Esercizi di Algebra 1.1.3 - 1.1.4

[Archimede11]

Rieccomi qui posto le tracce:

1.1.3 Siano $S, T, V$ insiemi. Provare che:
$S nn T sube V iff S sube V uu (S \\ T)$

1.1.4 Provare che, qualunque siano gli insiemi S e T, risulta
$S \\ (S \\ T) = S nn T$

Svolgimento 1.1.3
$=>$
Ipotesi: $S nn T sube V$
Tesi: $S sube V uu (S \\ T)$
dim: Sia $x in S => x in (S nn T) uu (S \\ T) => x in V uu (S \\ T)$ che verifica la tesi.

$lArr$
Ipotesi: $S sube V uu (S \\ T)$
Tesi: $(S nn T) sube V$
dim: Sia $x in (S nn T) => x in S$ e $x in T => x in V uu (S \\ T)$, ma poichè è anche $x in T => x !in S \\ T => x in V$
che dimostra la nostra tesi. $square$

E' corretto?
Per il procedimento della 1.1.4 ci sto ancora lavorando per cui per ora cercherò di risolvero senza suggerimenti.
Grazie

[Fioravante Patrone1]

"Archimede":
dim: Sia $x in S => x in (S nn T) \\ (S \\ T) => x in V uu (S \\ T)$ che verifica la tesi.

mi pare ci sia un errore di stampa. Mi sa che volevi scrivere:

dim: Sia $x in S => x in (S nn T) uu (S \\ T) => x in V uu (S \\ T)$ che verifica la tesi.

[Archimede11]

Si esatto ora modifico Grazie ancora (se c'è un altro procedimento per risolverlo fatemelo presente).

[Archimede11]

Vediamo, sono riuscito (forse) a risolvere solo la $sube$ del 1.1.4

Dimostrare quindi che: $S \\ (S \\ T) = S nn T$
dim $sube$: sia $x in S \\ (S \\ T) => x in S$ e $x !in S \\ T => x in S \\ S$ o $x in S nn T => x in S nn T$

dim $supe$: sia $x in S nn T => x in S$ e $x in T =>$ qui mi blocco
al limite potrei dire $x in S => x in (S nn T) uu (S \\ T)$ ed anche $x in T => x in (T nn S) uu (T \\ S)$ ma non so se possa servirmi a qualcosa

Potete darmi una piccola indicazione? Grazie

[Archimede11]

Vediamo se è corretta anche la $supe$:
Dimostrare che $S nn T sube S \\ (S \\ T)$.
Dim: Sia $x in S nn T => x in S$ e $x in T => x in S$ e $x !in (S \\ T) => x in S \\ (S \\ T)$ che dimostra la nostra tesi.

Che dite è corretto?
Grazie.

[Thomas16]

l'esercizio 1.1.4 ti riesce a mio parere più comodamente anche usando la notazione del complementare e che:

$S \\ A = S nn A^c$

cmq anche le tue mi paiono funzionare... è solo per darti una mano

[Archimede11]

Grazie Thomas, si quando ci sono soluzioni alternative (cioè quasi sempre) aggiungimele perchè mi è molto utile per aprire la mente a pensare cose diverse dalla mia soluzione o dal mio modo di ragionare.
Grazie ancora (già sono passato ad altri due esercizi ... si lo so non piangete dai ... )

[Fioravante Patrone1]

per aprire la mente, niente di meglio che:

oltre a questo, alcune ideuzze sempre con lo stesso scopo

secondo me i diagrammi di eulero-venn offrono una rappresentazione "visiva" di questi risultato che ben fa da complemento all'approccio puramente "sintattico-formale"

altra cosa: la "traduzione a rovescio" di queste formule al linguaggio naturale, magari con esempi significativi

altra cosa: crearsi un mini-universo "minimale-ma-non-banale" in cui le cose che stai dimostrando puoi vederle. Intendo dire: menzioni S e T e allora hai bisogno (per evitare casi speciali, degeneri) di poter considerare almeno due insiemi distinti. Oppure, guardare cosa avviene in un universo i cui soli insiemi ammissibili siano, che so, triangoli (o cerchi, o rettangoli [con lati paralleli o non necessariamente])

tutto quanto di cui sopra solo perché hai detto che fai queste cose per diletto

ciao

[Archimede11]

Ho provato con l'accetta e mi sgorga del sangue dalla testa...non so perchè
Prima di salutare questo mondo (tranquilli posterò i miei esercizi dall'inferno) ti ringrazio dei consigli Ne vedremo delle belle