Esercizi su anelli di polinomi

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. mi chiedevo se qualcuno poteva aiutarmi con questi esercizi:

1] Sia $R$ un anello commutativo con unità e siano $I$,$J$ $subset R$ due ideali coprimi, cioè $I+J=R$.
Dimostra che per ogni $m>=1$ si ha $I^m+J^m=R$.

Io ho pensato di farlo per induzione su $m$. Per $m=1$ si ha banalmente la tesi poichè $I$ e $J$ sono coprimi per hp. Quindi per ipotesi induttiva so che $I^t+J^t=R$ per ogni $t
2]Determina gli elementi idempotenti di $Z_100$ cioè tali che $a^2=a$ per $a in Z$. Siccome è un anello abbastanza piccolo li ho calcolati a mano e mi risulta che gli elementi idempotenti di $Z_100$ sono $[0],[1],[25] $ e $[76]$ (considerati come classi).
Mi chiedevo se c'è un modo generale per calcolare questi elementi senza stare a fare i conti.

3]Un elemento $x in R$ ($R$ anello commutativo con unità) si dice nilpotente se $x^n=0$ per qualche $n $ naturale.
Caratterizza i numeri $n>=1$ per cui l'unico elemento nilpotente di $Z_n$è $[0]$.
Qui farlo a mano non si può.. mi sapete indicare un metodo per svolgerlo??

Grazie mille

[mistake89]

2) Credo basti risolvere la congruenza $x^2 \equiv x mod 100$.

3) Se $x=0$ è banale, allora supponi che $x \ne 0$, dire che $x^n=0$ e ciò implica che $x$ è divisore dello zero. Quindi se $Z_n$ è un campo, ovvero se $n$ è un primo...

EDIT: sistemata imprecisione. Grazie Martino.

[Martino]

"mistake89":dire che $x^n=0$ vuol dire che $x$ è divisore dello zero.

Se con "vuol dire che" intendi "è equivalente a" allora è falso. Essere nilpotenti è diverso da essere divisori dello zero. Per esempio in [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] l'elemento [tex]3[/tex] è un divisore dello zero ma non è nilpotente.

[mistake89]

Hai ragione, forse non son stato chiaro. Se $x$ è nilpotente allora è divisore dello zero, che poi era quello che serviva nel suo caso.
Perdona l'imprecisione.

[studentessa CdLmate]

Quindi concludo così: poichè essere nilpotenti implica essere divisori dello zero allora l'anello $Z_n$ ha $0$ come unico elemento nilpotente se$Z_n$ non ha divisori dello zero. Giusto??

per l'esercizio 1 nessun consiglio?

Grazie mille ad entrambi comunque !!

[Martino]

"studentessa CdLmate":Quindi concludo così: poichè essere nilpotenti implica essere divisori dello zero allora l'anello $Z_n$ ha $0$ come unico elemento nilpotente se$Z_n$ non ha divisori dello zero. Giusto??

Certo, ma non hai concluso: devi trovare tutti gli [tex]n[/tex] per cui "[tex]\mathbb{Z}_n[/tex] non ha elementi nilpotenti non nulli" (*). Tu stai solo dicendo che se [tex]n[/tex] è primo allora (*) vale. Ma ci sono anche [tex]n[/tex] non primi per cui (*) vale, per esempio [tex]n=6[/tex].

[studentessa CdLmate]

Per gli $n$ non primi invece $ZZ_n$ soddisfa le richieste dell'esercizio se $ n $ non divide $x^m $ per ogni $x in ZZ_n$ e per ogni $m in NN$.
Infatti deve accadere che $x^m!=0(modn)$ cioè $x^m!=kn$ per qualche $k in ZZ$.
Ma allora se $x^m!=kn$ allora $n/(x^m) !in ZZ $ e cioè $n$ NON DIVIDE $x^m$.
Giusto??

[Martino]

Certo, ma quella che hai scritto è solo una riformulazione, l'esercizio ti chiede di caratterizzare quegli [tex]n[/tex].
Pensaci un po'.

[studentessa CdLmate]

escludo gli $n$ che sono potenze di qualche $x in ZZ $. E sono solamente questi de escludere perchè se $n$ divide $x^m$ per qualche $m in ZZ $ e $ x

Cita

Segnala

[mistake89]

Io mi concentrerei sulla fattorizzazione -almeno questa è l'idea che è venuta a me-

Considera che se $x$ è nilpotente in $ZZ_n$ ove $n=p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n)$ allora nella fattorizzazione di $x$ devono per forza comparire $p_1,...,p_n$.

[Martino]

"studentessa CdLmate":Io ho pensato di farlo per induzione su $m$. Per $m=1$ si ha banalmente la tesi poichè $I$ e $J$ sono coprimi per hp. Quindi per ipotesi induttiva so che $I^t+J^t=R$ per ogni $tTi dò un'idea: per ipotesi esistono [tex]a \in I^{m-1}[/tex], [tex]b \in J^{m-1}[/tex] tali che [tex]a+b=1[/tex].
Prova a considerare un'opportuna potenza di [tex]a+b[/tex].

[studentessa CdLmate]

l'esercizio 3] credo di averlo capito (forse ) allora se $n$ è primo $ZZ_n$ è come lo volevamo perchè $ZZ_n$ è un campo e non contiene divisore dello zero.. quindi nessun elemento tranne lo $0$ è nilpotente. Se $n$ non è primo considero $n=p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n)$. Affinchè $x in ZZ_n$ sia nilpotente $x^beta/(p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n))$ deve stare in $ZZ$ per qualche $beta in NN$ quindi come ha scritto @mistake89,nella fattorizzazione di $x$ devono comparire $p_1,...,p_n$. Quindi gli $n$ che cerchiamo sono quelli con esponenti $alpha_i=1$ per $i=1,..,n$ poichè se $alpha_i >1$ per qualche $i$ allora esiste$ x in ZZ_n$ nilpotente ($x=p_1*...*p_n$). Giusto??

Per l'esercizio 1] non riesco a vedere una soluzione.. cioè se considero $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ so che $a^2 in I^(m-1)$ , $b^2 in J^(m-1)$ e $2ab in I^(m-1)J^(m-1)$.. e non posso dire che sta in $II^(m-1)+JJ^(m-1)$.. o no??

Ho provato a considerare anche $c+d=1 in I+J$ e quindi $(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd=1$ però ho lo stesso problema.. non sta in $II^(m-1)+JJ^(m-1)$.

Perdonate la mia testardaggine

[Martino]

"studentessa CdLmate":$n=p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n)$. Affinchè $x in ZZ_n$ sia nilpotente $x^beta/(p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n))$ deve stare in $ZZ$ per qualche $beta in NN$ quindi come ha scritto @mistake89,nella fattorizzazione di $x$ devono comparire $p_1,...,p_n$. Quindi gli $n$ che cerchiamo sono quelli con esponenti $alpha_i=1$ per $i=1,..,n$ poichè se $alpha_i >1$ per qualche $i$ allora esiste$ x in ZZ_n$ nilpotente ($x=p_1*...*p_n$). Giusto??

Sì, in altre parole sono gli [tex]n[/tex] non divisi da quadrati (in inglese si chiamano i numeri "square-free").

Per l'esercizio 1] non riesco a vedere una soluzione.. cioè se considero $(a+b)^2$ [...]

Prova a considerare [tex](a+b)^3[/tex].

[studentessa CdLmate]

Sia $a+b=1 in I^(m-1)+J^(m-1)$.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ questa potenza sta in $II^(m-1)+JJ^(m-1) $ poichè per hp

$I+J=R=I^(m-1)+J^(m-1)$ e allora $I+J=I^(m-1)+J^(m-1)$

quindi $a+b in I+J$ ed in particolare $a in I$ e $b in J$.

$a^2*a in II^(m-1)$ ,

$b^2*b in JJ^(m-1)$ e $3a^2b in II^(m-1) $ poichè $b in J^(m-1) subset R$ e $a^2 in II^(m-1)$.

Lo stesso per $3ab^2$ che appartiene a $JJ^(m-1)$.

é giusto?? =)

Buone feste

[Martino]

Giusto.

[studentessa CdLmate]

Grazie mille :)