Esercizi algebra 1

[antemysya]

- Determinare i sottogruppi e i generatori del gruppo delle radici cinquantacinquesime dell'unità.

Io l'ho sempre svolto calcolando, per quanto riguarda i generatori, i numeri minori di 55(in questo caso), coprimi con quest'ultimo. Quindi i sottogruppi sarebbero stati 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16....e così via....
mentre per i generatori quelli che hanno almeno un divisore in comune.
Ma è corretto? :-S

Inoltre per il seguente esercizio:
- Stabilire, motivando la risposta, se il polinomio x^19 + 30 ha radici razionali.
c'entra il teorema delle radici razionali?

[Richard_Dedekind]

Non mi torna qualcosa. Dovresti sapere che per ogni intero \(n>0\) le radici \(n\)-esime dell'unità formano un gruppo ciclico che denoterò \(U_n\) d'ordine \(n\). A questo punto penso che tu possa dire tutto sul tuo caso; rammenta che i generatori sono le radici primitive, cioè quelle \(\zeta\in U_n\) tali che \(\zeta^m\neq 1\) per ogni \(m
Per quanto riguarda l'ultimo esercizio, se il teorema è quello a me noto allora hai ragione.

[antemysya]

continua a non essermi chiaro, soprattutto nella pratica! Ma poi non dovrebbe essere ζ^m =1 (con ζ appartenente ad Um) ?

[antemysya]

per quanto riguarda la determinazione dei generatori è giusto così?
Chiamo il gruppo Cn, nel nostro caso n= 55, quindi C55 ha elementi del tipo {ak =cos (2kπ) /55 + isen(2kπ)/55 | k=0,1,2,...,54}. I generatori, o radici primitive, sono tutti gli elementi del tipo {ak | (k,55)=1} = {a1, a2, a3,a4, a6 a7, a8, a9, a12, a13, ..}e così via? E' giusto??? Speriamo....
Resta comunque un problema per i sottogruppi....

[Richard_Dedekind]

Abbi pazienza, ma sembra che tu sia parecchio a digiuno di teoria.
Quali e quanti sono i sottogruppi di un gruppo ciclico d'ordine \(n\)?

[antemysya]

Beh non sono preparatissima, ma gran parte "credevo" di saperlo! Comunque per il teorema di Lagrange, essendo C un gruppo ciclico, sono tutti quelli il cui ordine divide 55.

[Richard_Dedekind]

Sono tutti E SOLI quelli il cui ordine divide \(55\)! Cioè per ogni divisore \(d\) di \(55\) esiste un unico sottogruppo \(H\) di ordine \(d\). Inoltre, se \(g\) è un generatore del tuo gruppo, questi sottogruppi sono ciclici e si esprimono come \(H=\langle g^{55/d}\rangle\).