Esercizi di algebra 1

[marta_l-votailprof]

Ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi illumineranno sulla soluzione di questi due problemi da algebra 1, domani mattina ho l'esame scritto!!

1) siano $f(x)=x^3+x^2-2x-2$ e $g(x)=x^3+2x^2-2x-4$ due polinomi in $Q[x]$.
(a) si consideri in Q[x] l'ideale $I=$ generato da $f(x)$ e $g(x)$. si provi che I è principale esibendone un generatore.
(b) si provi che I è un ideale massimale in $Q[x]$ e se ne deduca che $(Q[x])/I$ è un campo.
(c) si consideri ora nell'anello di polinomi $R[x]$ l'ideale $I=(x^2-2)$. Si provi che I non è massimale in $R[x]$ e si esibiscano dei divisori dello zero di $(R[x])/I$

2) Sia G un gruppo finito di ordine $|G|=p^2q$, ove p,q sono due primi distinti. Si provi che G ammette sempre un sottogruppo normale non banale.

So che quest'ultimo si risolve con i teoremi di Sylow ma non so come fare a dimostrare la normalità...
grazie a tutti!!

[Principe2]

Per il secondo mi pare di ricordare che giocherellando con i numeri dei p-Sylow e dei q-Sylow si trova che uno dei due deve essere uno e quindi è normale (ricordo che uno dei teoremi di Sylow si formula dicendo che se esiste un unico p-Sylow questo è normale)

[marta_l-votailprof]

grazie mille, sui miei appunti non c'era! adesso provo...

comunque per il primo, se qualcuno mi riesce a dire come faccio a trovare il generatore di quell'ideale poi sono a posto...c'entra la scomposizione dei polinomi in fattori primi e il loro MCD?
Altro problema sono i divisori dello zero...help please!!

[rubik2]

per quanto riguarda l'ultimo quesito uno dei teoremi di sylow dice che se $|G|=p^am$ allora il numero di p-sylow è un divisore di m congruo ad 1 modulo p. Nel nostro caso i p-sylow o sono 1 o q, i q-sylow possono essere 1,p,p^2

nel nostro caso $p!=q$ questo implica che

p>q in questo caso il numero dei p-sylow è chiaramente 1

editato: avevo scritto una stupidaggine. p

per quanto riguarda gli altri $Q[x]$ è un anello euclideo quindi tutti gli ideali sono principali si tratta solo di trovare il MCD tra i due polinomi. per provare che I è massimale devi mostrare che il suo generatore è irriducibile (sempre perchè ci troviamo in un anello a ideali principali)

$(RR[x])/I~=RRxRR$ basta mandare un polinomio f(x) in $ ( f(sqrt(2)) , f(-sqrt(2)) )$ quindi oi trovare i divisori dello zero è semplice

dovrebbe essere tutto corretto, ma non sono sicuro.