Esercizi sui gruppi
ciao a tutti, sto affrontando lo studio dei gruppi, però negli esercizi non so letteralmente cosa fare. Ho bisogno di aiuto con questi esercizi!!
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Risposte
Il [regolamento]1_2[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua.
Detto questo non riesco a leggere il testo dell'esercizio in quelle foto. Sarebbe meglio lo copiassi usando le [formule][/formule].
Detto questo non riesco a leggere il testo dell'esercizio in quelle foto. Sarebbe meglio lo copiassi usando le [formule][/formule].
Mi rendo conto di non aver rispettato il regolamento, purtroppo però non so proprio cosa fare per risolvere questi esercizi.
Riscrivo comunque le tracce:
esercizio1:
siano date le permutazioni:
$\alpha$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),(3,16,15,11,8,13,10,5,6,1,2,14,9,12,7,4))$
$\beta$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),(3,7,14,16,12,8,11,5,15,13,10,1,4,9,6,2))$
e sia H un sottogruppo di $S_16$ tale che {$\alpha$, $\beta$} $sube$ H. Provare che H contiene un sottogruppo di ordine 18
esercizio2:
Sia n un intero maggiore di 1 e sia H l'insieme delle permutazioni di $S_n$ che non lasciano fisso l'elemento 1:
-determinare la cardinalità di H
-provare che H non è contenuto in nessun sottogruppo proprio di $S_n$
-per n=6, determinare la cardinalità dell'insieme delle permutazioni dispari appartenenti ad H
esercizio3:
si consideri la seguente permutazione di $S_16$
$\alpha$ = (1,7,2,13)(3,14,6,10,4)(8,12)(5,11)(9,16,15)
-determinare tutti gli elementi dell'insieme H={$\sigma$ $in$ <$\alpha$>| $\sigma^2$ (1)=2 e $\sigma^3$(3)=4}
-determinare un sottogruppo K di $S_16$ avente ordine 3 e provare che ogni sottogruppo di $S_16$ contenente H$uu$K contiene anche <$\alpha$>
esercizio4:
siano date in $S_18$, le seguenti permutazioni
$\alpha$ = (1,2,3)(5,6)(7,8,9)(10,11)(12,1,14,15,16,17,18)
$\beta$ = (1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10)(11,12,13)(14,15,16,17,18)
-determinare un sottogruppo H abeliano e non ciclico, di $S_18$ tale che H$nn$<$\alpha$> e H$nn$<$\beta$> non siano il sottogruppo banale
-determinare un sottogruppo ciclico di $S_18$ verificante la proprietà del punto precedente.
Riscrivo comunque le tracce:
esercizio1:
siano date le permutazioni:
$\alpha$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),(3,16,15,11,8,13,10,5,6,1,2,14,9,12,7,4))$
$\beta$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16),(3,7,14,16,12,8,11,5,15,13,10,1,4,9,6,2))$
e sia H un sottogruppo di $S_16$ tale che {$\alpha$, $\beta$} $sube$ H. Provare che H contiene un sottogruppo di ordine 18
esercizio2:
Sia n un intero maggiore di 1 e sia H l'insieme delle permutazioni di $S_n$ che non lasciano fisso l'elemento 1:
-determinare la cardinalità di H
-provare che H non è contenuto in nessun sottogruppo proprio di $S_n$
-per n=6, determinare la cardinalità dell'insieme delle permutazioni dispari appartenenti ad H
esercizio3:
si consideri la seguente permutazione di $S_16$
$\alpha$ = (1,7,2,13)(3,14,6,10,4)(8,12)(5,11)(9,16,15)
-determinare tutti gli elementi dell'insieme H={$\sigma$ $in$ <$\alpha$>| $\sigma^2$ (1)=2 e $\sigma^3$(3)=4}
-determinare un sottogruppo K di $S_16$ avente ordine 3 e provare che ogni sottogruppo di $S_16$ contenente H$uu$K contiene anche <$\alpha$>
esercizio4:
siano date in $S_18$, le seguenti permutazioni
$\alpha$ = (1,2,3)(5,6)(7,8,9)(10,11)(12,1,14,15,16,17,18)
$\beta$ = (1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10)(11,12,13)(14,15,16,17,18)
-determinare un sottogruppo H abeliano e non ciclico, di $S_18$ tale che H$nn$<$\alpha$> e H$nn$<$\beta$> non siano il sottogruppo banale
-determinare un sottogruppo ciclico di $S_18$ verificante la proprietà del punto precedente.
Prima di tutto due suggerimenti:
- [*:30em5d2g] Scrivi l'intera formula in latex e non solo i singoli simboli. Il tutto diventa molto più leggibile (e ci metti anche meno).[/*:m:30em5d2g]
[*:30em5d2g] Gli esercizi di algebra non sono come lo studio di una funzione di analisi 1. Al fine di passare l'esame devi imparare a buttarti e sperimentare. Insomma non aspettarti di trovarti algoritmi pronti per risolvere gli esercizi dell'esame.[/*:m:30em5d2g][/list:u:30em5d2g]
Riguardo al primo esercizio, la prima cosa da fare consiste nel riscrivere quegli elementi in cicli disgiunti (in generale fallo come prima cosa ogni volta che ti trovi una permutazione scritta in forma tabulare[nota]Non sono sicuro che sia il termine corretto.[/nota]). \[ \alpha = (1\ 3\ 15\ 7\ 10)(2\ 16\ 4\ 11)(5\ 8)(6\ 13\ 9)(12\ 14) \] Osservo che \(\alpha\) ha cicli di ordine \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\), il suo ordine è pertanto \(\displaystyle 3\times 4\times 5 = 60 \).
\[ \beta = (1\ 3\ 14\ 9\ 15\ 6\ 8\ 5\ 12)(2\ 7\ 11\ 10\ 13\ 4\ 16) \] Osservo che \(\beta\) ha cicli di ordine \(7\) e \(9\), il suo ordine è pertanto \(\displaystyle 7\times 9 = 63 \).
A questo punto si osserva che \(\beta\) ha un ciclo di ordine \(\displaystyle 9 \) e \(\displaystyle \alpha \) ha cicli di ordine pari. Qualche idea su come potresti procedere osservando la decomposizione in cicli disgiunti?
sappiamo che entrambe le permutazioni sono contenute in H, allora ci saranno sicuramente i cicli di lunghezza 2 e lunghezza 9, pertanto H ha almeno un sottogruppo di ordine 18
Non sono sicura che sia giusto, il problema è che non riesco a capire da cosa sia costituito il sottogruppo di un gruppo simmetrico e non riesco ad immaginarlo.
Non sono sicura che sia giusto, il problema è che non riesco a capire da cosa sia costituito il sottogruppo di un gruppo simmetrico e non riesco ad immaginarlo.
Nel caso specifico si tratta di un sottogruppo ciclico. Infatti \(\alpha^{30}=(2\ 4)(11\ 16)\) e \(\beta^7=(1\ 5\ 6\ 9\ 3\ 12\ 8\ 15\ 14)\) e sono cicli disgiunti.
non capisco cosa vuoi dire. La mia risposta è corretta oppure no?
La tua risposta è incompleta e non totalmente corretta. Per esempio il prodotto \((1\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9) = (2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9)\) non è un elemento di ordine \(18\). I due elementi che ho scritto sopra hanno ordine \(2\) e \(9\) e commutano; quando questo succede il loro prodotto ha ordine \(18\). Nota che esistono sottogruppi di ordine \(18\) di \(S_{16}\) che non sono ciclici o abeliani (penso che in \(S_{16}\) tu possa immergerci tutti i gruppi di ordine \(18\)).
Riguardo alla struttura dei sottogruppi di \(S_n\), è qualcosa su cui non ci puoi fare molto affidamento: ogni gruppo può essere immerso in un qualche gruppo di permutazioni. L'esercizio si aspettava da parte tua che ti accorgessi di poter costruire quelle due permutazioni e che il loro prodotto fosse di ordine \(18\). Infatti il sottogruppo generato da \(\alpha\) e \(\beta\) è piuttosto grande e personalmente non conosco scorciatoie per costruirlo (quindi è bene cercare di evitare di farlo).
Riguardo alla struttura dei sottogruppi di \(S_n\), è qualcosa su cui non ci puoi fare molto affidamento: ogni gruppo può essere immerso in un qualche gruppo di permutazioni. L'esercizio si aspettava da parte tua che ti accorgessi di poter costruire quelle due permutazioni e che il loro prodotto fosse di ordine \(18\). Infatti il sottogruppo generato da \(\alpha\) e \(\beta\) è piuttosto grande e personalmente non conosco scorciatoie per costruirlo (quindi è bene cercare di evitare di farlo).
ho capito grazie mille!
solo altre due domande:
quindi per sottogruppo di H di ordine 18 si intende una permutazione di periodo 18? o sto confondendo le due cose?
quindi lo stesso discorso si potrebbe applicare anche all'esercizio 3 per la seconda richiesta?
solo altre due domande:
quindi per sottogruppo di H di ordine 18 si intende una permutazione di periodo 18? o sto confondendo le due cose?
quindi lo stesso discorso si potrebbe applicare anche all'esercizio 3 per la seconda richiesta?
No, una permutazione di ordine 18 genera un sottogruppo ciclico di ordine 18 ma potrebbero esistere sottogruppi di ordine 18 che non sono ciclici. Per studiare più a fondo le varie possibilità devi aver visto qualcosa sui sottogruppi di Sylow.
La seconda richiesta dell'esercizio 3 fa riferimento ad un sottogruppo di ordine 3, quindi si tratta per forza di un sottogruppo ciclico, ma la difficoltà di quell'esercizio non è nel trovare sottogruppi.
La seconda richiesta dell'esercizio 3 fa riferimento ad un sottogruppo di ordine 3, quindi si tratta per forza di un sottogruppo ciclico, ma la difficoltà di quell'esercizio non è nel trovare sottogruppi.
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