Esercizi su Gruppi e Anelli

a) Per $S_5$ i tipi di permutazione in generale (se non ho capito male) dovrebbero essere: $1^(k_1) , 2^(k_2) . . .n^(k_n)$ .
la soluzione suggerisce per esempio che per (3 5) il periodo è $2$ (Perché corrisponde al numero di elementi, giusto?) e il tipo invece è $[1^3 2^1]$ ma non riesco a capire il perché. Non riesco a collegare i risultati con la definizione di tipo che ho nelle dispense. Come faccio a determinare il tipo della permutazione??
b) Non mi è chiara la definizione di elementi del laterale destro e sinistro. Destro e sinistro rispetto a cosa?? E soprattutto..come vanno calcolati?
Non riesco a capire quali elementi del Gruppo e quali del Sottogruppo vanno moltiplicati e con quale criterio.

a) Applico la definizione di Anello e dico che per ogni $h, k$ si ha:
$(k,[k]) - (h, [h]) = (k-h, [k-h]$ che appartiene a $D$ (da soluzione)
$(k,[k]) * (h, [h]) = (k*h, [k*h]$ che appartiene a $D$
L'identità è $(1, [1])$ che appartiene a $D$ quindi l'anello è dotato di identità.
quindi mi chiedo (domanda sicuramente stupida)... da cosa lo deduco che appartengono a $D$ ? Ho solamente applicato la definizione, la verifica dove sta?
b) (Da soluzione) Vi sono due elementi che moltiplicati per $(3,[3]$ danno risultato nullo: $(0,[2])$ e $(0,[4])$
Infatti $(3, [3])·(x, [y]) = (0, [0])$ se e solo se $3x = 0$ in $Z$, ossia $x = 0$,e $[3y] = [0]$ in $Z_6$ ossia se $[y]$ è uno delle classi $[0], [2], [4]$.
Mi soffermo su questa parte: $[3y] = [0]$ in $Z_6$ ossia se $[y]$ è uno delle classi $[0], [2], [4]$.
Perché $[y]$ è uno delle classi $[0], [2], [4]$ ?? Scrivendo $[2]$ per esempio, non vado a cercare gli $x$ appartenenti a $Z_6 | x : 6$ ha resto $2$?? La mia $[y]$ come diventa 0?
c) Confusione generale, non riesco a trovare una soluzione.
Risposte
Ciao, anch'io sto studiando questi argomenti e ti posso aiutare con alcune delle cose che ho capito io!
Per determinare il tipo di una permutazione devi scomporre quest'ultima in cicli disgiunti. Una volta fatto vedi quanti elementi ha ogni permutazione. Mi spiego meglio: se hai una permutazione che si scompone in un ciclo da 3 elementi e in uno da due sarà del tipo [3, 1]. Se erano due cicli da 3 elementi e uno da due: $[3^2 1] $ Non so se mi sono spiegato bene
Nel tuo caso $ sigma = (3 5) $ quindi hai un ciclo composto da due elementi e altri 3 cicli del tipo $ (1 1), (2 2), (4 4) $ ovvero che mandano l'elemento in se stesso, e questi sono proprio del tipo $ 1 $ Quindi: un ciclo da due e tre da 1 = $[2^1 1^3]$
Per calcolare il periodo puoi scomporre la permutazione in cicli disgiunti e calcolare il minimo comune multiplo tra il numero degli elementi in ciascun ciclo. Nel tuo caso, $ tau = (1 4 5 2 3) $ quindi il periodo è $ 5$, e consiste nel numero $n$ più piccolo tale che $tau^n = Id $.
Per quanto riguarda i laterali, detto in parole povere, consiste nel comporre un ogni permutazione di $S_4$ con ciascun elemento di $H$, e poiché $|H| = 5$ allora $|sigmaH| = |Hsigma| = 5 $
Gli anelli li sto studiando proprio ora e non vorrei darti informazioni sbagliate..
PS. Per caso frequenti informatica a Torino? Mi sembrano esercizi già visti
Per determinare il tipo di una permutazione devi scomporre quest'ultima in cicli disgiunti. Una volta fatto vedi quanti elementi ha ogni permutazione. Mi spiego meglio: se hai una permutazione che si scompone in un ciclo da 3 elementi e in uno da due sarà del tipo [3, 1]. Se erano due cicli da 3 elementi e uno da due: $[3^2 1] $ Non so se mi sono spiegato bene

Nel tuo caso $ sigma = (3 5) $ quindi hai un ciclo composto da due elementi e altri 3 cicli del tipo $ (1 1), (2 2), (4 4) $ ovvero che mandano l'elemento in se stesso, e questi sono proprio del tipo $ 1 $ Quindi: un ciclo da due e tre da 1 = $[2^1 1^3]$
Per calcolare il periodo puoi scomporre la permutazione in cicli disgiunti e calcolare il minimo comune multiplo tra il numero degli elementi in ciascun ciclo. Nel tuo caso, $ tau = (1 4 5 2 3) $ quindi il periodo è $ 5$, e consiste nel numero $n$ più piccolo tale che $tau^n = Id $.
Per quanto riguarda i laterali, detto in parole povere, consiste nel comporre un ogni permutazione di $S_4$ con ciascun elemento di $H$, e poiché $|H| = 5$ allora $|sigmaH| = |Hsigma| = 5 $
Gli anelli li sto studiando proprio ora e non vorrei darti informazioni sbagliate..
PS. Per caso frequenti informatica a Torino? Mi sembrano esercizi già visti

Emm.. continuo a non capire


"AnthonyIta":
Per quanto riguarda i laterali, detto in parole povere, consiste nel comporre in ogni permutazione di $S_4$ con ciascun elemento di $H$, e poiché $|H| = 5$ allora $|sigmaH| = |Hsigma| = 5 $



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