Esercizi su ideali e teorema cinese
Buon pomeriggio e buon anno a tutti voi! 
Ho svolto alcuni esercizi di algebra riguardo agli ideali e al teorema cinese dei resti.
Non avendo le soluzioni, vi chiedo se sono stati svolti correttamente.
Es. 1: Calcolare $ 2^56743 mod 20 $
Sol: Ho usato il teorema cinese dei resti nel seguente modo: $ 20 = 4*5 $ quindi $ 2^56743 mod 4 = 0 $ e $ 2^56743 mod 5 = 3 $
Quindi il risultato è 8.
Es. 2: Sia $ A=Z[X] $ l'anello dei polinomi su Z. Stabilire se l'ideale I generato dal polinomio $ X^2+2X+2 $ è massimale.
Sol: Il polinomio è scomponibile in $ (X+1)(X+1)+1 $ quindi non è irriducibile, pertanto non è massimale.
Es. 3: Sia $ P(X)=X^3+2X+1 $ a coefficienti nel campo Z3. Provare che P(X) è irriducibile. Inoltre provare che $ K=(Z3[X])/((P(X))) $ è un campo, estensione algebrica di Z3, generata da un elemento, e trovare un generatore.
Sol: per questo esercizio non so da dove iniziare
Grazie!
Ho svolto alcuni esercizi di algebra riguardo agli ideali e al teorema cinese dei resti.
Non avendo le soluzioni, vi chiedo se sono stati svolti correttamente.
Es. 1: Calcolare $ 2^56743 mod 20 $
Sol: Ho usato il teorema cinese dei resti nel seguente modo: $ 20 = 4*5 $ quindi $ 2^56743 mod 4 = 0 $ e $ 2^56743 mod 5 = 3 $
Quindi il risultato è 8.
Es. 2: Sia $ A=Z[X] $ l'anello dei polinomi su Z. Stabilire se l'ideale I generato dal polinomio $ X^2+2X+2 $ è massimale.
Sol: Il polinomio è scomponibile in $ (X+1)(X+1)+1 $ quindi non è irriducibile, pertanto non è massimale.
Es. 3: Sia $ P(X)=X^3+2X+1 $ a coefficienti nel campo Z3. Provare che P(X) è irriducibile. Inoltre provare che $ K=(Z3[X])/((P(X))) $ è un campo, estensione algebrica di Z3, generata da un elemento, e trovare un generatore.
Sol: per questo esercizio non so da dove iniziare
Grazie!
Risposte
Il primo è sbagliato il risultato è 8.
Suggerisco di dividere prima per 4, quindi studiare la congruenza $2^{56741} mod 5$ e poi di usare il piccolo teorema di Fermat ($56741=4k+1$).
3) Basta sostituire $x=0,1,2$ e verificare che $p(x) != 0$ per ognuno di essi, fatto ciò ci dovrebbe essere una proposizione che dice se $K$ è un campo e $p(x)$ è irriducibile allora $K[x]_{/(p(x))}$ è un campo (mi pare non sono sicuro).
Suggerisco di dividere prima per 4, quindi studiare la congruenza $2^{56741} mod 5$ e poi di usare il piccolo teorema di Fermat ($56741=4k+1$).
3) Basta sostituire $x=0,1,2$ e verificare che $p(x) != 0$ per ognuno di essi, fatto ciò ci dovrebbe essere una proposizione che dice se $K$ è un campo e $p(x)$ è irriducibile allora $K[x]_{/(p(x))}$ è un campo (mi pare non sono sicuro).
"dan95":
Il primo è sbagliato il risultato è 8.
Suggerisco di dividere prima per 4, quindi studiare la congruenza $2^{56741} mod 5$ e poi di usare il piccolo teorema di Fermat ($56741=4k+1$).
3) Basta sostituire $x=0,1,2$ e verificare che $p(x) != 0$ per ognuno di essi, fatto ciò ci dovrebbe essere una proposizione che dice se $K$ è un campo e $p(x)$ è irriducibile allora $K[x]_{/(p(x))}$ è un campo (mi pare non sono sicuro).
Ciao, grazie per avermi risposto.
Ho corretto il primo esercizio, il procedimento è quello che hai indicato tu, solo che avevo sbagliato a fare l'ultimo passaggio.
Per il 3) controllo sul libro, grazie.
Carlo.
Il secondo esercizio mi sembra sbagliato. Non hai scomposto il polinomio in fattori irriducibili, ma lo hai solo riscritto in un'altra maniera. Quel polinomio è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ perché è primitivo e per il criterio di Eisenstein esiste un primo $p=2$ che divide i coefficienti del polinomio tranne il coefficiente direttivo, e il quadrato $p^2=4$ non divide il termine noto.
Allora, siccome il polinomio è irriducibile, l'ideale che genera è primo (perché $\mathbb{Z}[x]$ è UFD) ma non è detto che sia massimale (perché $\mathbb{Z}[x]$ non è PID).
Direi che l'ideale $I=(x^2+2x+2)$ non è massimale perché esiste l'ideale $J=(x^2,x+1)\ne\mathbb{Z}[x]$ tale che $I\subset J$. Spero di aver detto una cosa sensata
.
Per quanto riguarda il 3. come ha detto dan95 quel polinomio è irriducibile perché è di terzo grado e non ha radici in $\mathbb{Z}_3$. Allora siccome $\mathbb{Z}_3[x]$ è un PID (tutti gli anelli dei polinomio K[x] con K campo sono euclidei e quindi PID), si può dire che $P(x)$ genera un ideale massimale. Quindi il quoziente $\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{P(x)}$ è un campo.
Per generatore si intende generatore dell'estensione algebrica di $\mathbb{Z}_3$?
EDIT: Ho sbagliato nell'esercizio 2. L'ideale da considerare è $J=(2,x)\ne\mathbb{Z}[x]$ che contiene $I$, perché quello che ho considerato prima è effettivamente tutto l'anello
Allora, siccome il polinomio è irriducibile, l'ideale che genera è primo (perché $\mathbb{Z}[x]$ è UFD) ma non è detto che sia massimale (perché $\mathbb{Z}[x]$ non è PID).
Direi che l'ideale $I=(x^2+2x+2)$ non è massimale perché esiste l'ideale $J=(x^2,x+1)\ne\mathbb{Z}[x]$ tale che $I\subset J$. Spero di aver detto una cosa sensata
.Per quanto riguarda il 3. come ha detto dan95 quel polinomio è irriducibile perché è di terzo grado e non ha radici in $\mathbb{Z}_3$. Allora siccome $\mathbb{Z}_3[x]$ è un PID (tutti gli anelli dei polinomio K[x] con K campo sono euclidei e quindi PID), si può dire che $P(x)$ genera un ideale massimale. Quindi il quoziente $\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{P(x)}$ è un campo.
Per generatore si intende generatore dell'estensione algebrica di $\mathbb{Z}_3$?
EDIT: Ho sbagliato nell'esercizio 2. L'ideale da considerare è $J=(2,x)\ne\mathbb{Z}[x]$ che contiene $I$, perché quello che ho considerato prima è effettivamente tutto l'anello
Credo proprio di sì, infatti $ZZ_{3}[x]_{/(x^3+2x+1)} \cong ZZ_{3}[\alpha]$ è un estensione di grado 3 e $\alpha$ una radice di $p(x)$, ogni elemento di $ZZ[\alpha]$ è scritto in modo unico come combinazione lineare di ${1,\alpha,\alpha^2}$ (cioè di potenze di $\alpha$), ossia $\forall \xi in ZZ_{3}[\alpha] \exists ! a_1,a_2, a_3 \in ZZ_{3} |\xi=a_1+a_2\alpha+a_3\alpha^2$.
Vi ringrazio molto per l'aiuto!
Quindi il generatore da trovare nell'esercizio 3 è un qualsiasi valore $ epsilon $ ?
Oggi mi riguardo meglio la teoria su questa parte
Quindi il generatore da trovare nell'esercizio 3 è un qualsiasi valore $ epsilon $ ?
Oggi mi riguardo meglio la teoria su questa parte
No è una radice del polinomio, proprio perché sommando e moltiplicando potenze di quest'ultima si possono generare tutti gli elementi dell'estensione.
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