Esercizi su Teoria dei Gruppi (Ordini,Burnside,Omomorfismi)
Sto preparando l'esame di Algebra 2 (Dipartimento di Matematica - Torino)
Purtoppo non riesco a svolgere vari esercizi, non so proprio da dove iniziare... Vi propongo qualche esercizio:
1) Per ciascuno dei gruppi G seguenti calcolare il numero degli elementi di ordine d come specificato.
a. G = $ ZZ_2 x ZZ_4 $ , ordine 2, ordine 3.
Non mi è chiaro come trovare l'ordine di un elemento in un gruppo simile. So per definizione che il periodo di un elemento $ in $ è per(g) = il più piccolo m positivo / $ (g)^(m) = 1_G $ (unità), ma in questo caso non riesco ad applicare la definizione.
Ho una soluzione di questo esercizio anche se non mi è chiaro:
G non è ciclico perchè MCD(2,4) = 2 $ != $ 1
|G| = 8 perchè contiene 8 elementi.
Nel caso dell'ordine d = 2 devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 2bar a $, $ 2bar b $) = ($ bar 0_ZZ_2 $, $ bar 0_ZZ_4 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 1} $ e $ bar b = {bar 0, bar 2} $
Quindi ci sono 4 elementi di ordine 2.
E' giusto questo ragionamento?
per l'ordine d = 3 basta dire che 3 non divide 8 = |G| e quindi non ci sono elementi di ordine 3.
b. G = G = $ ZZ_4 x ZZ_6 $ , ordine 2, ordine 12.
Nuovamente G non è ciclico perchè MCD(4,6) = 2 $ != $ 1.
|G| = 24
Ragionando in modo analogo al punto precedente:
ordine d = 2:
devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 2bar a $, $ 2bar b $) = ($ bar 0_ZZ_4 $, $ bar 0_ZZ_6 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 2} $ e $ bar b = {bar 0, bar 3} $
Ho quindi 4 elementi di ordine 2.
ordine 12:
devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 12bar a $, $ 12bar b $) = ($ bar 0_ZZ_4 $, $ bar 0_ZZ_6 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 1, bar 2, bar 3} $ e $ bar b = {bar 0, bar 1, bar 2, bar 3, bar 4, bar 5} $
Quanti elementi di ordine 12 ho? 10? Nella soluzione c'è scritto 24 ma non capisco come ci siano arrivati.
2) Calcolare il numero di collane costruibili con 10 pietre di cui 6 devono essere rosse e 4 blu (6R + 4B).
In questo esercizio devo considerare il gruppo diedrale $ D_10 $ = G. Quindi |G| = 20
Per calcolare il numero di configurazioni basta posizionare 4 pietre, quindi |X| = 10!/4!6! = 210
Vado a calcolarmi |fix(g)| (faccio una tabella)
g ---------|fix(g)|
id -------- 210
r ---------- 0 (perchè ho il vincolo delle 6R e 4B, cioè non posso avere le pietre di un unico colore)
$ r^2 $ --------- 0 (perchè se fisso 2 pietre 1R e 1B, al completamento del ciclo avrò fissato 5R e 5B)
$ r^3 $ --------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ r^4 $ -------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ r^5 $ --------- 10 (perchè se fisso i primi 5 elementi con 3R e 2B, al completamento del ciclo avrò fissato 6R e 4B, quindi il |fix($ r^5 $)| = 5!/3!2! = 10)
$ r^6 $ --------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ r^7 $ -------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ r^8 $ --------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ r^9 $ --------- 0 (perchè $ $ = $ $)
$ s^1 $ --------- 10*5 (simmetrie lato-lato) (ragionalmento analogo di $ $)
$ s^2 $ --------- 10*5 (simmetrie vertice-vertice). Perchè 10? Con quale ragionamento ci si è arrivati? Io mi blocco in un punto del ragionamento. Suppongo di fissare 2 vertici RR. Quindi mi rimangono da posizionare 4R. Per farlo ho 4 scelte. E poi? Come si va a vanti col ragionamento? Idem se fisso 2 vertici BB.
Quindi in totale avrò che n. orbite = (210 + 10 + 50 + 50)/20 = 16.
3) In ciascuno dei seguenti casi calcolare il numero totale degli omomorfismi con dominio G e codominio H e dire quanti di questi sono iniettivi e quanti sono suriettivi.
a. G = $ ZZ $, H = $ ZZ_5 x ZZ_6 $
b. G = $ ZZ $, H = $ ZZ_6 x ZZ_9 $
c. G = $ ZZ_10 $, H = $ ZZ_4 x ZZ_5 $
d. G = $ ZZ_15 $, H = $ ZZ_20 $
e. G = $ ZZ_10 $, H = $ (ZZ_11)^x $
f. G = $ ZZ_9 $, H = $ (ZZ_7)^x $
g. G = $ ZZ_2 $, H = $ S_n $ (gruppo delle permutazioni) con n >= 2
h. G = $ ZZ_6 $, H = $ S_8 $
i. G = $ ZZ_3 x ZZ_3 $, H = $ S_7 $
Non voglio che vengano risolti tutti e 9 gli esercizi (a,---,i), mi basta sapere la soluzione di qualcuno in modo tale da prenderlo come esempio per risolvere gli altri.
Di questo esercizio non so proprio da dove partire.
Potete darmi una mano gentilmente? Ho l'esame giovedi....
Grazie per l'attenzione!
Purtoppo non riesco a svolgere vari esercizi, non so proprio da dove iniziare... Vi propongo qualche esercizio:
1) Per ciascuno dei gruppi G seguenti calcolare il numero degli elementi di ordine d come specificato.
a. G = $ ZZ_2 x ZZ_4 $ , ordine 2, ordine 3.
Non mi è chiaro come trovare l'ordine di un elemento in un gruppo simile. So per definizione che il periodo di un elemento $
Ho una soluzione di questo esercizio anche se non mi è chiaro:
G non è ciclico perchè MCD(2,4) = 2 $ != $ 1
|G| = 8 perchè contiene 8 elementi.
Nel caso dell'ordine d = 2 devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 2bar a $, $ 2bar b $) = ($ bar 0_ZZ_2 $, $ bar 0_ZZ_4 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 1} $ e $ bar b = {bar 0, bar 2} $
Quindi ci sono 4 elementi di ordine 2.
E' giusto questo ragionamento?
per l'ordine d = 3 basta dire che 3 non divide 8 = |G| e quindi non ci sono elementi di ordine 3.
b. G = G = $ ZZ_4 x ZZ_6 $ , ordine 2, ordine 12.
Nuovamente G non è ciclico perchè MCD(4,6) = 2 $ != $ 1.
|G| = 24
Ragionando in modo analogo al punto precedente:
ordine d = 2:
devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 2bar a $, $ 2bar b $) = ($ bar 0_ZZ_4 $, $ bar 0_ZZ_6 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 2} $ e $ bar b = {bar 0, bar 3} $
Ho quindi 4 elementi di ordine 2.
ordine 12:
devo trovare le coppie ($ bar a $, $ bar b $) $ in $ G / ($ 12bar a $, $ 12bar b $) = ($ bar 0_ZZ_4 $, $ bar 0_ZZ_6 $) , cioè quando $ bar a = {bar 0, bar 1, bar 2, bar 3} $ e $ bar b = {bar 0, bar 1, bar 2, bar 3, bar 4, bar 5} $
Quanti elementi di ordine 12 ho? 10? Nella soluzione c'è scritto 24 ma non capisco come ci siano arrivati.
2) Calcolare il numero di collane costruibili con 10 pietre di cui 6 devono essere rosse e 4 blu (6R + 4B).
In questo esercizio devo considerare il gruppo diedrale $ D_10 $ = G. Quindi |G| = 20
Per calcolare il numero di configurazioni basta posizionare 4 pietre, quindi |X| = 10!/4!6! = 210
Vado a calcolarmi |fix(g)| (faccio una tabella)
g ---------|fix(g)|
id -------- 210
r ---------- 0 (perchè ho il vincolo delle 6R e 4B, cioè non posso avere le pietre di un unico colore)
$ r^2 $ --------- 0 (perchè se fisso 2 pietre 1R e 1B, al completamento del ciclo avrò fissato 5R e 5B)
$ r^3 $ --------- 0 (perchè $
$ r^4 $ -------- 0 (perchè $
$ r^5 $ --------- 10 (perchè se fisso i primi 5 elementi con 3R e 2B, al completamento del ciclo avrò fissato 6R e 4B, quindi il |fix($ r^5 $)| = 5!/3!2! = 10)
$ r^6 $ --------- 0 (perchè $
$ r^7 $ -------- 0 (perchè $
$ r^8 $ --------- 0 (perchè $
$ r^9 $ --------- 0 (perchè $
$ s^1 $ --------- 10*5 (simmetrie lato-lato) (ragionalmento analogo di $
$ s^2 $ --------- 10*5 (simmetrie vertice-vertice). Perchè 10? Con quale ragionamento ci si è arrivati? Io mi blocco in un punto del ragionamento. Suppongo di fissare 2 vertici RR. Quindi mi rimangono da posizionare 4R. Per farlo ho 4 scelte. E poi? Come si va a vanti col ragionamento? Idem se fisso 2 vertici BB.
Quindi in totale avrò che n. orbite = (210 + 10 + 50 + 50)/20 = 16.
3) In ciascuno dei seguenti casi calcolare il numero totale degli omomorfismi con dominio G e codominio H e dire quanti di questi sono iniettivi e quanti sono suriettivi.
a. G = $ ZZ $, H = $ ZZ_5 x ZZ_6 $
b. G = $ ZZ $, H = $ ZZ_6 x ZZ_9 $
c. G = $ ZZ_10 $, H = $ ZZ_4 x ZZ_5 $
d. G = $ ZZ_15 $, H = $ ZZ_20 $
e. G = $ ZZ_10 $, H = $ (ZZ_11)^x $
f. G = $ ZZ_9 $, H = $ (ZZ_7)^x $
g. G = $ ZZ_2 $, H = $ S_n $ (gruppo delle permutazioni) con n >= 2
h. G = $ ZZ_6 $, H = $ S_8 $
i. G = $ ZZ_3 x ZZ_3 $, H = $ S_7 $
Non voglio che vengano risolti tutti e 9 gli esercizi (a,---,i), mi basta sapere la soluzione di qualcuno in modo tale da prenderlo come esempio per risolvere gli altri.
Di questo esercizio non so proprio da dove partire.
Potete darmi una mano gentilmente? Ho l'esame giovedi....
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Ho capito l'errore nell'esercizio 1). Essendo delle coppie (di classi), non devo sommare gli elementi $ bar a $ e $ bar b $ ma moltiplicarli tra loro, quindi nel punto b. gli elementi di ordine 12 saranno 4 x 6 = 24.
Ho capito anche come calcolare l'ordine di questi elementi, basta fare il procedimento inverso e chiedersi qual è quel numero che moltiplicato per $ bar a $ e per $ bar b $ (che in questo caso avranno un valore) sia uguale a $ bar 0 $.
Ho capito anche come calcolare l'ordine di questi elementi, basta fare il procedimento inverso e chiedersi qual è quel numero che moltiplicato per $ bar a $ e per $ bar b $ (che in questo caso avranno un valore) sia uguale a $ bar 0 $.
Prima di risponderti al 2 faccio solo un commento...
Il numero di elementi fissati dipende dal tipo della permutazione. Una permutazione di [tex]S_{10}[/tex] con [tex]2[/tex] cicli da [tex]4[/tex] e due elementi fissati è di tipo [tex](1,1,4,4)[/tex] o equivalentemente [tex]1^24^2[/tex] (non so se esiste una notazione standard)
Ora [tex]D_{10}[/tex] ha:
un elemento di tipo [tex]1^{10}[/tex] (l'identità)
[tex]4[/tex] elementi di tipo [tex]10^1[/tex] ([tex]r^1,r^3,r^7, r^9[/tex])
[tex]6[/tex] elementi di tipo [tex]2^5[/tex] ([tex]r^5, sr^1, sr^3,sr^7,sr^9[/tex] cioé la rotazione di [tex]180°[/tex] oppure le riflessioni su un asse che passa tra due lati)
[tex]4[/tex] elementi di tipo [tex]5^2[/tex] ([tex]r^2,r^4,r^6, r^8[/tex])
[tex]5[/tex] elementi di tipo [tex]1^22^4[/tex] ([tex]sr^2,sr^4,sr^6, sr^8, s[/tex] cioè le riflessioni che passano per due vertici)
Si ha [tex][210 + 4\cdot 0 + 6\cdot (fix(r^5)) + 4\cdot 0 + 5\cdot (fix(s))]/20[/tex].
[tex]fix(r^5) = 10[/tex] per quello che hai detto tu. In generale perché dei 5 cicli di 2 3 sono associati ad un colore e 2 negli altri.
[tex]fix(s) = 10[/tex] perché i due cicli da 1 sono dello stesso colore in quanto il numeri di elementi di ogni colore è pari. Quindi tutto si riconduce al caso precedente.
Ricapitolando [tex][210 + 6\cdot 10 + 5\cdot 10]/20 = [210 + 60 + 50]/20 = 320/20 = 16[/tex]
In generale usare i tipi è più semplice quando al posto di [tex]D_n[/tex] hai un generico [tex]H < S_n[/tex] e quindi viene a mancare l'intuizione geometrica.
Il numero di elementi fissati dipende dal tipo della permutazione. Una permutazione di [tex]S_{10}[/tex] con [tex]2[/tex] cicli da [tex]4[/tex] e due elementi fissati è di tipo [tex](1,1,4,4)[/tex] o equivalentemente [tex]1^24^2[/tex] (non so se esiste una notazione standard)
Ora [tex]D_{10}[/tex] ha:
un elemento di tipo [tex]1^{10}[/tex] (l'identità)
[tex]4[/tex] elementi di tipo [tex]10^1[/tex] ([tex]r^1,r^3,r^7, r^9[/tex])
[tex]6[/tex] elementi di tipo [tex]2^5[/tex] ([tex]r^5, sr^1, sr^3,sr^7,sr^9[/tex] cioé la rotazione di [tex]180°[/tex] oppure le riflessioni su un asse che passa tra due lati)
[tex]4[/tex] elementi di tipo [tex]5^2[/tex] ([tex]r^2,r^4,r^6, r^8[/tex])
[tex]5[/tex] elementi di tipo [tex]1^22^4[/tex] ([tex]sr^2,sr^4,sr^6, sr^8, s[/tex] cioè le riflessioni che passano per due vertici)
Si ha [tex][210 + 4\cdot 0 + 6\cdot (fix(r^5)) + 4\cdot 0 + 5\cdot (fix(s))]/20[/tex].
[tex]fix(r^5) = 10[/tex] per quello che hai detto tu. In generale perché dei 5 cicli di 2 3 sono associati ad un colore e 2 negli altri.
[tex]fix(s) = 10[/tex] perché i due cicli da 1 sono dello stesso colore in quanto il numeri di elementi di ogni colore è pari. Quindi tutto si riconduce al caso precedente.
Ricapitolando [tex][210 + 6\cdot 10 + 5\cdot 10]/20 = [210 + 60 + 50]/20 = 320/20 = 16[/tex]
In generale usare i tipi è più semplice quando al posto di [tex]D_n[/tex] hai un generico [tex]H < S_n[/tex] e quindi viene a mancare l'intuizione geometrica.
Per quanto riguarda il 3 il principio è "ogni omomorfismo è completamente determinato dall'immagine del/dei generatore/i". Prova a mostrarci come useresti questo fatto per il primo...
Nell'esercizio 2 ancora non mi è chiaro il procedimento per trovare |fix(g)| nelle simmetrie vertice-vertice. Il professore ci aveva impostato quel ragionamento che ho scritto ma che non riesco a portare a termine...
Riguardo all'esercizio 3), ho provato a svolgere il punto a.
$\phi$:$ ZZ $ ------> $ ZZ_5xZZ_6 $
1 --------> $\phi$(1) = ($ bar n, bar m $)
a --------> $\phi$(a) = a($ bar n, bar m $) = ($ bar n, bar m $) + ($ bar n, bar m $) + ... + ($ bar n, bar m $) (a volte, a supposto positivo)
Ma considerando che $ AA bar n in ZZ_5$, $ 0 \leq n < 5 $ e che $ AA bar m in ZZ_6$, $ 0 \leq m < 6 $, risulta che posso avere in totale 5x6 = 30 omomorfismi.
Iniettività:
$\phi$ è iniettiva se e solo se ker$\phi$ = {$ bar 0 $}
calcolo Ker$\phi$:
Ker$\phi$ = { a $ in ZZ $ / $\phi$(a) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)} = { a $ in ZZ $ / a($ bar n, bar m $) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)} = { a $ in ZZ $ / ($ abar n, abar m $) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)}
Quindi:
1. $ bar (an) $ = $bar 0_ZZ_5 $
2. $ bar (am) $ = $bar 0_ZZ_6 $
1. Se n = 0, a $ in ZZ $
Se $ 1 \leq n < 5 $ ---> 5|an ---> 5|a $AA a in 5ZZ$
2. Se m = 0, a $ in ZZ $
Se $ 1 \leq n < 6 $ ---> 6|an ---> 6|a $AA a in 6ZZ$
Quindi $ EE a in 5ZZ nn 6ZZ $ / $ a in $ Ker$\phi$. Quindi Ker$\phi$ $!=$ {$bar 0$} ---> $\phi$ NON è iniettiva.
Suriettività:
$\phi$ è suriettiva se e solo se $\phi$(1) è un generatore di $ZZ_5xZZ_6$
$ZZ_5xZZ_6$ è ciclico perchè MCD(5,6) = 1, quindi è possibile che vi siano omomorfismi suriettivi.
Siano ($bar n, bar m$) i generatori di $ZZ_5xZZ_6$, allora le condizioni da verificare sono:
a$bar n$ = $bar 0_ZZ_5$, cioè 5|a$bar n$, cioè an $-=$ 0 mod5, cioè mcd(n,5) = 1
a$bar m$ = $bar 0_ZZ_6$, cioè 6|a$bar m$, cioè am $-=$ 0 mod6, cioè mcd(n,6) = 1
Queste condizioni sono verificate quando n = 1, 2, 3, 4 e m = 1, 5.
Quindi i generatori sono {$(bar 1, bar 1), (bar 2, bar 1), (bar 3, bar 1), (bar 4, bar 1), (bar 1, bar 2), (bar 2, bar 2), (bar 3, bar 2), (bar 4, bar 2)$}
E gli omomorfismi suriettivi saranno $\phi$(5)*$\phi$(6) = 4*2 = 8.
Il ragionamento per quest esercizio è corretto? Posso usarlo come facsimle anche per gli altri esercizi?
Riguardo all'esercizio 3), ho provato a svolgere il punto a.
$\phi$:$ ZZ $ ------> $ ZZ_5xZZ_6 $
1 --------> $\phi$(1) = ($ bar n, bar m $)
a --------> $\phi$(a) = a($ bar n, bar m $) = ($ bar n, bar m $) + ($ bar n, bar m $) + ... + ($ bar n, bar m $) (a volte, a supposto positivo)
Ma considerando che $ AA bar n in ZZ_5$, $ 0 \leq n < 5 $ e che $ AA bar m in ZZ_6$, $ 0 \leq m < 6 $, risulta che posso avere in totale 5x6 = 30 omomorfismi.
Iniettività:
$\phi$ è iniettiva se e solo se ker$\phi$ = {$ bar 0 $}
calcolo Ker$\phi$:
Ker$\phi$ = { a $ in ZZ $ / $\phi$(a) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)} = { a $ in ZZ $ / a($ bar n, bar m $) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)} = { a $ in ZZ $ / ($ abar n, abar m $) = ($bar 0_ZZ_5 $,$ bar 0_ZZ_6 $)}
Quindi:
1. $ bar (an) $ = $bar 0_ZZ_5 $
2. $ bar (am) $ = $bar 0_ZZ_6 $
1. Se n = 0, a $ in ZZ $
Se $ 1 \leq n < 5 $ ---> 5|an ---> 5|a $AA a in 5ZZ$
2. Se m = 0, a $ in ZZ $
Se $ 1 \leq n < 6 $ ---> 6|an ---> 6|a $AA a in 6ZZ$
Quindi $ EE a in 5ZZ nn 6ZZ $ / $ a in $ Ker$\phi$. Quindi Ker$\phi$ $!=$ {$bar 0$} ---> $\phi$ NON è iniettiva.
Suriettività:
$\phi$ è suriettiva se e solo se $\phi$(1) è un generatore di $ZZ_5xZZ_6$
$ZZ_5xZZ_6$ è ciclico perchè MCD(5,6) = 1, quindi è possibile che vi siano omomorfismi suriettivi.
Siano ($bar n, bar m$) i generatori di $ZZ_5xZZ_6$, allora le condizioni da verificare sono:
a$bar n$ = $bar 0_ZZ_5$, cioè 5|a$bar n$, cioè an $-=$ 0 mod5, cioè mcd(n,5) = 1
a$bar m$ = $bar 0_ZZ_6$, cioè 6|a$bar m$, cioè am $-=$ 0 mod6, cioè mcd(n,6) = 1
Queste condizioni sono verificate quando n = 1, 2, 3, 4 e m = 1, 5.
Quindi i generatori sono {$(bar 1, bar 1), (bar 2, bar 1), (bar 3, bar 1), (bar 4, bar 1), (bar 1, bar 2), (bar 2, bar 2), (bar 3, bar 2), (bar 4, bar 2)$}
E gli omomorfismi suriettivi saranno $\phi$(5)*$\phi$(6) = 4*2 = 8.
Il ragionamento per quest esercizio è corretto? Posso usarlo come facsimle anche per gli altri esercizi?
"andrychris89":
Nell'esercizio 2 ancora non mi è chiaro il procedimento per trovare |fix(g)| nelle simmetrie vertice-vertice. Il professore ci aveva impostato quel ragionamento che ho scritto ma che non riesco a portare a termine...
Come permutazione tu hai che [tex]s= (1)(6)(2\ 10)(3\ 9)(4\ 8)(7\ 5)[/tex]. Ora se [tex]s: n \mapsto m[/tex] allora il colore si [tex]n[/tex] è lo stesso di quello di [tex]m[/tex]. Quindi ogni trasposizione è associata ad un colore. Supponiamo quindi di aver scelto il colore dei 4 cicli allora è evidente che i due punti fissati devono avere lo stesso colore per la parità di 6 e 4. Geometricamente se tu scegli i colori dei primi 5 allora ne determini altri 4 e quindi il colore mancante è univocamente determinato.
"andrychris89":
Riguardo all'esercizio 3), ho provato a svolgere il punto a.
$\phi$:$ ZZ $ ------> $ ZZ_5xZZ_6 $
1 --------> $\phi$(1) = ($ bar n, bar m $)
a --------> $\phi$(a) = a($ bar n, bar m $) = ($ bar n, bar m $) + ($ bar n, bar m $) + ... + ($ bar n, bar m $) (a volte, a supposto positivo)
Ma considerando che $ AA bar n in ZZ_5$, $ 0 \leq n < 5 $ e che $ AA bar m in ZZ_6$, $ 0 \leq m < 6 $, risulta che posso avere in totale 5x6 = 30 omomorfismi.
Stai dando per scontato che siano tutti omomorfismi. In questo caso è vero nel senso che:
[tex]\mathbb{Z}\mapsto <\phi(1)> \cong \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] per qualche [tex]n[/tex].
Da [tex]\mathbb{Z}[/tex] è sempre vero (se hai fatto i gruppi liberi è ovvio dal fatto che [tex]\mathbb{Z}[/tex] è libero di rango 1). D'altra parte non è sempre così.
Prendiamo la funzione [tex]\phi: \mathbb{Z}_3\to \mathbb{Z}[/tex] che mappa [tex]\bar{1}\mapsto 1[/tex]. Essa non un omomorfismo in quanto [tex]\phi(\bar{3})=3 \ne 0=\phi(\bar(0))[/tex].
Devi usare prima il teorema fondamentale degli isomorfismi ([tex]D/H \cong S < C[/tex] dove [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] sono codominio e dominio). Quindi trovi i sottogruppi normali del dominio e i sottogruppi del codominio e vedi quali quozienti coincidono con sottogruppi del codominio. Per ogni corrispondenza quoziente-sottogruppo moltiplichi per il numeri di immagini dei generatori che permettono questo omomorfismo. L'osservazione fatta sopra per [tex]\mathbb{Z}[/tex] permette di velocizzare le cose per questo dominio e passare subito a iniettività e suriettività.
Iniettività: Sono il numero di omomorfismi che hanno [tex]S \cong D[/tex] ma siccome non esistono [tex]S[/tex] di questo tipo non ci sono omomorfismi iniettivi.
Suriettività: Una volta trovato che era ciclico bastava contare il numero di generatori di [tex]\mathbb{Z}_{30} \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_6[/tex], che come saprai nel caso ciclico è collegato alla funzione totiente.
Una osservazione veloce. Se [tex]D \cong D'[/tex] e [tex]C \cong C'[/tex] allora [tex]|Hom(D,C)|=|Hom(D',C)|=|Hom(D,C')|=|Hom(D',C')|[/tex]. In altre parole il numero di omomorfismi è invariante per isomorfismi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo