè $g$ è iniettiva.
Suriettività:
$(x,b)in RR^2\setminus{(0,0)}$ allora $exists x in RR$ per cui $(x,b)=g(x)$ quindi $g$ è suriettiva.
Per la composta $g circ f : x in RR to X in G $ con \(\displaystyle X=\begin{vmatrix} x & b \\ -b & x \end{vmatrix}. \)
Potrebbero andare bene ?
$g:x in RR to (x,b) in RR^2 \setminus{(0,0)}$, con $b in RR$.
Per $f$,
Iniettività:
$(a,b), (c,d) in RR^2"\setminus{(0,0)}$ tali che $f(a,b)=f(c,d) leftrightarrow A=B$ allora $a=b, c=d$ quindi $(a,b)=(c,d)$ cioè $f$ è iniettiva.
Suriettività:
Per come è stata definita $f$ è suriettiva.
Per $g$,
Iniettività:
$x,y in RR$ tali che $x ne y$ allora $g(x)=(x,b) ne (y,b)=g(y)$ cioè $g$ è iniettiva.
Suriettività:
$(x,b)in RR^2\setminus{(0,0)}$ allora $exists x in RR$ per cui $(x,b)=g(x)$ quindi $g$ è suriettiva.
Per la composta $g circ f : x in RR to X in G $ con \(\displaystyle X=\begin{vmatrix} x & b \\ -b & x \end{vmatrix}. \)
Potrebbero andare bene ?
Va tutto meno che bene: \(g\) non è una funzione.
La $g$ l'ho presa dalle slide della mia prof. quel che cambia, cambiano solamente i nomi degli insiemi.
I casi sono tre:
1. Ci sono università dove la definizione di funzione viene data sbagliata (non mi stupirebbe, non mi stupisce piu nulla ormai);
2. Hai letto male la definizione;
3 C'è un errore in quello che hai letto, perché il tuo docente è un essere umano che copia dal Libro.
Anzi, quattro: hai scritto una cosa, ti sembra di aver detto quello che intendevi, ma in realtà intendevi un'altra cosa.
Come ti ho detto, poi, nessuna biiezione tra il piano e la retta può essere continua: non hai alcuna speranza di scriverla combinando funzioni "elementari".
Sia come sia, \(g\) non è una funzione: chi è \(b\)? Un fissato elemento di \(\mathbb R\)? E allora come fa \(g\) a essere suriettiva? Se, invece, intendi che \(x\) viene mandato nell'insieme di tutti gli elementi della forma \((x,b\)\), allora ad un elemento di \(\mathbb R\) ne corrispondono un'infinità (esattamente tanti quanti gli elementi di \(\mathbb R\)). In questo caso, \(g\) non è una funzione.
1. Ci sono università dove la definizione di funzione viene data sbagliata (non mi stupirebbe, non mi stupisce piu nulla ormai);
2. Hai letto male la definizione;
3 C'è un errore in quello che hai letto, perché il tuo docente è un essere umano che copia dal Libro.
Anzi, quattro: hai scritto una cosa, ti sembra di aver detto quello che intendevi, ma in realtà intendevi un'altra cosa.
Come ti ho detto, poi, nessuna biiezione tra il piano e la retta può essere continua: non hai alcuna speranza di scriverla combinando funzioni "elementari".
Sia come sia, \(g\) non è una funzione: chi è \(b\)? Un fissato elemento di \(\mathbb R\)? E allora come fa \(g\) a essere suriettiva? Se, invece, intendi che \(x\) viene mandato nell'insieme di tutti gli elementi della forma \((x,b\)\), allora ad un elemento di \(\mathbb R\) ne corrispondono un'infinità (esattamente tanti quanti gli elementi di \(\mathbb R\)). In questo caso, \(g\) non è una funzione.
La $g$ è definita per determinare la relazione $|S| le |S times T| $
Ho fissato un elemento $b$ in $RR$ e ho fatto variare la $x in RR$.
Cosa intendi con
Ho fissato un elemento $b$ in $RR$ e ho fatto variare la $x in RR$.
Cosa intendi con
"solaàl":
Cosa non ti è chiaro della locuzione "componi una biiezione tra \( G \) e \( \mathbb R^2 \) con una biiezione tra \( \mathbb R \) e \( \mathbb R^2 \)"?
Come fa \(g\) a essere suriettiva? Fammi vedere, I double dare you.
Quello che semmai stai cercando di applicare è il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein: se tra due insiemi esistono due funzioni iniettive in direzioni opposte, allora ne esiste una biiettiva. Queste sono le funzioni \(f,g\) che hai trovato. Del resto, sapere che da qualche parte nel mondo esiste una funzione biiettiva è largamente diverso dall'aver indicato col dito, e scritto esplicitamente, quella biiezione. (E tra parentesi, CSB non è gratis, dipende dall'assioma della scelta.)
Quello che non puoi fare, è scrivere una biiezione tra \(\mathbb R\) ed \(\mathbb R^2\) che sia una funzione elementare o una composizione di funzioni elementari; ma di biiezioni ce ne sono: ti ho linkato, già da parecchio, un thread di MSE dove viene costruita una tale biiezione. L'hai letto? Che te ne pare? Ha aiutato? Sì? No?
[img]https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSRK1fN2eVYjSL52pddrpfhNy8gqXjKX3V0xQ&usqp=CAU[/img]
Quello che semmai stai cercando di applicare è il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein: se tra due insiemi esistono due funzioni iniettive in direzioni opposte, allora ne esiste una biiettiva. Queste sono le funzioni \(f,g\) che hai trovato. Del resto, sapere che da qualche parte nel mondo esiste una funzione biiettiva è largamente diverso dall'aver indicato col dito, e scritto esplicitamente, quella biiezione. (E tra parentesi, CSB non è gratis, dipende dall'assioma della scelta.)
Quello che non puoi fare, è scrivere una biiezione tra \(\mathbb R\) ed \(\mathbb R^2\) che sia una funzione elementare o una composizione di funzioni elementari; ma di biiezioni ce ne sono: ti ho linkato, già da parecchio, un thread di MSE dove viene costruita una tale biiezione. L'hai letto? Che te ne pare? Ha aiutato? Sì? No?
"Pasquale 90":[/quote] Intendo che la composizione di funzioni biiettive è biiettiva.
Cosa intendi con [quote="solaàl"]Cosa non ti è chiaro della locuzione "componi una biiezione tra \( G \) e \( \mathbb R^2 \) con una biiezione tra \( \mathbb R \) e \( \mathbb R^2 \)"?
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