Esercizi Relazioni e Funzioni
Salve a tutti, ho più volte riletto e cercato spiegazioni nelle dispense del prof. ma non riesco a capire alcuni esercizi riguardanti le relazioni e le funzioni. in particolare 3 esercizi di fine capitolo. Purtroppo le dispense non approfondiscono tutto. Ho provato a cercare qualcosa in rete ma la faccenda si infittisce sempre di più!
Ho fatto una foto ai 3 esercizi: proverò a spiegarvi cosa non mi è chiaro.
Allora:
Esercizio 4.3: sostituisco quella relazione strana con <= ; allora, n<=m se e solo se m=nk
un ordine totale si ha quando si verifica uno dei due casi: n<=m oppure m<=n. l'esercizio chiede di verificare l'ordine NON totale... quindi? bisogna procedere con la verifica delle proprietà Riflessiva, Antisimmetrica e Transitiva? ma come? m=nk indica che m è multiplo di n? come si può procedere?
Esercizio 4.4: La cosa che mi blocca è che nella teoria delle dispense non ho mai visto l'unione o l'intersezione di due relazioni binarie. cosa significa RUS... ecc...?
Esercizio 4.5: xRy se e solo se f(x) = f(y) indica una funzione suriettiva? ma non capisco come si possa affermare che sia di ordine o di equivalenza.
Ho fatto una foto ai 3 esercizi: proverò a spiegarvi cosa non mi è chiaro.
Allora:
Esercizio 4.3: sostituisco quella relazione strana con <= ; allora, n<=m se e solo se m=nk
un ordine totale si ha quando si verifica uno dei due casi: n<=m oppure m<=n. l'esercizio chiede di verificare l'ordine NON totale... quindi? bisogna procedere con la verifica delle proprietà Riflessiva, Antisimmetrica e Transitiva? ma come? m=nk indica che m è multiplo di n? come si può procedere?
Esercizio 4.4: La cosa che mi blocca è che nella teoria delle dispense non ho mai visto l'unione o l'intersezione di due relazioni binarie. cosa significa RUS... ecc...?
Esercizio 4.5: xRy se e solo se f(x) = f(y) indica una funzione suriettiva? ma non capisco come si possa affermare che sia di ordine o di equivalenza.
Risposte
La relazione del 4.3 non è altro che la divisibilità, infatti, per definizione di divisibilità, si dice che n divide m se e solo se $m=nk$ per qualche k. Devi anzitutto verificare che la relazione di divisibilità è d'ordine, quindi le tre proprietà: riflessività, antisimmetria e transitività.
Dire che vale la proprietà di riflessività equivale a dire che ogni numero divide sé stesso, il che è certamente vero dal momento che per ogni intero n si ha \(n=n\cdot 1\). L'antisimmetria equivale al fatto che se due numeri naturali si dividono l'un l'altro allora coincidono, ecc.
Dire che la relazione non è totale equivale a dire che ci sono coppie di numeri tali che nessuno divide l'altro, riesci a trovarne una?
Infine un elemento di massimo è un numero divisibile per tutti i numeri e uno di minimo è un numero che divide tutti i numeri...
Dire che vale la proprietà di riflessività equivale a dire che ogni numero divide sé stesso, il che è certamente vero dal momento che per ogni intero n si ha \(n=n\cdot 1\). L'antisimmetria equivale al fatto che se due numeri naturali si dividono l'un l'altro allora coincidono, ecc.
Dire che la relazione non è totale equivale a dire che ci sono coppie di numeri tali che nessuno divide l'altro, riesci a trovarne una?
Infine un elemento di massimo è un numero divisibile per tutti i numeri e uno di minimo è un numero che divide tutti i numeri...
ciao _fabricius_, grazie mille !!!!!!! ora ho le idee più chiare. 
Vediamo se ho capito..
Es. 4.3: n<=m se e solo se m=nk sull'insieme dei numeri naturali. L'esercizio chiede se vi è un minimo e un massimo. nell'insieme dei numeri naturali cè il minimo (lo 0) ma non c'è un numero massimo.
Ora verifico le proprietà: riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Riflessiva: n<=n
n|n, n = nk, k=1, vero.
Antisimmetrica:
n<=m, m<=n => n=m
n|m, m|n, m=n*a, n=m*b, m=m*b*a, b*a=1, b=a=1 => n=m
Transitiva:
n<=m, m<=k, n<=k
n|m, m=na
m|k, k=mb
k=n*a*b, a*b=c, k=nc => n|k
Giusto?
Vediamo se ho capito..Es. 4.3: n<=m se e solo se m=nk sull'insieme dei numeri naturali. L'esercizio chiede se vi è un minimo e un massimo. nell'insieme dei numeri naturali cè il minimo (lo 0) ma non c'è un numero massimo.
Ora verifico le proprietà: riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Riflessiva: n<=n
n|n, n = nk, k=1, vero.
Antisimmetrica:
n<=m, m<=n => n=m
n|m, m|n, m=n*a, n=m*b, m=m*b*a, b*a=1, b=a=1 => n=m
Transitiva:
n<=m, m<=k, n<=k
n|m, m=na
m|k, k=mb
k=n*a*b, a*b=c, k=nc => n|k
Giusto?
Tutto bene tranne massimo e minimo: il massimo esiste ed il minimo non è zero.
Ciao _fabricius_ grazie ancora per la risposta. quindi....
l'elemento minimo e massimo lo devo cercare in tutto l'insieme dei numeri naturali N, oppure ogni volta che dimostro una proprietà?
Ad es.
- Nella dimostrazione della proprietà Riflessiva, l'elemento di minimo e di massimo coincide. a<=a ;
- nella proprietà Antisimmetrica idem perchè a=b quindi non vi è un minimo e un massimo ;
- mentre la proprietà Transitiva ci dice che n|k, n<=m<=k, n è minimo, k è massimo.
Giusto? Spero di aver capito stavolta
quindi....l'elemento minimo e massimo lo devo cercare in tutto l'insieme dei numeri naturali N, oppure ogni volta che dimostro una proprietà?
Ad es.
- Nella dimostrazione della proprietà Riflessiva, l'elemento di minimo e di massimo coincide. a<=a ;
- nella proprietà Antisimmetrica idem perchè a=b quindi non vi è un minimo e un massimo ;
- mentre la proprietà Transitiva ci dice che n|k, n<=m<=k, n è minimo, k è massimo.
Giusto? Spero di aver capito stavolta
In tutto $\mathbb{N}$! 
Devi trovare un numero che divide tutti gli altri e un altro che è divisibile da tutti.
Devi trovare un numero che divide tutti gli altri e un altro che è divisibile da tutti.
Ci riprovo!
Se escludo lo zero perchè non è divisore di nessun numero allora la ricerca si restringe all'insieme N* = {N \ {0} }
Se il minimo non è zero allora sarà 1 perchè 1|1, 1|n, 1|n+1
per induzione, giusto?
Ma come faccio a trovare il massimo se l'insieme dei numeri naturali ha come intervallo [0;+∞) ?
Se escludo lo zero perchè non è divisore di nessun numero allora la ricerca si restringe all'insieme N* = {N \ {0} }
Se il minimo non è zero allora sarà 1 perchè 1|1, 1|n, 1|n+1
per induzione, giusto?
Ma come faccio a trovare il massimo se l'insieme dei numeri naturali ha come intervallo [0;+∞) ?
1 è il minimo, giusto, ma non serve tirare fuori l'induzione. 1 divide tutti i numeri poiché per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha \(n=n \cdot 1\).
Mentre il massimo è proprio 0, infatti 0 è divisibile da tutti i numeri: \(0=0\cdot n \) per ogni numero naturale n.
Mentre il massimo è proprio 0, infatti 0 è divisibile da tutti i numeri: \(0=0\cdot n \) per ogni numero naturale n.
ciao fabricius grazie mille per l'aiuto che mi hai dato Non pensavo che lo 0 in questo caso potesse essere definito massimo. Quindi concludendo: in una relazione di divisibilità il numero massimo è divisibile da tutti gli $n in N$ mentre il minimo è quello che divide tutti gli $n in N$
Non pensavo che lo 0 in questo caso potesse essere definito massimo. Quindi concludendo: in una relazione di divisibilità il numero massimo è divisibile da tutti gli $n in N$ mentre il minimo è quello che divide tutti gli $n in N$
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