Esercizi su teoria di galois
Ciao a tutti..non riesco proprio a fare questo esercizio..devo dire se un campo $K$ con caratteristica diversa da 2 allora ogni estensione $K$$sub$$F$ di grado 2 è estensione di Galois.
Risposte
Idee? Strumenti a tua disposizione?
Il primo modo che mi viene in mente è questo: prendi un elemento a caso; il suo polinomio minimo deve essere al più di grado 2. Siccome la caratteristica è diversa da 2, il polinomio è separabile. Quindi ogni elemento è separabile, ossia l'estensione è separabile (*). Ma allora ha un elemento primitivo. Sia P il polinomio minimo. Se hai una radice di un polinomio di grado 2, hai però necessariamente anche l'altra... Quindi K è il campo di spezzamento di P, ossia è di Galois.
Magari ce n'è una più semplice, non so.
(*) Visto che studio in Francia, mi riempio la bocca di parole francesi. Separabile, ossia étale.
Il primo modo che mi viene in mente è questo: prendi un elemento a caso; il suo polinomio minimo deve essere al più di grado 2. Siccome la caratteristica è diversa da 2, il polinomio è separabile. Quindi ogni elemento è separabile, ossia l'estensione è separabile (*). Ma allora ha un elemento primitivo. Sia P il polinomio minimo. Se hai una radice di un polinomio di grado 2, hai però necessariamente anche l'altra... Quindi K è il campo di spezzamento di P, ossia è di Galois.
Magari ce n'è una più semplice, non so.
(*) Visto che studio in Francia, mi riempio la bocca di parole francesi. Separabile, ossia étale.
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