Esercizi Algebra
Ho ancora bisogno del vostro aiuto per chiarirmi alcuni dubbi, so che chiedo molto, ma mi fareste un grande piacere, è da da quasi un mese che studio algebra e faccio una grossa fatica a capire questi argomenti!! mi mancano le vecchie equazioni 
Ho cercato sul web ma non trovo esercizi svolti simili a quelli proposti dal mio professore. Allego il link degli esercizi che ho tentato di risolvere
Partiamo dal primo:
(1)H è un sottogruppo poichè ammette elemento neutro $(id)$; ammette inverso infatti $sigma=(sigma)^(0)*(sigma)=(sigma)^(-1)*sigma*sigma=sigma$;ora devo dimostrare che per ogni $sigma, tau$ $ in $ $H$ segue che $(sigma)*(tau) in H$ che è vero poiché cicli di lunghezza uno sono permutabili quindi $sigma*tau=(1)(2)(...)(...)$
Per il teorema di Lagrange l'indice è $ |S|=|H|*$ quindi $=(|S|)/(|H|)=n*(n-1)$ Poi il sottogruppo H è normale per $n=3$ ma non saprei come calcolare gli altri n
(2) il due è di facile soluzione, dopo aver dimostrato che è una relazione d'ordine, si può dire che è totale e ha elemento minimale 0;
(3) Anche il tre è facile, solo non saprei come poter affermare senza eseguire calcoli se $(sigma*tau)^(-1235) $ ha ordine 15 ($o(sigma)=15, o(tau)=12)$)
(4)E' giusto 5 relazioni di equivalenza?
(5) Adesso arriva il bello, secondo me sono entrambe false ma non saprei come dimostrare la prima cioè per avere ordine 18 dovrebbe essere almeno S11 infatti mcm(9,2)=18.
Per il punto 2 invece attraverso il Th. di Lagrange S5 ha ordine 25 quindi un suo sottogruppo deve avere un ordine che divida 25 e 60 non divide 25.
Ringraziandovi anticipatamente vi chiedo anche se sapete indicarmi degli esercizi svolti simili agli esercizi proposti.
Ciao
Ho cercato sul web ma non trovo esercizi svolti simili a quelli proposti dal mio professore. Allego il link degli esercizi che ho tentato di risolvere
Partiamo dal primo:
(1)H è un sottogruppo poichè ammette elemento neutro $(id)$; ammette inverso infatti $sigma=(sigma)^(0)*(sigma)=(sigma)^(-1)*sigma*sigma=sigma$;ora devo dimostrare che per ogni $sigma, tau$ $ in $ $H$ segue che $(sigma)*(tau) in H$ che è vero poiché cicli di lunghezza uno sono permutabili quindi $sigma*tau=(1)(2)(...)(...)$
Per il teorema di Lagrange l'indice è $ |S|=|H|*
(2) il due è di facile soluzione, dopo aver dimostrato che è una relazione d'ordine, si può dire che è totale e ha elemento minimale 0;
(3) Anche il tre è facile, solo non saprei come poter affermare senza eseguire calcoli se $(sigma*tau)^(-1235) $ ha ordine 15 ($o(sigma)=15, o(tau)=12)$)
(4)E' giusto 5 relazioni di equivalenza?
(5) Adesso arriva il bello, secondo me sono entrambe false ma non saprei come dimostrare la prima cioè per avere ordine 18 dovrebbe essere almeno S11 infatti mcm(9,2)=18.
Per il punto 2 invece attraverso il Th. di Lagrange S5 ha ordine 25 quindi un suo sottogruppo deve avere un ordine che divida 25 e 60 non divide 25.
Ringraziandovi anticipatamente vi chiedo anche se sapete indicarmi degli esercizi svolti simili agli esercizi proposti.
Ciao
Risposte
Volevo segnalarti che $S_5$ ha $5!$ elementi cioè $120$ e non $25$. Quindi la domanda è: esiste un sottogruppo che abbia cardinalità $|S_5|//2$?
Per il punto 1) il fatto che sia un sottogruppo non ho capito come l'hai dimostrato... io molto più semplicemente osserverei che se $sigma,tau in H$ allora $sigma(tau(1))=sigma(1)=1$. Analogamente componendo nell'altro verso.
Similmente si ragiona per verificare che lascia fisso il $2$.
Il resto non l'ho capito (ma potrebbe essere giusto). Qual è la cardinalità di $H$? Come fai a concludere che ha cardinalità $n(n-1)$?
Perchè per $n=3$ è normale? Cerca di essere più argomentativa!
L'altra domanda su $S_9$ personalmente non ho capito come hai ragionato... io direi che una permutazione di $S_n$ opera al più su $n$ indici distinti, quindi un ciclo di lunghezza massima (cioè che permuta tutti gli elementi) ha lunghezza $n$...
Controllerei per bene nel punto 2) se la relazione è totale. Vorrebbe dire che tutte le coppie sono confrontabili...
Per il punto 1) il fatto che sia un sottogruppo non ho capito come l'hai dimostrato... io molto più semplicemente osserverei che se $sigma,tau in H$ allora $sigma(tau(1))=sigma(1)=1$. Analogamente componendo nell'altro verso.
Similmente si ragiona per verificare che lascia fisso il $2$.
Il resto non l'ho capito (ma potrebbe essere giusto). Qual è la cardinalità di $H$? Come fai a concludere che ha cardinalità $n(n-1)$?
Perchè per $n=3$ è normale? Cerca di essere più argomentativa!
L'altra domanda su $S_9$ personalmente non ho capito come hai ragionato... io direi che una permutazione di $S_n$ opera al più su $n$ indici distinti, quindi un ciclo di lunghezza massima (cioè che permuta tutti gli elementi) ha lunghezza $n$...
Controllerei per bene nel punto 2) se la relazione è totale. Vorrebbe dire che tutte le coppie sono confrontabili...
Volevo segnalarti che S5 ha 5! elementi cioè 120 e non 25. Quindi la domanda è: esiste un sottogruppo che abbia cardinalità |Sn|/2?
hai ragione, non so perchè mi è venuto 25!! quindi ha un sottogruppo di ordine 60 poichè 60 divide 120.osserverei che se σ,τ∈H allora σ(τ(1))=σ(1)=1. Analogamente componendo dall'altro l'altro.
Similmente si ragiona per verificare che lascia fisso il 2.
In effetti hai pienamente ragione, grazie.
Il resto non l'ho capito (ma potrebbe essere giusto). Qual è la cardinalità di H? Come fai a concludere che ha cardinalità n(n-1)?
Poichè l'ordine di $S_n$ è $n!$; mentre l'ordine di $H$ essendo $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ è $(n-2)!$
Quindi per il teorema di Lagrange si ha che $[S_n:H]=(S_n)/(H)=(n!)/((n-2)!)=n*(n-1)$ per $n=3$ è normale perchè $H$ contiene solo l'identità infatti per $n=3$, $sigma(3)=3$ se $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ e quindi se chiamiamo $tau$ una permutazione di $S_3$ e $sigma=id$ l'unica permutazione di $H$ segue che $tau*sigma*tau^-1 in S_3$ infatti $tau*sigma*tau^-1=tau*tau^-1=id$
Controllerei per bene nel punto 2) se la relazione è totale.Vorrebbe dire che tutte le coppie sono confrontabili...
e non è così? cioè essendo $Z$ infinito c'è sempre un elemento minore... e se prendiamo 0 abbiamo che $0^4=0^4$ e $0<=0$
dove sbaglio?
Comunque grazie mille, sei stato molto gentile e chiaro.grazie
Provo a risponderti un po' sperando di essere chiaro e dicendo cose corrette...
E' sbagliato. Tale sottogruppo esiste sicuramente, sarà proprio $A_5$ ma l'esistenza di un sottogruppo non è certo assicurata dal th. di Lagrange. Questo teorema ci dice che il suo ordine è un divisore dell'ordine di $S_5$, ma non che esiste ad ogni divisore un sottogruppo di tale ordine.
Controesempio classico: $A_4$ ha ordine 12, ma non ha alcun sottogruppo di ordine $6$
Poichè l'ordine di $S_n$ è $n!$; mentre l'ordine di $H$ essendo $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ è $(n-2)!$
Quindi per il teorema di Lagrange si ha che $[S_n:H]=(S_n)/(H)=(n!)/((n-2)!)=n*(n-1)$ per $n=3$ è normale perchè $H$ contiene solo l'identità infatti per $n=3$, $sigma(3)=3$ se $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ e quindi se chiamiamo $tau$ una permutazione di $S_3$ e $sigma=id$ l'unica permutazione di $H$ segue che $tau*sigma*tau^-1 in S_3$ infatti $tau*sigma*tau^-1=tau*tau^-1=id$
[/quote]
A me sembra giusto il ragionamento, però magari aspettiamo che arrivi qualcuno più ferrato di me.
Mi pare utile ricordarti che per $S_n$ con $n ne 4$, $A_n$ è l'unico suo sottogruppo normale... quindi oltre io non cercherei proprio!
e non è così? cioè essendo $Z$ infinito c'è sempre un elemento minore... e se prendiamo 0 abbiamo che $0^4=0^4$ e $0<=0$
dove sbaglio?
Comunque grazie mille, sei stato molto gentile e chiaro.grazie[/quote]
Scusami son stato frettoloso prima, avevo letto male la definizione della relazione introdotta...
Comunque relazione totale non vuol dire quello che hai scritto, bensì che comunque scelti $a,b in ZZ$ allora $arhob V brhoa$... non devi condierare un terzo elemento!
"beck_s":Volevo segnalarti che S5 ha 5! elementi cioè 120 e non 25. Quindi la domanda è: esiste un sottogruppo che abbia cardinalità |Sn|/2?
E' sbagliato. Tale sottogruppo esiste sicuramente, sarà proprio $A_5$ ma l'esistenza di un sottogruppo non è certo assicurata dal th. di Lagrange. Questo teorema ci dice che il suo ordine è un divisore dell'ordine di $S_5$, ma non che esiste ad ogni divisore un sottogruppo di tale ordine.
Controesempio classico: $A_4$ ha ordine 12, ma non ha alcun sottogruppo di ordine $6$
[quote]Il resto non l'ho capito (ma potrebbe essere giusto). Qual è la cardinalità di H? Come fai a concludere che ha cardinalità n(n-1)?
Poichè l'ordine di $S_n$ è $n!$; mentre l'ordine di $H$ essendo $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ è $(n-2)!$
Quindi per il teorema di Lagrange si ha che $[S_n:H]=(S_n)/(H)=(n!)/((n-2)!)=n*(n-1)$ per $n=3$ è normale perchè $H$ contiene solo l'identità infatti per $n=3$, $sigma(3)=3$ se $sigma(1)=1$ e $sigma(2)=2$ e quindi se chiamiamo $tau$ una permutazione di $S_3$ e $sigma=id$ l'unica permutazione di $H$ segue che $tau*sigma*tau^-1 in S_3$ infatti $tau*sigma*tau^-1=tau*tau^-1=id$
[/quote]
A me sembra giusto il ragionamento, però magari aspettiamo che arrivi qualcuno più ferrato di me.
Mi pare utile ricordarti che per $S_n$ con $n ne 4$, $A_n$ è l'unico suo sottogruppo normale... quindi oltre io non cercherei proprio!
[quote]Controllerei per bene nel punto 2) se la relazione è totale.Vorrebbe dire che tutte le coppie sono confrontabili...
e non è così? cioè essendo $Z$ infinito c'è sempre un elemento minore... e se prendiamo 0 abbiamo che $0^4=0^4$ e $0<=0$
dove sbaglio?
Comunque grazie mille, sei stato molto gentile e chiaro.grazie[/quote]
Scusami son stato frettoloso prima, avevo letto male la definizione della relazione introdotta...
Comunque relazione totale non vuol dire quello che hai scritto, bensì che comunque scelti $a,b in ZZ$ allora $arhob V brhoa$... non devi condierare un terzo elemento!
Ok, intanto grazie mille per la disponibilità adesso è già un po' più chiaro; 
Sono riuscito a risolvere, magari potrà essere utile a qualcuno che si imbattesse in questa discussione, poichè $o(sigma*tau)=6$ l'ordine di $(sigma*tau)^-1235$ non può essere 15 poiche $6$ non divide $15$.
Non vorrei approfittare della tua gentilezza, ma avrei un' altro esercizio (a dire il vero ne avrei più d' uno) ma questo non è che non sappia come risolverlo, so come risolverlo ma non mi riesce!!
Testo:
Si consideri l'insieme $G={(a,b)|a,b in C, a != 0}$ Si definisce in $G$ la seguente operazione: $(a,b)*(c,d)=(ad + b, ac)$ Si dimostri che in tal modo $G$ diventa un gruppo.
Soluzione:
Affinché $G$ sia un gruppo l'operazione definita in $G$ deve essere associativa, inoltre $G$ deve ammettere elemento neutro e ogni elemento di $G$ deve essere invertibile.
Ma a me risulta che $((a;b)*(c;d))*(e;f) != (a;b)*((c;d)*(e;f))$ infatti $((a;b)*(c;d))*(e;f)=(a*d*f + b*f +a*c; a*d*e + b*e)$ mentre $(a;b)*((c;d)*(e;f))=(a*c*e + b; a*c*f + a*d)$
Quindi non può essere un gruppo!! Secondo me è sbagliato il testo dell'esercizio!!!
Ancora grazie, ciao.
(3) Anche il tre è facile, solo non saprei come poter affermare senza eseguire calcoli se ha ordine 15 ()
Sono riuscito a risolvere, magari potrà essere utile a qualcuno che si imbattesse in questa discussione, poichè $o(sigma*tau)=6$ l'ordine di $(sigma*tau)^-1235$ non può essere 15 poiche $6$ non divide $15$.
Non vorrei approfittare della tua gentilezza, ma avrei un' altro esercizio (a dire il vero ne avrei più d' uno) ma questo non è che non sappia come risolverlo, so come risolverlo ma non mi riesce!!
Testo:
Si consideri l'insieme $G={(a,b)|a,b in C, a != 0}$ Si definisce in $G$ la seguente operazione: $(a,b)*(c,d)=(ad + b, ac)$ Si dimostri che in tal modo $G$ diventa un gruppo.
Soluzione:
Affinché $G$ sia un gruppo l'operazione definita in $G$ deve essere associativa, inoltre $G$ deve ammettere elemento neutro e ogni elemento di $G$ deve essere invertibile.
Ma a me risulta che $((a;b)*(c;d))*(e;f) != (a;b)*((c;d)*(e;f))$ infatti $((a;b)*(c;d))*(e;f)=(a*d*f + b*f +a*c; a*d*e + b*e)$ mentre $(a;b)*((c;d)*(e;f))=(a*c*e + b; a*c*f + a*d)$
Quindi non può essere un gruppo!! Secondo me è sbagliato il testo dell'esercizio!!!
Ancora grazie, ciao.
Prova a considerare questa operazione $(a,b) *(c,d)=(ad+bc,ac)$ e fammi sapere 
nu nemmeno così $ (a,b)⋅(c,d)=(ad+bc,ac) $ vale la proprietà associativa, infatti $((a, b)(c, d))(e, f)$ ha come risultato $((ad+bc)f + ace , (ad + bc)e)$ mentre $(a, b)((c, d)(e, f))$ ha come risultato $(ace + b(cf + de), a(cf + de))$Comunque mi par di capire che concordi anche tu sul fatto che sia il testo dell'esercizio errato.
Inizio ad odiare l'algebra e soprattutto il mio professore
Ciao e grazie di tutto.
Non ho controllato per bene i calcoli ma credo che abbia commesso un errore (o forse io!). L'idea che avevo era di costruire l'operazione del gruppo come col campo delle frazioni.
In pratica anziché vedere la coppia $(a,b)$ come $a/b$, la vedevo come $b/a$. Questa costruzione veniva avvalorata dal fatto che $a$ dovesse essere diverso da $0$. Quindi abbiamo la "usuale" addizione tra frazioni, cioè $b/a+d/c=(ad+bc)/(ac)$.
Mi vien difficile pensare che neanche con questa operazione sia un gruppo...
Proviamo a fare due calcoli insieme (così puoi controllare i miei):
$(b/a+d/c)+f/e=(ad+bc)/(ac)+f/e=(ade+bce+acf)/(ace)$
$b/a+(d/c+f/e)=b/a+(ed+cf)/(ce)=(bce+ade+acf)/(ace)$
A me paiono uguali, che dici?
In pratica anziché vedere la coppia $(a,b)$ come $a/b$, la vedevo come $b/a$. Questa costruzione veniva avvalorata dal fatto che $a$ dovesse essere diverso da $0$. Quindi abbiamo la "usuale" addizione tra frazioni, cioè $b/a+d/c=(ad+bc)/(ac)$.
Mi vien difficile pensare che neanche con questa operazione sia un gruppo...
Proviamo a fare due calcoli insieme (così puoi controllare i miei):
$(b/a+d/c)+f/e=(ad+bc)/(ac)+f/e=(ade+bce+acf)/(ace)$
$b/a+(d/c+f/e)=b/a+(ed+cf)/(ce)=(bce+ade+acf)/(ace)$
A me paiono uguali, che dici?
OK grazie di tutto! 
probabilmente nei prossimi giorni ti romperò ancora le scatole
ciao
probabilmente nei prossimi giorni ti romperò ancora le scatole
ciao
Come preannunciato sono ancora qui con un altro esercizio insoluto
Sia $G$ un gruppo abeliano
Si definisca $ a sim b$ sta per esiste $g in G$ tale che $a = g^3b$
Si dimostri che $sim$ è una relazione di equivalenza su $G$. Si determini la classe di equivalenza di $1$.
È possibile affermare che $sim$ è una congruenza su $G$? Se sì calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$sim$
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale la relazione definita sopra non è una e relazione di equivalenza.
Le difficoltà le trovo già nel dimostrare che è una relazione di equivalenza, posto la mia risoluzione:
Proprietà riflessiva:$a sim a$ infatti essendo $G$ un gruppo $1 in G$ dunque $a=g^3*a=1^3*a=a$
Proprietà simmetrica:se $a sim b$ allora $b sim a$ e $a != b$ infatti se $G$ è un gruppo allora per ogni elemento $g in G$ $g^-1 in G$ in particolare da $a=g^3*b$ segue che $(g^-1)^3*a=b$.
Proprietà transitiva: NON so come dimostrarla! Ho iniziato così:
$a sim b$ e $b sim c$ allora $a=g^3*b$ e $b=g_1^3*c$ e quindi $a=g^3*g_1^3*c=(g*g_1)^3*c$ quindi $a sim c$ se $g*g_1 in G$, e questo è vero se $G$ è un sottogruppo, ma non se è un gruppo, quindi: come posso dimostrare che vale la proprietà transitiva?
Classe di equivalenza di 1: $[1]_sim = {x | x sim 1}$ $1=g^3*x$ va bene come risoluzione?
Congruenza: $sim$ è una congruenza se da $a_1 sim b_1$ e $a_2 sim b_2$ segue che $a_1*a_2 sim b_1*b_2$
$a_1=g_1^3*b_1$ $a_2=g_2^3*b_2$ e quindi $a_1*a_2=g_1^3*b_1*g_2^3*b_2$ poichè $G$ è abeliano vale la proprietà commutativa quindi $a_1*a_2=g_1^3*g_2^3*b_1*b_2$ ora però si ripresenta il problema di prima, come posso dimostrare che $g_1*g_2 in G$?
Gli ultimi due punti invece non so proprio come risolverli.
scusa se ti rompo ancora le scatole, ma sulle dispense che mi ha dato il mio professore non ci sono esercizi svolti o esempi e qui non riesco proprio a capire come risolvere.
Grazie mille, ciao.
Sia $G$ un gruppo abeliano
Si definisca $ a sim b$ sta per esiste $g in G$ tale che $a = g^3b$
Si dimostri che $sim$ è una relazione di equivalenza su $G$. Si determini la classe di equivalenza di $1$.
È possibile affermare che $sim$ è una congruenza su $G$? Se sì calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$sim$
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale la relazione definita sopra non è una e relazione di equivalenza.
Le difficoltà le trovo già nel dimostrare che è una relazione di equivalenza, posto la mia risoluzione:
Proprietà riflessiva:$a sim a$ infatti essendo $G$ un gruppo $1 in G$ dunque $a=g^3*a=1^3*a=a$
Proprietà simmetrica:se $a sim b$ allora $b sim a$ e $a != b$ infatti se $G$ è un gruppo allora per ogni elemento $g in G$ $g^-1 in G$ in particolare da $a=g^3*b$ segue che $(g^-1)^3*a=b$.
Proprietà transitiva: NON so come dimostrarla! Ho iniziato così:
$a sim b$ e $b sim c$ allora $a=g^3*b$ e $b=g_1^3*c$ e quindi $a=g^3*g_1^3*c=(g*g_1)^3*c$ quindi $a sim c$ se $g*g_1 in G$, e questo è vero se $G$ è un sottogruppo, ma non se è un gruppo, quindi: come posso dimostrare che vale la proprietà transitiva?
Classe di equivalenza di 1: $[1]_sim = {x | x sim 1}$ $1=g^3*x$ va bene come risoluzione?
Congruenza: $sim$ è una congruenza se da $a_1 sim b_1$ e $a_2 sim b_2$ segue che $a_1*a_2 sim b_1*b_2$
$a_1=g_1^3*b_1$ $a_2=g_2^3*b_2$ e quindi $a_1*a_2=g_1^3*b_1*g_2^3*b_2$ poichè $G$ è abeliano vale la proprietà commutativa quindi $a_1*a_2=g_1^3*g_2^3*b_1*b_2$ ora però si ripresenta il problema di prima, come posso dimostrare che $g_1*g_2 in G$?
Gli ultimi due punti invece non so proprio come risolverli.
scusa se ti rompo ancora le scatole, ma sulle dispense che mi ha dato il mio professore non ci sono esercizi svolti o esempi e qui non riesco proprio a capire come risolvere.
Grazie mille, ciao.
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