Esercizi di Teoria dei Gruppi
Ho creato questo topic così da poter inserire tutte le domande e i problemi che occupano la mia mente in questi giorni e in quelli futuri, prima dell'esame di algebra I, in modo da non creare diversi topic, magari anche dispersivi.
La prima domanda è:
Determinare i sottogruppi di $U(ZZ_25)$.
Allora la mia prof. in classe ci ha fatto prima calcolare l'ordine del gruppo. Quindi abbiamo utilizzato la funzione $varphi$ di Eulero. Cioè
$varphi(25)=20 => |U(ZZ_25)|=20$
Ora lei dice:
in particolare $[2]_25 in U(ZZ_25)$. E fino a qui ci siamo. Poi dice che $|[2]_25|$ (o periodo) $= 20$. Come ha fatto a dirlo?
NB
$U(ZZ_25)$ = si intende il gruppo degli invertibili dell'anello $ZZ_25$
La prima domanda è:
Determinare i sottogruppi di $U(ZZ_25)$.
Allora la mia prof. in classe ci ha fatto prima calcolare l'ordine del gruppo. Quindi abbiamo utilizzato la funzione $varphi$ di Eulero. Cioè
$varphi(25)=20 => |U(ZZ_25)|=20$
Ora lei dice:
in particolare $[2]_25 in U(ZZ_25)$. E fino a qui ci siamo. Poi dice che $|[2]_25|$ (o periodo) $= 20$. Come ha fatto a dirlo?
NB
$U(ZZ_25)$ = si intende il gruppo degli invertibili dell'anello $ZZ_25$
Risposte
un metodo può essere vedere che visto che il periodo deve essere un divisore di 20 e non è 2,4,5,10 per verifica diretta (sono due calcoli) allora è per forza 20...
quindi tu mi consigli di provare ad elevare la classe di due ai divisori di 20 e vedere quanti elementi ci sono in ogni nuova classe?!
scusa ma tu che cosa vuoi vedere, che l'ordine di due è 20 o cosa?
si come faccio a vedere che l'ordine di 2 è 20?
in pratica dovrei solo contare gli elementi...non c'è una formula...
in pratica dovrei solo contare gli elementi...non c'è una formula...
io ti propongo questo metodo....
visto che due appartiene ad un sottogruppo di ordine 20, il suo ordine è 2 o 4 o 5 o 10 o 20...
ora l'ordine non è 2, 4, 5,... in quanto $2^2=2,2^4=16, 2^5=32$
contare $2^10$ può essere complicato, ma
$2^10 == 2^5*2^5 == 49 == 24 == -1 mod(Z_(25))$
e quindi l'ordine è 20...
visto che due appartiene ad un sottogruppo di ordine 20, il suo ordine è 2 o 4 o 5 o 10 o 20...
ora l'ordine non è 2, 4, 5,... in quanto $2^2=2,2^4=16, 2^5=32$
contare $2^10$ può essere complicato, ma
$2^10 == 2^5*2^5 == 49 == 24 == -1 mod(Z_(25))$
e quindi l'ordine è 20...
thanx^^
Avrei un'altra domanda.
Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?
Dovresi sfruttare la definizione di gruppo ciclico. Ma non c'è un modo semplice per mostrarlo...che mi eviti tutti i passaggi di verifica?!
Avrei un'altra domanda.
Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?
Dovresi sfruttare la definizione di gruppo ciclico. Ma non c'è un modo semplice per mostrarlo...che mi eviti tutti i passaggi di verifica?!
"Lorin":Il gruppo di Klein $K$ è il prodotto diretto $C_2 xx C_2$, dove $C_2$ è il gruppo ciclico di ordine $2$. Prova a ragionare sull'ordine di un elemento non banale di $K$.
Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?
"Lorin":
thanx^^
Avrei un'altra domanda.
Il gruppo di Klein, ho letto che non è ciclico. Come mai?
Dovresi sfruttare la definizione di gruppo ciclico. Ma non c'è un modo semplice per mostrarlo...che mi eviti tutti i passaggi di verifica?!
Sai trovare un elemento di ordine 4? Non mi sembrano tanti come calcoli... Se lo consideri come sottogruppo di $S_4$ ogni elemento è nella forma $(ab)(cd)$ per qualche $a,b,c,d$ tutti diversi tra loro.
Quindi $(ab)(cd)(ab)(cd) = (ab)(ab)(cd)(cd) = 1$
P.S: questo era nel caso tu non sapessi ancora cos'è il prodotto diretto.
Se lo vedi come gruppo di simmetria del rettangolo basta osservare che ogni elemento ha ordine 2 (perché le riflessioni sugli assi hanno ordine 2).
Ora che ti ho risolto questo prova a determinare se il gruppo dei quaternioni è ciclico.
vi ringrazio per le risposte, ma per ora il prodotto diretto ancora non l'ho fatto. In questi giorni comunque ho avuto vari chiarimenti anche da parte del prof e quindi ho capito perchè il gruppo di Klein non è ciclico. (nessun elemento ha ordine 4, quindi nessuno è generatore. Stessa risposta va per il gruppo dei quaternioni, che se non sbaglio è il più piccolo gruppo non ciclico a sottogruppi tutti normali.)
grazie
grazie
"Lorin":
vi ringrazio per le risposte, ma per ora il prodotto diretto ancora non l'ho fatto. In questi giorni comunque ho avuto vari chiarimenti anche da parte del prof e quindi ho capito perchè il gruppo di Klein non è ciclico. (nessun elemento ha ordine 4, quindi nessuno è generatore. Stessa risposta va per il gruppo dei quaternioni, che se non sbaglio è il più piccolo gruppo non ciclico a sottogruppi tutti normali.)
grazie
No, il gruppo dei quaternioni è il più piccolo gruppo non abeliano con sottogruppi tutti normali (il nome di questo tipo di gruppi non è importante). Il gruppo di Klein non è abeliano e ha tutti i sottogruppi normali, come tutti i gruppi abeliani.
Il più piccolo gruppo non abeliano è invece il $S_3\cong D_3$ (il gruppo diedrale di ordine 6 e il gruppo simmetrico di 3 elementi sono isomorfi). Non è difficile vedere che non è abeliano con un controesempio.
Dai un occhiata qui...
http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_dei_quaternioni
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_piccoli
P.S: In realtà il gruppo di Klein ha 2 generatori (la decisione dei due elementi non è unica). Ogni gruppo è generato da un qualche insieme di generatori (la scelta dei quali non è generalmente unica), un gruppo è ciclico se quell'insieme può essere ridotto ad un solo elementi.
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