Esercizi sottogruppi
Ciao a tutti e buon anno. Sto provando a risolvere degli esercizi su gruppi e sottogruppi e ho incontrato delle difficoltà, spero voi possiate aiutarmi!
L'esercizio è il seguente:
Nel gruppo S4 delle permutazioni su 4 elementi si consideri il
sottoinsieme H = {id,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)}.
1. Verificare che H è un sottogruppo di S4.
2. Quanti sono i laterali destri di H in S4?
3. Elencare i laterali destri di H in S4.
Allora, ho provato a risolverlo ma non sono sicuro sia corretto!
Per il primo punto ho applicato il criterio per i sottogruppi $ ab^-1 ∈ H $ e concludo che si tratta di un sottogruppo.
Per il punto due mi rifaccio alla teoria dove dice: $ |Hg| = |H| $ quindi, dato che $ |H| = 4! = 24 $, $ |Hg|= 24 $ ?
Nel terzo punto non so come procedere. Mi spiego, conosco la definizione di laterale ma non so come applicarla..
C'è un altro esercizio che ho svolto ma vorrei avere una conferma sui risultati:
Nel gruppo prodotto R × R (dove quindi l’operazione è la somma componente per componente) dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi e quali no.
$ A = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x} $ E' un sottogruppo.
$ B = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} $ Non è un sottogruppo perché l'operazione non è interna
$ C = {(x, y) ∈ R × R | y = x + 1} $ Non è un sottogruppo perchè l'operazione non è interna.
Grazie in anticipo!
L'esercizio è il seguente:
Nel gruppo S4 delle permutazioni su 4 elementi si consideri il
sottoinsieme H = {id,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)}.
1. Verificare che H è un sottogruppo di S4.
2. Quanti sono i laterali destri di H in S4?
3. Elencare i laterali destri di H in S4.
Allora, ho provato a risolverlo ma non sono sicuro sia corretto!
Per il primo punto ho applicato il criterio per i sottogruppi $ ab^-1 ∈ H $ e concludo che si tratta di un sottogruppo.
Per il punto due mi rifaccio alla teoria dove dice: $ |Hg| = |H| $ quindi, dato che $ |H| = 4! = 24 $, $ |Hg|= 24 $ ?
Nel terzo punto non so come procedere. Mi spiego, conosco la definizione di laterale ma non so come applicarla..
C'è un altro esercizio che ho svolto ma vorrei avere una conferma sui risultati:
Nel gruppo prodotto R × R (dove quindi l’operazione è la somma componente per componente) dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi e quali no.
$ A = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x} $ E' un sottogruppo.
$ B = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} $ Non è un sottogruppo perché l'operazione non è interna
$ C = {(x, y) ∈ R × R | y = x + 1} $ Non è un sottogruppo perchè l'operazione non è interna.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, buon anno anche a te.
$H$ ha cardinalità $4$, non $24$.
Il punto $2$ ti chiede quanti sono i laterali di $H$, non che cardinalità hanno. Il numero dei laterali di $H$ è uguale alla cardinalità dell'insieme quoziente $G//H$, che, per conseguenza del teorema di Lagrange, ha cardinalità $|G//H| = |G|/|H| = 6$. Quindi i laterali destri di $H$ sono $6$.
Per il punto $3$ tocca fare i conti, cioè calcolare a mano i laterali $Hg$ al variare di $g \in G$, cioè in questo caso prendi una permutazione di $S_4$ e la componi a destra con ogni permutazione di $H$, l'insieme che ne viene fuori sarà un laterale destro.
Non ho ben capito cosa significa $x2$, potresti spiegarti meglio?
Il resto è corretto.
$H$ ha cardinalità $4$, non $24$.
Il punto $2$ ti chiede quanti sono i laterali di $H$, non che cardinalità hanno. Il numero dei laterali di $H$ è uguale alla cardinalità dell'insieme quoziente $G//H$, che, per conseguenza del teorema di Lagrange, ha cardinalità $|G//H| = |G|/|H| = 6$. Quindi i laterali destri di $H$ sono $6$.
Per il punto $3$ tocca fare i conti, cioè calcolare a mano i laterali $Hg$ al variare di $g \in G$, cioè in questo caso prendi una permutazione di $S_4$ e la componi a destra con ogni permutazione di $H$, l'insieme che ne viene fuori sarà un laterale destro.
$ B = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} $ Non è un sottogruppo perché l'operazione non è interna
Non ho ben capito cosa significa $x2$, potresti spiegarti meglio?
Il resto è corretto.
Grazie di aver risposto!
Uh, mi sono confuso con la cardinalità di S4. La stessa cosa vale per i laterali sinistri $ gH = 6 $ ?
Quindi prendo una qualsiasi permutazione di S4 come $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) $ e la compongo con ciascun elemento di $ H $ ?
Quindi avrei:
$ Id@ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) $
$ (1 2) @( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) )= ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 2 , 4 , 1 ) ) $
$ (3 4)@ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 4 , 1 , 3 , 2 ) ) $
$ (1 2)(3 4)@( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 4 , 2 , 3 , 1 ) ) $
Quindi $ Hg $ è composto dalle permutazioni sopra ricavate?
Ma così ad ogni variare di $ g $ avrò nuovi laterali diversi da quelli di prima? Come fanno ad essere solo 6?
Scusami, ho sbagliato a scrivere $ B={(x,y)∈R×R∣y=x^2} $
Uh, mi sono confuso con la cardinalità di S4. La stessa cosa vale per i laterali sinistri $ gH = 6 $ ?
Per il punto 3 tocca fare i conti, cioè calcolare a mano i laterali Hg al variare di g∈G, cioè in questo caso prendi una permutazione di S4 e la componi a destra con ogni permutazione di H, l'insieme che ne viene fuori sarà un laterale destro.
Quindi prendo una qualsiasi permutazione di S4 come $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) $ e la compongo con ciascun elemento di $ H $ ?
Quindi avrei:
$ Id@ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) $
$ (1 2) @( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) )= ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 2 , 4 , 1 ) ) $
$ (3 4)@ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 4 , 1 , 3 , 2 ) ) $
$ (1 2)(3 4)@( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 4 , 2 , 3 , 1 ) ) $
Quindi $ Hg $ è composto dalle permutazioni sopra ricavate?
Ma così ad ogni variare di $ g $ avrò nuovi laterali diversi da quelli di prima? Come fanno ad essere solo 6?
Non ho ben capito cosa significa x2, potresti spiegarti meglio?
Scusami, ho sbagliato a scrivere $ B={(x,y)∈R×R∣y=x^2} $
"AnthonyIta":
Uh, mi sono confuso con la cardinalità di S4. La stessa cosa vale per i laterali sinistri $ |gH| = 6 $ ?
No: $|H| = |gH| = 4$ non $6$, $6$ è il numero di laterali destri(ma anche di quelli sinistri) di $H$!
Quindi prendo una qualsiasi permutazione di S4 come $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 3 , 1 , 4 , 2 ) ) $ e la compongo con ciascun elemento di $ H $ ?
Sì
Quindi $ Hg $ è composto dalle permutazioni sopra ricavate?
Esatto.
Edit: nota che $Hg = {hg | h \in H}$.
Ma così ad ogni variare di $ g $ avrò nuovi laterali diversi da quelli di prima? Come fanno ad essere solo 6?
No, ne otterrai solo $6$: nessuno ti dice che componendo per permutazioni diverse otterrai necessariamente laterali diversi.
Un esempio banale è il seguente: prova a comporre per $H$ con $(1, 2)$ e con $(3, 4)$, otterrai lo stesso laterale.
Infine ti ricordo che i laterali sono classi di equivalenza, quindi: 1)due laterali di $H$ o coincidono o sono disgiunti; 2) forniscono una decomposizione in insiemi disgiunti di $G$, cioè $G$ è uguale all'unione disgiunta dei laterali di $H$ e quindi tutti gli elementi di $G$ sono contenuti in quei $6$ laterali.
Scusami, ho sbagliato a scrivere $ B={(x,y)∈R×R∣y=x^2} $
Ok allora è corretto!
E quindi come faccio a trovare i 5 laterali mancanti?
"AnthonyIta":
E quindi come faccio a trovare i 5 laterali mancanti?
Non c'è un metodo generale, in questo caso conviene fare i conti(che tutto sommato sono pochi e possono impratichirti con la composizione di permutazioni): prendi le permutazioni di $S_4$ e le componi a destra con gli elementi di $H$, ripeti il procedimento fin quando non ti vengono fuori $6$ laterali distinti.
"Shocker":
[quote="AnthonyIta"]E quindi come faccio a trovare i 5 laterali mancanti?
Non c'è un metodo generale, in questo caso conviene fare i conti(che tutto sommato sono pochi e possono impratichirti con la composizione di permutazioni): prendi le permutazioni di $S_4$ e le componi a destra con gli elementi di $H$, ripeti il procedimento fin quando non ti vengono fuori $6$ laterali distinti.[/quote]
Ok, capito, pensavo ci fosse qualche trucchetto o metodo più veloce!
Ti disturbo ancora con un altro esercizio, sempre sui sottogruppi
Sia G un gruppo. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi del gruppo G×G sono sottogruppi e quali no, le risposte cambiano se abeliano?
$ A = {(g, g)|g ∈ G} $
Bene, so che devo applicare il criterio per i sottogruppi, quindi prendo due coppie $ a,b∈G $ e $ ab^-1∈A $
$ (a,a)*(b^-1,b^-1) ∈ A $
Ma ora come si continua? L'operazione del gruppo qual è? Insomma, la mia difficoltà sta nel capire cosa sia il gruppo $ G×G $
Ciao,
Se $(H, **)$ e $(K, \cdot)$ sono gruppi, allora $H xx K$ possiede una struttura di gruppo con l'operazione $\square$ così definita: $\forall (a, b), (c, d) \in H xx K$ si ha che $(a, b) \square (c,d) = (a**c, b \cdot d)$, tale gruppo prende il nome di prodotto diretto fra $H$ e $K$.
Nel tuo caso $G xx G$ è un prodotto diretto(se non viene specificata l'operazione allora di solito s'intende che il gruppo è un prodotto diretto), quindi l'operazione fra elementi di $G xx G$ è definita come sopra, cioè componente per componente.
Se $(H, **)$ e $(K, \cdot)$ sono gruppi, allora $H xx K$ possiede una struttura di gruppo con l'operazione $\square$ così definita: $\forall (a, b), (c, d) \in H xx K$ si ha che $(a, b) \square (c,d) = (a**c, b \cdot d)$, tale gruppo prende il nome di prodotto diretto fra $H$ e $K$.
Nel tuo caso $G xx G$ è un prodotto diretto(se non viene specificata l'operazione allora di solito s'intende che il gruppo è un prodotto diretto), quindi l'operazione fra elementi di $G xx G$ è definita come sopra, cioè componente per componente.
"Shocker":
Ciao,
Se $(H, **)$ e $(K, \cdot)$ sono gruppi, allora $H xx K$ possiede una struttura di gruppo con l'operazione $\square$ così definita: $\forall (a, b), (c, d) \in H xx K$ si ha che $(a, b) \square (c,d) = (a**c, b \cdot d)$, tale gruppo prende il nome di prodotto diretto fra $H$ e $K$.
Nel tuo caso $G xx G$ è un prodotto diretto(se non viene specificata l'operazione allora di solito s'intende che il gruppo è un prodotto diretto), quindi l'operazione fra elementi di $G xx G$ è definita come sopra, cioè componente per componente.
Ciao, ho provato a risolvere l'esercizio ma non sono per nulla sicuro di averlo fatto bene..
$ A = {(g, g)|g ∈ G} $ è un sottogruppo perché ottengo $ (a/b,a/b) $
$ B = {(g, g^-1) | g ∈ G}; $ non è un sottogruppo perché ottengo $ (a/b,1/a) $
$ C = {(g, 1_G) | g ∈ G} $ è un sottogruppo perché ottengo $ (a/b,1) $
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