Esercizi Galois
Salve. Vorrei chiedervi aiuto sullo svolgimento di esercizi standard sulla teoria di Galois. Inizio con questo:
Sia $E=QQ(sqrt(5),sqrt(3))$. Mostrare che $E|QQ$ è di Galois e determinarne i campi intermedi.
Soluzione: E è campo di spezzamento per $f=(x^2-5)(x^2-3)$ che è irriducibile e separabile. Dunque $E|QQ$ è di Galois. Ora, $[E]=4=|Gal(E|QQ)|$ (poiché $E|QQ$ è di Galois). Dunque, posto $G=Gal(E|QQ)$, G ha cardinalità potenza di un primo dunque è abeliano. Quindi G è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine 4 o al prodotto di due gruppi ciclici di ordine 2. Ora, gli elementi di G sono determinati da come agiscono sulle radici di $f$. In particolare, G sarà composto dall'identità, da $g_1$, da $g_2$ e da il prodotto di questi dove $g_1$ è il $QQ$-automorfismo tale che $g_1(sqrt(2))=sqrt(2)$ e $g_1(sqrt(3))=-sqrt(3)$ e $g_2$ è il $QQ$-automorfismo tale che $g_2(sqrt(2))=-sqrt(2)$ e $g_2(sqrt(3))=sqrt(3)$. Inoltre, sia $g_1$ che $g_2$ hanno ordine 2 da cui concludo che G è isomorfo al prodotto di due ciclici di ordine 2.
Ho qualche problema ora nell'utilizzare la connessione di Galois in maniera rigorosa per calcolare gli invarianti dei sottogruppi di G. Come posso procedere in generale? Grazie!
Sia $E=QQ(sqrt(5),sqrt(3))$. Mostrare che $E|QQ$ è di Galois e determinarne i campi intermedi.
Soluzione: E è campo di spezzamento per $f=(x^2-5)(x^2-3)$ che è irriducibile e separabile. Dunque $E|QQ$ è di Galois. Ora, $[E]=4=|Gal(E|QQ)|$ (poiché $E|QQ$ è di Galois). Dunque, posto $G=Gal(E|QQ)$, G ha cardinalità potenza di un primo dunque è abeliano. Quindi G è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine 4 o al prodotto di due gruppi ciclici di ordine 2. Ora, gli elementi di G sono determinati da come agiscono sulle radici di $f$. In particolare, G sarà composto dall'identità, da $g_1$, da $g_2$ e da il prodotto di questi dove $g_1$ è il $QQ$-automorfismo tale che $g_1(sqrt(2))=sqrt(2)$ e $g_1(sqrt(3))=-sqrt(3)$ e $g_2$ è il $QQ$-automorfismo tale che $g_2(sqrt(2))=-sqrt(2)$ e $g_2(sqrt(3))=sqrt(3)$. Inoltre, sia $g_1$ che $g_2$ hanno ordine 2 da cui concludo che G è isomorfo al prodotto di due ciclici di ordine 2.
Ho qualche problema ora nell'utilizzare la connessione di Galois in maniera rigorosa per calcolare gli invarianti dei sottogruppi di G. Come posso procedere in generale? Grazie!
Risposte
Un'osservazione, perdonami l'intrusione.
Perdonami, ma non capisco che cosa vuoi dire. Forse che ogni gruppo avente ordine potenza di un primo è abeliano? Attento, perché questo è falso. In generale, di un gruppo avente ordine potenza di un primo (si chiamano anche $p$-gruppi), puoi dire solamente che ha centro non banale (segue dall'equazione delle classi); invece, ed è questo che forse volevi usare, un gruppo di ordine $p^2$ è sempre abeliano (anche questo è un corollario dell'equazione delle classi). Ovviamente la tua conclusione è giusta, cioè i gruppi di ordine 4 sono tutti abeliani (come giustamente noti, a meno di iso, sono esattamente due, il ciclico e il prodotto $C_2 \times C_2$). Scusa ancora l'intrusione, spero di non averti confuso e di non aver frainteso ciò che volevi dire.
"Albert Wesker 27":
[...]E è campo di spezzamento per $f=(x^2-5)(x^2-3)$ che è irriducibile e separabile. Dunque $E|QQ$ è di Galois. Ora, $[E]=4=|Gal(E|QQ)|$ (poiché $E|QQ$ è di Galois). Dunque, posto $G=Gal(E|QQ)$, G ha cardinalità potenza di un primo dunque è abeliano.
Perdonami, ma non capisco che cosa vuoi dire. Forse che ogni gruppo avente ordine potenza di un primo è abeliano? Attento, perché questo è falso. In generale, di un gruppo avente ordine potenza di un primo (si chiamano anche $p$-gruppi), puoi dire solamente che ha centro non banale (segue dall'equazione delle classi); invece, ed è questo che forse volevi usare, un gruppo di ordine $p^2$ è sempre abeliano (anche questo è un corollario dell'equazione delle classi). Ovviamente la tua conclusione è giusta, cioè i gruppi di ordine 4 sono tutti abeliani (come giustamente noti, a meno di iso, sono esattamente due, il ciclico e il prodotto $C_2 \times C_2$). Scusa ancora l'intrusione, spero di non averti confuso e di non aver frainteso ciò che volevi dire.
Figurati: l'intervento è ben apprezzato. In testa avevo il fatto che ogni gruppo di ordine quadrato di un primo è abeliano ma a volte mani e testa non vanno nella stessa direzione 
Hai fatto bene a precisare!
Hai fatto bene a precisare!
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