Esercizi sui gruppi.
Buonasera, ho il seguente esercizio simile a quelli che ho postato in precedenza, in particolare
sia $GL(2,RR)$ gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su $RR$ considero
Mi viene chiesto di verificare se $G le GL(2,RR)$, verificare se abeliano e determinare la cardinalità.
Per le prime due mi sono risposto da solo invece, per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione
Infatti siano $X, Y in G$ con \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c & d \\ -d & c \end{vmatrix} \) tali che $X ne Y$ la tesi è verificare che $psi(A) ne psi(B).$
Se $X ne Y$ si ha $a ne c$ o $b ne d$ quindi, in entrambi i casi risulta rispettivamente $2a ne 2c$ allora $2a+b ne 2c+d$, $b ne d$ allora $2a+b ne 2c + d.$
Invece se considero $y in RR$ allora $exists a, b in RR : y=2a+b=psi(X)$ con $X in G$
Quindi $G \approx RR$ allora $c=|RR|=|G|$.
L'esercizio non finisce qui cioè, il secondo punto consiste:
Posto \(\displaystyle x={\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}}, y={\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}} \) di determinare gli ordini di $x, y$ e $xy$.
Per $y$ ci sono riuscito, dove l'ordine risulta essere pari a 2 invece, per quanto riguarda il caso $x$ non ci sono riuscito.
Vi dico la verità io gli esercizi che ho svolti finora erano tutti su gruppi di ordine finito, quindi questa è la prima volta che mi trovo in questa situazione.
Quindi le domande sono due
:
Se la verifica della cardinalità va bene?
Come posso procedere per determinare l'ordine degli elementi $x, xy$.
sia $GL(2,RR)$ gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su $RR$ considero
\(\displaystyle G={\begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}} : a, b \in R, (a,b)\ne(0,0) \).
Mi viene chiesto di verificare se $G le GL(2,RR)$, verificare se abeliano e determinare la cardinalità.
Per le prime due mi sono risposto da solo invece, per determinare la cardinalità di $G$ ho considerato la seguente funzione
$psi \ :\ x in G \ to \ 2a+b in RR $ dove risulta $G \approx RR.$
Infatti siano $X, Y in G$ con \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c & d \\ -d & c \end{vmatrix} \) tali che $X ne Y$ la tesi è verificare che $psi(A) ne psi(B).$
Se $X ne Y$ si ha $a ne c$ o $b ne d$ quindi, in entrambi i casi risulta rispettivamente $2a ne 2c$ allora $2a+b ne 2c+d$, $b ne d$ allora $2a+b ne 2c + d.$
Invece se considero $y in RR$ allora $exists a, b in RR : y=2a+b=psi(X)$ con $X in G$
Quindi $G \approx RR$ allora $c=|RR|=|G|$.
L'esercizio non finisce qui cioè, il secondo punto consiste:
Posto \(\displaystyle x={\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}}, y={\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}} \) di determinare gli ordini di $x, y$ e $xy$.
Per $y$ ci sono riuscito, dove l'ordine risulta essere pari a 2 invece, per quanto riguarda il caso $x$ non ci sono riuscito.
Vi dico la verità io gli esercizi che ho svolti finora erano tutti su gruppi di ordine finito, quindi questa è la prima volta che mi trovo in questa situazione.
Quindi le domande sono due
: Se la verifica della cardinalità va bene?
Come posso procedere per determinare l'ordine degli elementi $x, xy$.
Risposte
E con questo
mi sembra che c'è una discordanza.
Il mio modo di dimostrarlo l'ho già scritto.
"solaàl":
Come ti ho detto, poi, nessuna biiezione tra il piano e la retta può essere continua: non hai alcuna speranza di scriverla combinando funzioni "elementari".
mi sembra che c'è una discordanza.
Il mio modo di dimostrarlo l'ho già scritto.
Mi hai fatto vedere che \(g\) è suriettiva? Non mi pare. E' un apparato, un organo, provoca dolore?
Per il resto, sì, hai scritto cose, ma cose sbagliate; lo vogliamo passare questo esame di algebretta o torniamo al prossimo appello?
Per il resto, sì, hai scritto cose, ma cose sbagliate; lo vogliamo passare questo esame di algebretta o torniamo al prossimo appello?
"solaàl":
Per il resto, sì, hai scritto cose, ma cose sbagliate; lo vogliamo passare questo esame di algebretta o torniamo al prossimo appello?
non tanto quanto conoscere la materia, detto questo, lo spirito con cui si sta tenendo questa discussione, non è dei più adatti quindi, personalmente la discussione di questo topic finisce qui.
Ciao.
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