Esercizi su relazioni di equivalenza
Salve a tutti!
Allora vorrei porre alla vostra attenzione questo semplice esercizio...
"Considerare la relazione su R(reale) definita da:
$ xRy $ se e solo se $ xy>0 $
a) provare che non è una relazione di equivalenza
b) determinare un sottoinsieme di R su cui sia di equivalenza"
Ho iniziato a studiare da poco le relazioni di equivalenza..
Sò che una relazione si dice di equivalenza se è:
* riflessiva, cioè se per ogni elemento a di A: a ~ a;
* simmetrica, cioè se per ogni coppia (a,b) di elementi di A: a ~ b implica b ~ a;
* transitiva, cioè se per ogni terna (a,b,c) di elementi di A: a ~ b e b ~ c implicano a ~ c.
Ora come faccio ad effettuare le verifiche necessarie a verificare la relazione suscritta?
A occhio mi sembra che non sia riflessiva e che se escludiamo i valori in cui x e y sono una negativa ed una positiva in qualche modo
riesco a rendere vera la condizione. Ma in maniera più formale cosa si potrebbe dire??
Grazie in anticipo dell'aiuto!!
Allora vorrei porre alla vostra attenzione questo semplice esercizio...
"Considerare la relazione su R(reale) definita da:
$ xRy $ se e solo se $ xy>0 $
a) provare che non è una relazione di equivalenza
b) determinare un sottoinsieme di R su cui sia di equivalenza"
Ho iniziato a studiare da poco le relazioni di equivalenza..
Sò che una relazione si dice di equivalenza se è:
* riflessiva, cioè se per ogni elemento a di A: a ~ a;
* simmetrica, cioè se per ogni coppia (a,b) di elementi di A: a ~ b implica b ~ a;
* transitiva, cioè se per ogni terna (a,b,c) di elementi di A: a ~ b e b ~ c implicano a ~ c.
Ora come faccio ad effettuare le verifiche necessarie a verificare la relazione suscritta?
A occhio mi sembra che non sia riflessiva e che se escludiamo i valori in cui x e y sono una negativa ed una positiva in qualche modo
riesco a rendere vera la condizione. Ma in maniera più formale cosa si potrebbe dire??
Grazie in anticipo dell'aiuto!!
Risposte
Verifica:
Riflessività: [tex]xRx \Rightarrow x^2>0[/tex] quindi ok
Simmetria: [tex]xRy \Rightarrow yRx[/tex] direi ovvio, in quanto [tex]00[/tex]
Transitività: [tex]xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz[/tex] ma [tex]xy>0 \wedge yz>0 \Rightarrow (xy)(yz)>0 \Rightarrow xy^2z>0 \Rightarrow [\text{per riflessività}]\Rightarrow xz>0[/tex].
Cosa ne pensi?
Riflessività: [tex]xRx \Rightarrow x^2>0[/tex] quindi ok
Simmetria: [tex]xRy \Rightarrow yRx[/tex] direi ovvio, in quanto [tex]0
Transitività: [tex]xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz[/tex] ma [tex]xy>0 \wedge yz>0 \Rightarrow (xy)(yz)>0 \Rightarrow xy^2z>0 \Rightarrow [\text{per riflessività}]\Rightarrow xz>0[/tex].
Cosa ne pensi?
Beh, visto così è tutto più chiaro.. grazie mille!
Interessante, poiché si chiedeva di provare che NON è una relazione di equivalenza 
"Rggb":
Interessante, poiché si chiedeva di provare che NON è una relazione di equivalenza
Lo avevo notato, ma in ogni caso non ho trovato errori nel mio modo di pensare e dimostrare...
"Lord K":
Verifica:
Riflessività: [tex]xRx \Rightarrow x^2>0[/tex] quindi ok
Mica è sempre vero che per ogni [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] vale [tex]x^2>0[/tex]
Vero, ma la riflessività vale, data la definizione della relazione:
$xRx$ sse $x*x>0$ quindi $x>0$ quindi $x^2>0$ sempre.
(Oppure non ho capito la definizione).
$xRx$ sse $x*x>0$ quindi $x>0$ quindi $x^2>0$ sempre.
(Oppure non ho capito la definizione).
"cirasa":
[quote="Lord K"]Verifica:
Riflessività: [tex]xRx \Rightarrow x^2>0[/tex] quindi ok
Mica è sempre vero che per ogni [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] vale [tex]x^2>0[/tex]
[/quote]Beh in questo caso hai ragione, anche se un unico punto potrebbe contare poco
Per amore della chiarezza ci terrei a dare una risposta una volta per tutte al seguente quesito.
"Key4625":[tex]\mathbb{R}-\{0\}[/tex].
b) determinare un sottoinsieme di R su cui sia di equivalenza"
Ricapitoliamo un po' per Key4625:
La relazione in questione è definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex].
Qui non è una relazione di equivalenza perchè non è vero che tutti gli elementi sono in relazione con se stessi.
Per esempio [tex]0[/tex] (zero) non è in relazione con se stesso in quanto [tex]0\cdot 0=0[/tex] che non è [tex]>0[/tex].
Ma questo numero è l'unico "fastidioso", perchè per tutti gli altri numeri reali, seguendo la dimostrazione di Lord K, funziona.
Ora pensaci un po' e rispondi alla seconda domanda dell'esercizio:
...è praticamente tutto scritto.
Ciao!
P.S. Ah, ok, aveva già concluso Martino. Scusami per la sovrapposizione
La relazione in questione è definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex].
Qui non è una relazione di equivalenza perchè non è vero che tutti gli elementi sono in relazione con se stessi.
Per esempio [tex]0[/tex] (zero) non è in relazione con se stesso in quanto [tex]0\cdot 0=0[/tex] che non è [tex]>0[/tex].
Ma questo numero è l'unico "fastidioso", perchè per tutti gli altri numeri reali, seguendo la dimostrazione di Lord K, funziona.
Ora pensaci un po' e rispondi alla seconda domanda dell'esercizio:
"Key4625":
[...]
b) determinare un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] su cui sia di equivalenza"
[...]
...è praticamente tutto scritto.
Ciao!
P.S. Ah, ok, aveva già concluso Martino. Scusami per la sovrapposizione
Ora mi è più chiaro... Proverò a fare altri esercizi del genere, vi terrò aggiornati! XD Grazie della disponibilità!
Ve ne pongo un altro...
Stabilire se le seguenti relazioni su $ N\{0,1} $ sono relazioni di equivalenza:
a) $ xRy $ se e solo se x e y sono primi tra loro;
b) $ xRy $se e solo se per ogni primo p si ha che $ p|x $ <-> $ p|y $
a) Per quanto riguarda il primo caso, il mio ragionamento è stato questo:
Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1.
Quindi:
Proprietà riflessiva: $ xRx \Rightarrow M.C.D.(x,x) $ (ma il MCD di un numero e di se
stesso è sempre uno?)
Proprietà simmettrica: $ xRy \Rightarrow yRx $
direi di si in quanto M.C.D.(x,y) = M.C.D.(y,x)
Proprietà transitiva: $ xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz $ direi di sì in quanto proprietà del MCD
A me in conclusione, ammessa l'ipotesi fatta per la proprietà riflessiva, sembra che questa sia una relazione di equivalenza...
b) Ci stò ancora pensando.... se tiro fuori qualcosa scrivo...
Stabilire se le seguenti relazioni su $ N\{0,1} $ sono relazioni di equivalenza:
a) $ xRy $ se e solo se x e y sono primi tra loro;
b) $ xRy $se e solo se per ogni primo p si ha che $ p|x $ <-> $ p|y $
a) Per quanto riguarda il primo caso, il mio ragionamento è stato questo:
Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1.
Quindi:
Proprietà riflessiva: $ xRx \Rightarrow M.C.D.(x,x) $ (ma il MCD di un numero e di se
stesso è sempre uno?)
Proprietà simmettrica: $ xRy \Rightarrow yRx $
direi di si in quanto M.C.D.(x,y) = M.C.D.(y,x)
Proprietà transitiva: $ xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz $ direi di sì in quanto proprietà del MCD
A me in conclusione, ammessa l'ipotesi fatta per la proprietà riflessiva, sembra che questa sia una relazione di equivalenza...
b) Ci stò ancora pensando.... se tiro fuori qualcosa scrivo...
"Key4625":
a) Per quanto riguarda il primo caso, il mio ragionamento è stato questo:
Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1.
Quindi:
Proprietà riflessiva: $ xRx \Rightarrow M.C.D.(x,x) $ (ma il MCD di un numero e di se
stesso è sempre uno?)
No! Invece [tex]mcd(x,x) = x[/tex] visto che è il numero più grande che divide entrambi!
Il tutto si poteva vedere subito anche dal fatto che un numero non è primo con se stesso. Quindi non è una relazione di equivalenza!
Propongo un ulteriore esercizio:
Dopo aver dimostrato che la relazione b) è di equivalenza, determinare le sue classi di equivalenza e il suo insieme quoziente. Inoltre dimostrare che tale insieme quoziente è numerabile.
Dopo aver dimostrato che la relazione b) è di equivalenza, determinare le sue classi di equivalenza e il suo insieme quoziente. Inoltre dimostrare che tale insieme quoziente è numerabile.
"Lord K":
Transitività: [tex]xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz[/tex] ma [tex]xy>0 \wedge yz>0 \Rightarrow (xy)(yz)>0 \Rightarrow xy^2z>0 \Rightarrow [\text{per riflessività}]\Rightarrow xz>0[/tex].
scusatemi ma non riesco a capire la dimostrazione di transitività quando dici [per riflessività] cosa intendi?
Magari sarà noiosa ma la dimostrazione della transitività io la imposterei così.
Per ogni $x,y \in RR - {0}$ se $xy>0$ abbiamo che $x$ e $y$ sono entrambi positivi ovvero entrambi negativi.
Quindi se $x$ e $y$ sono positivi deve esserlo anche $z$ poiché $yz>0$, e quindi $xz>0$. Specularmente se $x$ e $y$ sono negativi deve esserlo anche $z$, sempre perché $yz>0$, e di nuovo $xz>0$$ z$.
Per riflessività non so cosa intendesse in effetti.
Per ogni $x,y \in RR - {0}$ se $xy>0$ abbiamo che $x$ e $y$ sono entrambi positivi ovvero entrambi negativi.
Quindi se $x$ e $y$ sono positivi deve esserlo anche $z$ poiché $yz>0$, e quindi $xz>0$. Specularmente se $x$ e $y$ sono negativi deve esserlo anche $z$, sempre perché $yz>0$, e di nuovo $xz>0$$ z$.
Per riflessività non so cosa intendesse in effetti.
io sinceramente ho capito i passaggi che ha fatto Lord K eccetto quello dove ha scritto per riflessività, o meglio come riesce ad eliminare $y^2$
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