Esercizi Campi Numerici
Mi manca una parte di questi esercizi:
1) Sia $q$ un numero razionale fissato ed $alpha$ una radice quadrata di q, cioè tale che $alpha^2=q$. Verificare che l'insieme $QQ(alpha)={a + alpha*b $ $|$ $a,b in QQ}$ è un campo di numeri
2) Sia $beta$ una radice cubica di un numero razionale fissato $q$ ovvero $beta^3=q$. Verificare che l'insieme $QQ(beta)={a + beta*b + beta^2*c $ $|$ $a,b,c in QQ}$ è un campo di numeri.
Per verificare che sono campi di numeri bisogna mostrare che operando sugli elementi di uno degli insiemi con le quattro operazioni, si ottine ancora un elemento di quell'insieme.
La verifica è banale per le operazioni si somma e differenza infatti, presi ad esempio due elementi del primo insieme otteniamo:
$(a + alpha*b) + (c + alpha*d) = (a+c) + alpha*(b+d)$ ed essendo $QQ$ un campo numerico $a+c in QQ$ e $b+d in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
$(a + alpha*b) - (c + alpha*d) = (a-c) + alpha*(b-d)$ ed essendo $QQ$ un campo numerico $a-c in QQ$ e $b-d in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
Per la moltiplicazione ottenidamo
$(a + alpha*b) * (c + alpha*d) = a*c + (a*d + b*c)*alpha + b*d*alpha^2 = (a*c + b*d*q) + (a*d + b*c)*alpha$ con $(a*c + b*d*q) in QQ$ e con $(a*d + b*c) in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
Corretto il ragionamento? E con la divisione come si verifica?
Grazie
1) Sia $q$ un numero razionale fissato ed $alpha$ una radice quadrata di q, cioè tale che $alpha^2=q$. Verificare che l'insieme $QQ(alpha)={a + alpha*b $ $|$ $a,b in QQ}$ è un campo di numeri
2) Sia $beta$ una radice cubica di un numero razionale fissato $q$ ovvero $beta^3=q$. Verificare che l'insieme $QQ(beta)={a + beta*b + beta^2*c $ $|$ $a,b,c in QQ}$ è un campo di numeri.
Per verificare che sono campi di numeri bisogna mostrare che operando sugli elementi di uno degli insiemi con le quattro operazioni, si ottine ancora un elemento di quell'insieme.
La verifica è banale per le operazioni si somma e differenza infatti, presi ad esempio due elementi del primo insieme otteniamo:
$(a + alpha*b) + (c + alpha*d) = (a+c) + alpha*(b+d)$ ed essendo $QQ$ un campo numerico $a+c in QQ$ e $b+d in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
$(a + alpha*b) - (c + alpha*d) = (a-c) + alpha*(b-d)$ ed essendo $QQ$ un campo numerico $a-c in QQ$ e $b-d in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
Per la moltiplicazione ottenidamo
$(a + alpha*b) * (c + alpha*d) = a*c + (a*d + b*c)*alpha + b*d*alpha^2 = (a*c + b*d*q) + (a*d + b*c)*alpha$ con $(a*c + b*d*q) in QQ$ e con $(a*d + b*c) in QQ$ quindi l'elemento ottenuto appartiene a $QQ(alpha)$
Corretto il ragionamento? E con la divisione come si verifica?
Grazie
Risposte
Non ti serve la divisione ma l'esistenza di un elemento inverso, inoltre ti serve sapere se c'è una unita ed uno zero.
In sostanza devi far vedere che [tex](Q(\alpha),+)[/tex] è un gruppo ed anche [tex](Q(\alpha)-\{0\},\cdot)[/tex] è un gruppo. Tieni presente che quello zero è l'elemento neutro della somma.
In sostanza devi far vedere che [tex](Q(\alpha),+)[/tex] è un gruppo ed anche [tex](Q(\alpha)-\{0\},\cdot)[/tex] è un gruppo. Tieni presente che quello zero è l'elemento neutro della somma.
sono d'accordo con la tua definizione, ma a parte il fatto che sono comunque in difficoltà con la ricerca dell'inverso... in questi particolari esercizi mi viene richiesto di dimostrare che:
1) l'insieme considerao ha almeno un elemento diverso dallo 0
2) Se $a,b$ appartengono all'insieme si ha $a+b,a-b,a*b$ appartengono all'insieme e se $b!=0$ anche $a/b$ appartiene all'insieme
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie
1) l'insieme considerao ha almeno un elemento diverso dallo 0
2) Se $a,b$ appartengono all'insieme si ha $a+b,a-b,a*b$ appartengono all'insieme e se $b!=0$ anche $a/b$ appartiene all'insieme
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie
Osserva che l'elemento [tex]1+\sqrt{\beta}[/tex] non è l'elemento zero, poichè [tex]1+\sqrt{\beta} \in \mathbb Q(\beta)[/tex] ma:
[tex]1+\sqrt{\beta}+1+\sqrt{\beta}=2+2\beta \neq 1+\sqrt{\beta}[/tex]
dunque non è zero.
Per l'inverso osservi che dato un elemento: [tex]a+b\sqrt{\beta} \in \mathbb Q(\beta)[/tex] esiste sempre un elemento [tex]a'+b'\sqrt{\beta} \in \mathbb Q(\beta)[/tex] tale che:
[tex](a+b\sqrt{\beta})(a'+b'\sqrt{\beta})=1[/tex]
ogni qual volta è risolubile il sistema:
${(aa'+bb'\beta = 1),(ab'+a'b =0):}$
[tex]1+\sqrt{\beta}+1+\sqrt{\beta}=2+2\beta \neq 1+\sqrt{\beta}[/tex]
dunque non è zero.
Per l'inverso osservi che dato un elemento: [tex]a+b\sqrt{\beta} \in \mathbb Q(\beta)[/tex] esiste sempre un elemento [tex]a'+b'\sqrt{\beta} \in \mathbb Q(\beta)[/tex] tale che:
[tex](a+b\sqrt{\beta})(a'+b'\sqrt{\beta})=1[/tex]
ogni qual volta è risolubile il sistema:
${(aa'+bb'\beta = 1),(ab'+a'b =0):}$
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